6.3平面向量基本定理及坐标表示 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1．在菱形中，、分别是、的中点，若，，则（ ）
A．0 B． C．4 D．
2．设向量，，如果向量与平行，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如果平面向量，，那么下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．，的夹角为180°
D．向量在方向上的投影为
4．设向量，，则与一定不是（ ）
A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量
5．已知向量，，那么（ ）
A．5 B． C．8 D．
6．正方形中，P，Q分别是边的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，分别是的边和的中点，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．设向量，，且，则=（ ）.
A． B． C． D．
9．已知向量＝(3，5)，＝(9，7)，则（ ）
A．⊥ B．// C．//(＋) D．(2－)⊥(＋)
10．设向量，，．若，则与的夹角为（　　）
A．0° B．30° C．60° D．90°
11．在中， ，，为线段的三等分点，则＝( )
A． B．
C． D．
12．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
13．若平面向量与向量平行，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
14．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
15．已知等边△的边长为，点，分别为，的中点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知向量，，若，则______．
17．已知向量，，若单位向量与平行，则=___________.
18．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：.则△ABM与△ABC的面积之比为________.
三、解答题
19．设且，求的最小值.
20．已知点，，，，求点、的坐标和的坐标.
21．已知，.
(1)与夹角的余弦值；
(2)若与垂直，求k的值.
22．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
以为基底表示有关向量，然后利用数量积的运算和定义求解.
【详解】
设,则.
，
故选：B.
2．D
求出与的坐标，根据两向量平行求出的值，即得解.
【详解】
解：，
所以.
所以.
故选：D
3．D
直接利用向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，向量在另一个向量上的投影的应用判定选项的结论．
【详解】
解：因为，，所以，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，故，故B正确；
对于C，因为，所以与的夹角为180°，故C正确；
对于D，在方向上的投影为：，，故D错误.
故选：D.
4．C
根据已知向量的坐标，结合、、、的坐标表示判断参数是否存在，即可确定正确选项.
【详解】
假设，即，，
假设，即，，
假设，即，无解，
假设，即，，
故选：C．
5．B
根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.
【详解】
因为向量，，所以
.
故选：B.
6．C
由已知可得，用表示出然后可表示出，即可得出结果.
【详解】
由题意，即，解得，
∴，又，
∴，则
故选：C．
方法点睛：本题考查平面向量基本定理．解题时可选取不共线向量为基底，把其他向量都用基底表示，然后求解．这种方法目标明确，思路清晰，易于求解．
7．D
根据向量的基底表示与线性运算计算.
【详解】
如图，因为，分别是的边和的中点，
.
故选：D
8．A
由得，建立方程求解即可.
【详解】
，
，解得.
故选：A.
本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
9．D
A.，所以两个向量不垂直，所以该选项错误；
B.，所以两向量不平行，所以该选项错误；
C.，所以该选项错误.
D. ,所以该选项正确.
【详解】
A.，所以两个向量不垂直，所以该选项错误；
B.，所以两向量不平行，所以该选项错误；
C.，，所以该选项错误.
D.由条件得，，
∴，
所以，所以该选项正确.
故选：D．
10．D
根据题意，求出x的值，即可得的坐标，进而可得的坐标，即可求解．
【详解】
根据题意，设与的夹角为，
，，，
则，解得，
则，，
则，
所以，
故，
故选：D．
11．C
根据题意得出⊥，建立平面直角坐标系，表示出、，求出数量积的值．
【详解】
中，||＝||，
∴22，
∴0，
∴⊥，
建立如图所示的平面直角坐标系，
由E，F为BC边的三等分点，
则A（0，0），B（0，4），C（2，0），E（，），F（，），
∴（，），（，），
∴+．
故选：C
12．B
计算出和的坐标，利用向量的模长公式可得出关于实数的等式，进而可求得结果.
【详解】
已知向量，，则，，
由可得，解得.
故选：B.
13．C
求得后根据平行向量满足求解即可.
【详解】
由题.又且平面向量与向量平行.
故,即或.
故选：C
本题主要考查了平行向量的运用以及向量模长的运用,属于基础题.
14．C
特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把设为的三角形.
【详解】
不妨设中，，边长，边长，
以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系
则、、,
,设，则
故
可得，故
的面积为，
的面积为
则与的面积之比为
故选：C
15．C
由题意画出图形，把向量用向量和表示，结合可求得的值.
【详解】
由已知条件,图形如下图所示：
,
解得.
故选：.
16．
先求出和，利用向量平行列方程及可求出k.
【详解】
，，于是，解得．
故答案为：-1.
17．或．
由向量的坐标运算求出，并求出它的模，用除以它的模，得一向量，再加上它的相反向量可得结论．
【详解】
由题意，∴，
又，
∴或．
故答案为：或．
易错点睛：本题考查求单位向量，一般与平行的单位向量有两个，它们是相反向量：．只写出一个向量是错误的．
18．1∶4
由已知得出M，B，C三点共线，令，利用平面向量的加法法则可得值，进而可得△ABM与△ABC面积之比．
【详解】
如图，由可知M，B，C三点共线，
令，则
所以，即△ABM与△ABC面积之比为1∶4.
故答案为：1∶4
19．的最小值为.
利用向量数量积的性质构造不等关系求解
【详解】
设向量，，则，，
并且，由，得，
所以，当且仅当、同向，即，
解得：，时不等式取等号，
故的最小值为.
20．、，
本题先设、两点坐标，再表示出、，接着建立方程组求出、两点坐标，最后求.
【详解】
设、，
则，，，，
由，得：和解得：和，
则、，则.
本题平面向量的坐标运算，是基础题.
21．(1)；
(2)0.
（1）根据向量夹角的坐标公式，计算即可；
（2）求得与的坐标，利用向量垂直的坐标表达公式，求解即可.
(1)
因为，，故.
(2)
因为，，故，，
又向量与垂直，则，解得.
22．(1)；(2)3；(3).
(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；
(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；
(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.
【详解】
(1)依题意，，
，
；
(2)因交于D，
由(1)知，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；
(3)由已知，
因P是线段BC上动点，则令，
，
又不共线，则有，
，
在上递增，
所以，
故的取值范围是.
由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
答案第1页，共2页
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