3.3抛物线 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 3.3抛物线 同步练习
一、单选题
1．如图，点A，B，C在抛物线上，抛物线的焦点F在上，与x轴交于点D，，，则（ ）
A． B．4 C． D．3
2．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线相交于A，B两点，则线段的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若抛物线上的一点到其焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．
6．过点且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线
7．设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为
A． B． C． D．
8．设抛物线的焦点为，准线为．是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上.以为圆心的圆与准线相切于点，的纵坐标为，是圆与轴不同于的另一个交点，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若则k的值是（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于点，若，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
13．已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的两点， 则线段的中点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
14．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
15．已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．若动点与定点的距离和动点与直线的距离相等，则动点的轨迹方程是______．
17．已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在两点关于直线对称，且为坐标原点，则的值为__________.
18．已知抛物线上一点到焦点的距离为4，准线为，若与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为___________.
三、解答题
19．已知椭圆（）与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，为弦的中点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一定点，使得的长度为定值？若存在，则求出点，若不存在，请说明理由.
20．已知抛物线C的方程为，它的焦点F到点M 的距离为.
（1）求抛物线C的方程；
（2）A B D是抛物线C上不同三点，且△ABD是以B为直角顶点的等腰直角三角形，求的最小.
21．已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．
22．已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
设出点A，B，C的坐标，利用直线AB，AC，BC斜率的关系建立等式即可得解.
【详解】
依题意设，则直线AB，AC，BC斜率分别为：
，
因，则，即，
则，因F(1，0)在直线AB上，则，而，
有，即，点A在直线上，
又是等腰三角形，点F，点D关于直线对称，所以点D坐标为(5，0)，|FD|=4.
故选：B
2．D
设直线AB的方程为x＝y+1，联立，得到AB的中点坐标，然后过P作PH垂直准线于点H，再利用抛物线的定义，由三点共线时求得最小值求解.
【详解】
如图所示：
由题意，得F（1，0），故直线AB的方程为x＝y+1，
联立，得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，x1+x2＝（y1+y2）+2＝14，
所以Q（7，2），
过P作PH垂直准线于点H，
由抛物线的定义得：|PF|+|PQ|＝|PH|+|PQ|≥|QH|＝7+1＝8，
当三点共线时，等号成立，
所以|PF|+|PQ|的最小值为8，
故选：D.
3．B
根据抛物线方程可得抛物线焦点坐标，即为双曲线中的值，根据离心率即可求出的值，从而确定双曲线的标准方程
【详解】
因为抛物线的焦点为，所以，离心率，所以，所以双曲线的标准方程为．
故选：B
4．D
先求出抛物线的标准方程，由直线过该抛物线的焦点，利用几何性质，通径最短，即可求解.
【详解】
由，可得，则，即，易知直线过该抛物线的焦点，因为过焦点的弦中通径最短，所以线段的最小值为，故选：D．
5．D
由题意可知：焦点坐标为，准线方程为：，由抛物线的定义可知：，即，解得：，即可求得的纵坐标．
【详解】
解：抛物线焦点在轴上，焦点坐标为，准线方程为：，
设，由抛物线的定义可知：，解得：，
故选：D．
6．D
由抛物线的定义可得，圆心的轨迹为抛物线 。
【详解】
设点P为满足条件的一点，因为点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，由抛物线定义可得，点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上.
故选：D.
本题考查了抛物线的定义，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
7．C
首先根据线条长度关系解出A、B点横坐标（用表示），
然后利用三角形面积公式列出一个关于的方程，解出即可.
【详解】
过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，
设点，
由得 ，
即……①，
又因为,
所以,
所以，
所以……②，
由①②可解得，
在中，，
，
所以，
所以,
解得或（舍去），
故选：C
本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键.
8．C
根据求得的横坐标，由此求得的纵坐标，从而求得的长.
【详解】
抛物线的准线方程为，由于，
根据抛物线的定义可知，
将代入抛物线方程得，
所以.
故选：C
本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
9．C
先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.
【详解】
抛物线的方程可变为
故
其准线方程为
故选：C
10．D
根据，求得，从而结合抛物线定义求得，从而求得，解得p的值.
【详解】
∵，
∴，结合抛物线定义知，
∴，
作，则N为EF的中点，
∴，
∴，故
故选：D
11．C
画出图象，结合抛物线的定义求得的值.
【详解】
直线过，也即直线过抛物线的焦点，
画出图象如下图所示，
过作直线垂直于抛物线的准线，垂足为；过作直线垂直于抛物线的准线，垂足为，
过作，交于.
依题意，设，
则，，
所以直线的斜率.
故选：C
12．B
由抛物线的定义结合已知可得直线的倾斜角为45°，进而求出点坐标，再由抛物线定义结合的值求解.
【详解】
过作准线的垂线，垂足为，则，
由，得直线的倾斜角为45°．
设，由，得，
．又，，．
故选B.
13．C
根据抛物线的方程求出焦点和准线方程，利用抛物线的定义，列出方程，求出的中点横坐标，即可求出线段的中点到轴的距离．
【详解】
因为是抛物线的焦点，
所以，准线方程，
设，
所以，
所以，
所以线段的中点横坐标为，
所以线段的中点到轴的距离为．
故选：C．
关键点点睛：解题的关键是利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离．
14．B
首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】
抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
15．D
分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，求得，从而根据求得，，，进而求得.
【详解】
如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，
由抛物线定义知，，又F为PB.中点，
则，，
则，，，
则
故选：D
16．．
本题考查抛物线的定义与方程，主要用于准确落实抛物线的定义，关键在于首先确定点在直线上，然后可判定P在过定点F且与定直线垂直的直线上，从而利用直线的垂直关系求得P的轨迹方程.
【详解】
因为定点在直线上，
所以到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是直线，
就是经过定点与直线垂直的直线．
所以动点的轨迹方程是，
即．
故答案为：．
平面内到定点距离等于到定直线距离的动点的轨迹不一定是抛物线：当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与已知直线垂直的直线，当且仅当定点不在定直线上时，动点的轨迹才是抛物线.对圆锥曲线的概念的掌握一定要准确全面，此题易错误当成抛物线求解.
17．
先根据抛物线的简单几何性质求出抛物线的方程，再根据点差法求出的中点坐标，从而得出的坐标，然后由向量的模的坐标计算公式即可求解．
【详解】
拋物线的准线方程为，可知抛物线的方程为：．
设点，的中点为，则
两式相减可得，，，所以，解得，可得，则，
可得.
故答案为：．
本题主要考查点差法的应用，以及中点公式，向量的模的坐标计算公式，抛物线的简单几何性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
18．
由给定条件求出抛物线的准线l的方程，再求出准线与双曲线的两条渐近线的交点即可作答.
【详解】
依题意，抛物线准线：，由抛物线定义知，解得，则准线：，
双曲线的两条渐近线为，于是得准线与二渐近线交点为，
原点为O，则面积，解得，
双曲线的半焦距为c，离心率为e，则有，解得，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
19．（1）；（2）存在，.
（1）根据抛物线的焦点坐标公式、准线方程，结合椭圆中的关系进行求解即可；
（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，根据中点坐标公式、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】
（1）因为抛物线的焦点坐标为：，与有相同的焦点，
所以 ①，
又因为抛物线的准线方程为：，
所以当时，，
因为抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3，所以 ②，
解①②得，，所以曲线的方程为.
（2）设直线，，，
联立直线与椭圆方程，消去得：，
则，，
，，
的坐标为，直线 ③，
直线方程中令得，的坐标为，
因为直线，的直线方程为 ④，
将③④联立相乘得到，即，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以存在定点，使得的长为定值.
关键点睛：解题的关键是通过③④消去参数，得到圆的方程.
20．（1）；（2）16.
（1）根据距离公式，直接带入求值即可得解；
（2）根据抛物线方程设，由
，由△ABD为直角顶点的等腰直角三角形，所以，由可得，带入整理即可得解.
【详解】
（1）由焦点F，距离公式可得，
解得或者（舍），
所以抛物线方程为，
（2）设，
，
由△ABD是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，分别作垂直和平行于轴的直线相交于，
过分别作垂直和平行于轴的直线相交于则
，所以，
所以，
所以（*），
由，可得，
整理可得，
由互不相等，所以，
即，带入（*）式可得：
，
当时，△ABD的面积最小，此时.
本题考查了抛物线方程，考查了抛物线上的点的相关性质，考查计算这一核心能力，属于中档题.本题的关键点有：
（1）首先利用设点，根据条件得到各个量之间的关系；
（2）计算能力和计算技巧是本题的关键能力.
21．（1）抛物线C的方程为，准线方程为；（2）存在直线或．
（1）根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去后根据判别式大于零求得的取值范围，写出韦达定理.结合得到直线与直线的斜率相等，由此列方程，解方程求得的值，也即求得直线的方程.
【详解】
（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以，
即准线方程为.
（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.
联立得，消去得.
由,解得. 所以且.
由韦达定理得,.
直线的方程为,
又,所以,所以,
因为,所以直线与直线的斜率相等
又,所以.
整理得,即,
化简得,,即.
所以,整理得,
解得. 经检验,符合题意.
所以存在这样的直线,直线的方程为或．
22．（1），（2）证明见解析，定点
（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；
（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可
【详解】
解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线的方程为，
（2）①当直线的斜率不存在时，设，
因为直线的斜率之积为，所以，化简得，
所以，此时直线的方程为，
②当直线的斜率存在时，设其方程为，，
由，得，则，
因为的斜率之积为，所以，
即，即可，
解得（舍去），或，
所以，即，所以，即，
综上所述，直线过轴上的一定点
关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得，再利用根与系数的关系可得，再结合直线的斜率之积为，可得到的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题
答案第1页，共2页
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