6.4平面向量的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1．的内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．，，则最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
3．已知△ABC的内角A B C所对的边分别为a b c，下列四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则是等腰或直角三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，且，则是等边三角形
4．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，则此三角形（ ）
A．无解 B．一解
C．两解 D．解的个数不确定
6．河水的流速为2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ）
A．10 B． C． D．12
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．6
8．P是所在平面内一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
9．扇形的半径为1，圆心角为，是上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
10．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（ ）
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．2∶∶1 D．1∶∶2
12．在平行四边形ABCD中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，，O为坐标原点，，则的最小值为______．
14．如图所示，在中，已知，为边上的一点，且满足，，则______
15．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度___________米.
16．在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为___________.
三、解答题
17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
（1）求角A的值；
（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长.
18．铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链可由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成.合页主要安装于门窗上，而铰链更多安装于橱柜上.如图所示，就是一个合页的抽象图，可以在变化，其中，正常把合页安装在家具上时，的变化范围是.根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以为边长的正三角形区域内不能有障碍物.
（1）若时，求的长；
（2）当是多大时，求面积的最大值.
19．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．已知函数
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设的内角的对边分别为，满足且，求的值.
21．在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
先由正弦定理边角互化，计算求得，再根据余弦定理求，最后计算面积.
【详解】
根据正弦定理有，
、、，则，，可得，
由余弦定理可得，则为锐角，所以，，
所以，，解得.
因此，.
故选：B.
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
2．D
设点坐标，代入，可求出点的轨迹为圆，则的最大值为圆上的点到原点距离的最大，用圆心到原点的距离加半径即可.
【详解】
设，，则，，，即点的轨迹为以圆心，5为半径的圆．故的最大值为．
故选：D.
3．C
A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果.
【详解】
A．因为，所以，
即
所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确；
B．因为，所以
，
所以，
所以，所以，
所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故正确；
C．因为，所以，所以，
所以，所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故错误；
D．因为，所以，所以或（舍），所以，
又因为，所以且，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以为等边三角形，故正确.
故选：C
4．C
由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．
【详解】
由
及余弦定理，可得
正弦定理边化角，得
是锐角三角形，
，即．
，，
那么：
则，
故选：
方法点睛：解三角形的基本策
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
5．C
利用正弦定理求出的值，再根据所求值及a与b的大小关系即可判断作答.
【详解】
在中，，，，
由正弦定理得，而为锐角，且，
则或，
所以有两解．
故选：C
6．B
根据题意，得到，结合向量的运算，即可求解.
【详解】
设河水的流速为，小船在静水中的速度为，船的实际速度为，
则，，所以，
所以（），即小船在静水中的速度大小为.
故选：B.
7．A
由正弦定理,三角函数恒等变换可得sinAcosB＝sinA，可求cosB，设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，根据cos∠ADB＝﹣cos∠CDB利用余弦定理可得4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得ac≤6，进而可求解．
【详解】
在△ABC中，bcosA＝c﹣a，
由正弦定理可得sinBcosA＝sinC﹣sinA，
可得sinBcosA＝sin（A+B）﹣sinA＝sinAcosB+cosAsinB﹣sinA，
即sinAcosB＝sinA，
由于sinA≠0，
所以，由B∈（0，π），可得B＝，
设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，
在△ADB，△BDC，△ABC中分别利用余弦定理，可得cos∠ADB＝，cos∠CDB＝，cos∠ABC＝，
由于cos∠ADB＝﹣cos∠CDB，可得6x2＝a2+2c2﹣12，
再根据cos∠ABC＝，可得a2+c2﹣9x2＝ac，
所以4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得4c2+a2≥4ac，
所以ac≤6，当且仅当a＝2，c＝时等号成立，
所以△ABC的面积S＝acsin∠ABC＝ac≤．
故选：A．
本题考查解三角形，关键点是熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了运算求解能力和逻辑思维能力.
8．B
根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.
【详解】
由，可得，即，
等式两边平方，化简得，，
因此，是直角三角形.
故选：B.
本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题．
9．C
由题设有，，，，即可得，分析使的最小时的位置关系，进而求的最小值.
【详解】
由题设，，，
∴，
∴，，
∴，要使的最小，即同向共线.
又，
∴.
故选：C
10．D
根据题意，结合余弦定理求解即可.
【详解】
由，得，即，
解得或（舍）．
故选D．
11．D
三角形中，由角的比例关系可得A＝30°，B＝60°，C＝90°，结合正弦定理即可求a∶b∶c.
【详解】
在△ABC中，有A∶B∶C＝1∶2∶3，
∴B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，即A＝30°，B＝60°，C＝90°，
由正弦定理知：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2.
故选：D
12．A
在中，由余弦定理求得，再结合余弦定理，即可求得的值.
【详解】
如图所示，在平行四边形ABCD中，，
在中，由余弦定理可得
，即，
又由.
故选：A.
13．
根据向量的数量积运算，结合函数的性质即可求出．
【详解】
解：，，
，，，，
，
，，，，，
，，，
，
，
，
，
令，
令，，，，，
则，此时，，
则当时，则的最小值为．
故答案为：．
本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，解答的关键是将转化为动点到两定点的距离之和，从而求出函数的最小值．
14．
令，根据，结合，由，求得，再由，求得角D，然后在中，利用正弦定理求解.
【详解】
令，因为，
所以，
所以，
，
，
在中，由正弦定理得，
解得.
故答案为：
15．
设，由边角关系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.
【详解】
设，因为，，，
所以，，，.
在中，，
即①.，
在中，，
即②，
因为，
所以①②两式相加可得：，解得：，
则，
故答案为：.
16．
由三角形中的射影定理,结合已知条件求得的值，进而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式求得.
【详解】
由三角形中的射影定理,结合已知条件，可得,
又∵，∴，由，可得，
解得(负值舍去)，∴三角形的面积为，
故答案为：.
17．（1）；（2）.
（1）根据正弦定理边化角，再根据诱导公式，二倍角公式即可求出；
（2）由可得，再由正弦定理角化边可得，即可求出，然后根据余弦定理求出，即得到△ABC的周长．
【详解】
（1）因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
即.因为，所以，
因为，所以.
（2）由，可得.
因为，所以，解得
由余弦定理得，，所以周长为.
18．（1）；（2）最大值为.
（1）根据题意利用三角比可得，
在中，由余弦定理易知即可得解；
（2）设，，，利用正余弦定理换算可得：，，代入整理可得，利用的范围即可得解.
【详解】
（1）如图所示，
因为，易知，，，
在中，由余弦定理易知，且
即，解得
（2）设，，，
在中，由余弦定理易知，，
即，①，
，即②，
由正弦定理易知③，
将①②③代入下列式子中：
，
则当时，取最大值，最大值为.
19．（1）；（2）.
由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．
【详解】
解：（1）因为，，.
由正弦定理，可得，所以；
（2）由余弦定理，，
，（舍），所以.
本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．
20．（1）；（2）
（1）利用三角恒等变换的公式，化简，利用三角函数的图象与性质，即可得到函数的最小值和最小正周期；
（2）由（1），令，求得的值，再由正弦定理和余弦定理，即可得到的值.
【详解】
⑴
⑵
又
本题主要考查了三角函数的图象与性质以及利用正弦、余弦定理解三角形问题，其中熟记三角函数的图象与性质，以及合理利用正弦、余弦定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
21．（1）；（2）周长为.
（1）利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理计算角即可；
（2）先利用面积计算，再利用和完全平方公式得，即求得周长.
【详解】
解：（1）因为，
利用正弦定理得，即，，又，得；
（2）面积，，
又，，，
，故，周长为.
本题考查了正弦定理和余弦定理，以及三角形面积公式，属于中档题.
答案第1页，共2页
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