7.1复数的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.1 复数的概念 同步练习
一、单选题
1．设i虚数单位，复数，则（　　）
A． B．5 C．1 D．2
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．的虚部是 B．是纯虚数
C． D．
3．在复平面内，复数的共轭复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点之间的距离是（　　）
A． B． C．5 D．25
7．已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．设复数（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是
A．它的实部为﹣3 B．共轭复数
C．它的模 D．在复平面对应的点的坐标为
9．设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．若复数是纯虚数,其中为实数,i为虚数单位,则的值为
A． B． C．7 D．或
11．已知为虚数单位，实数，满足，则（ ）
A．10 B． C．3 D．1
12．若，其中a，，是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
13．设，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
14．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
15．已知复数满足，且有，求（ ）
A． B． C． D．都不对
二、填空题
16．设复数，x，，且，则满足的复数z共有______个．
17．已知复数(其中为虚数单位)，则的值为___________.
18．设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为__．
三、解答题
19．已知复数，且，.求实数x的取值范围.
20．已知i是虚数单位，复数z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)，当m分别取何实数时，z满足如下条件？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数；
(4)零.
21．复数，当m取何实数时：
(1)z为实数；
(2)z为纯虚数；
(3)z对应的点在复平面上实轴的上半部分．
22．已知，求实数x，y的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
利用模的定义求解即可
【详解】
故选：A
2．D
根据复数的基本概念判断选项A、B；
根据复数的几何意义求出复数的模，进而判断选项C；
根据复数的乘方计算即可判断选项D.
【详解】
A：复数的虚部为4，故A错误；
B：复数不是纯虚数，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D正确.
故选：D
3．D
求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限.
【详解】
复数的共轭复数为，
其对应的点位于第四象限.
故选：D.
本题考查复数的几何意义，属于基础题.
4．C
求出为纯虚数时的值，与比较，判断出结果
【详解】
，复数为纯虚数，则，解得：，所以则“”是“复数为纯虚数”的充要条件
故选：C
5．B
由欧拉公式得，结合诱导公式、三角函数值或直接根据辐角所在的象限，即可判断其所在象限.
【详解】
由题意知：，
∴在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.
故选：B.
6．C
根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果.
【详解】
由于复数和对应的点分别为，，
因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为.
故选：C.
7．C
根据复数的几何意义以及两点间的距离公式即可求解.
【详解】
，在复平面内对应的点为，
，在复平面内对应的点为，
所以两点之间的距离为.
故选：C
8．C
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】
解：∵，
∴的实部为3，，，
在复平面对应的点的坐标为（3，4）.
故选: C.
本题考查复数代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念、共轭复数、复数的模和复数的几何意义，是基础题．
9．C
先求出共轭复数再判断结果.
【详解】
由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
本题考点为共轭复数，为基础题目．
10．A
根据纯虚数的定义，求出，进而求出，将展开，即可求解.
【详解】
由已知条件可得
且,,
,
.
故选:A.
本题考查纯虚数的定义，以及同角间的三角函数关系，考查两角差的正切公式，属于基础题.
11．B
利用复数相等的条件列式求得，值，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：由，得，
，．
则．
故选：．
本题考查复数的运算，两复数相等的充要条件的应用，两复数相等则实部与实部相等、虚部与虚部相等；
12．B
利用复数相等，列式求，即可求解.
【详解】
，
所以，得.
故选：B
13．C
由复数模的几何意义求解．
【详解】
记，，，对应的点为，
则满足的点在线段的垂直平分线上，易知其方程为，即，
表示点到点的距离，由点到直线距离公式得．
故选：C．
14．D
先根据分析出复数对应的点在复平面内的轨迹，然后将的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.
【详解】
因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，
又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：
所以，
故选：D.
结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：
（1）：表示以为圆心，半径为的圆；
（2）且：表示以为端点的线段；
（3）且：表示以为焦点的椭圆；
（4）且：表示以为焦点的双曲线.
15．A
根据题意可设（为虚数单位）；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根据复数的概念，可得，利用三角函数同角关系，即可求出的值，进而求出结果.
【详解】
因为，设（为虚数单位）；
由棣莫佛公式，可得，
所以
所以，即
因为，
所以；
化简可得，即
所以，所以；
所以.
故选：A.
本题主要考查了复数模的运算，熟练掌握复数模的运算性质，是解决本题的关键.
16．4
方法一(代数运算)：联立方程组求解；
方法二(几何意义)：利用复数的几何意义求解﹒
【详解】
方法一(代数运算)：由，得．又，联立，解得，
故答案为：4
方法二(几何意义)：由，知复数在复平面内对应的点构成一个单位圆．又，故复数在复平面内对应的点落在直线上，显然直线与单位圆有四个交点，
故答案为：4
17．
根据已知等式，由复数除法的几何含义，即可求的值.
【详解】
由题设，知：.
故答案为：.
18．
复数的模转化为距离，|z|＝1是单位圆上的点，是单位圆上点与的距离的最大值，可求解答案．
【详解】
解：复数z满足条件|z|＝1，它是复平面上的单位圆，那么表示单位圆上的点到的距离，
要使此距离取最大值的复数z，就是和）（0，0）连线和单位圆在第一象限的交点．
∵点到原点距离是2．单位圆半径是1，此连线与单位圆在第一象限交点是．
故答案为：
关键点睛：本题考查复数的模的几何意义，复数和复平面内的点的一一对应，三角形相似，数形结合的思想，难度较大．
19．.
根据题意可得，解不等式即可求解.
【详解】
解：因为，，所以.
所以或，即实数x的取值范围是.
20．（1）m＝－1或m＝4；（2）m≠－1且m≠4；（3）m＝－2；（4）m＝4.
（1）由虚部等于0求得的值；
（2）由虚部不为0求得值；
（3）由实部为0且虚部不为0求得值；
（4）由实部为0且虚部为0求得值．
【详解】
z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)化为
（1）由，得，或，
当，或时，是实数；
（2）由，得且，
当且时，为虚数；
（3）由，且，解得，
当时，为纯虚数；
（4）由，解得，
当时，为零．
21．(1)或
(2)
(3)或
（1）由虚部为0可得；
（2）由实部为0，虚部不为0可得；
（3）由虚部大于0可得．
(1)
因为z为实数，所以，解得或
(2)
由z为纯虚数，则解得
(3)
由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则，解得或
22．或.
根据复数相等的概念，列出方程组，解方程组，即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以，
解得：或.
故答案为：或.
答案第1页，共2页
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