7.2复数的四则运算 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.2 复数的四则运算
一、单选题
1．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数，，当且仅当“”或“且”时，.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①若，则；
②若，，则；
③若，则对于任意，；
④对于复数，若，则.
其中所有真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知a为实数，i为虚数单位，若是纯虚数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．在复平面内，复数（为虚数单位），则对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．设复数，若的虚部为2，则（ ）
A． B． C．5 D．10
10．非零复数、分别对应复平面内的向量、，若，则
A． B． C． D．和共线
11．复数的平方是一个实数的充要条件是（ ）.
A．且 B．且
C． D．
12．若复数对应的点是，则（ ）
A． B． C．-1 D．1
13．已知复数，是z的共轭复数，若·a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
14．若为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
15．若复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．z的虚部为 B． C． D．
二、填空题
16．若是实系数一元二次方程的一个根，则______．
17．设，其中为虚数单位，则________
18．i是虚数单位，若是纯虚数，则实数________ .
三、解答题
19．设复数，满足，，，求.
20．计算：①；
②；
③．
21．已知复数的共轭复数为.
（1）若，求：；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，且，求的取值范围.
22．已知z是复数，且和都是实数，其中i是虚数单位.
（1）求复数z和；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
先根据模的定义计算，并化简得到，再根据虚部的定义作出判定.
【详解】
∵，
∴的虚部为，
故选：A.
2．B
取特殊值可判断①、④的正误；利用“序”的定义可判断②、③的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于复数，，显然满足，但，，不满足，故①为假命题；
设，，，
由，得“”或“且”，
由，得“”或“且”，
所以， “”或“且”，即，故②为真命题；
设，，，
由可得“”或“且”，
显然有“”或“且”，从而，
故③为真命题；
对于复数，，显然满足，
令，则，，
显然不满足，故④为假命题.
故选：B.
本题考查复数的基本概念，理解复数集上的定义“序”及其应用是关键，也是难点，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
3．D
依题意根据复数的几何意义得到，再根据复数代数形式的乘法运算及共轭复数的概念计算可得.
【详解】
解：由题知，，则，所以，
故选：D．
4．D
先化简，再利用复数的除法化简得解.
【详解】
.
所以复数对应的点在第四象限，
故选：D
结论点睛：复数对应的点为，点在第几象限，复数对应的点就在第几象限.
5．B
根据复数的分类计算．
【详解】
，它是纯虚数，则，．
故选：B．
6．D
根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.
【详解】
因为，所以，
所以复数所对应的点的坐标为.
故选:D.
7．C
利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】
因为，故，故
故选：C.
8．D
由已知条件求出复数，利用共轭复数的定义可得出结果.
【详解】
因为，所以，，因此，.
故选：D.
9．A
根据复数除法运算求出，即可根据虚部求出.
【详解】
因为，所以，
则，解得．
故选：A.
10．A
根据复数加法几何意义以及向量的模的含义得结论.
【详解】
因为，所以+|-|,以、为相邻边的平行四边形的对角线相等，即以、为相邻边的平行四边形为矩形，因此，选A.
本题考查复数加法几何意义以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．D
利用充要条件的定义和复数的运算判断即可
【详解】
因为为实数，
所以，
反之，当时，复数的平方是一个实数，
所以复数的平方是一个实数的充要条件是，
故选：D
12．B
由题得，代入化简即得解.
【详解】
由题得.
故选：B
13．A
根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.
【详解】
因为，所以，
因此，
所以且则.
故选：A
14．C
先化简复数，再利用纯虚数的定义求解.
【详解】
由题得，
因为为纯虚数，
则，所以.
故选：C
结论点睛：复数则且，不要漏掉了.
15．D
根据复数的概念、复数的模、共轭复数的概念及复数的乘法运算逐项判断.
【详解】
的虚部为，A错误；，B错误；，C错误；
，D正确.
故选：D
16．
将代入方程可得，即可求出.
【详解】
因为是实系数一元二次方程的一个根，
所以，即，
整理得，
所以，解得，则.
故答案为：.
17．
直接利用复数的除法运算化简得到z的代数形式，再根据定义即得结果.
【详解】
因为
所以.
故答案为：.
18．
根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.
【详解】
，
又为纯虚数，即，解得
故答案为：
19．
设复数,在复平面内所对应的点分别是，向量，的夹角为
向量的夹角为，利用余弦定理在中求出，进而得到，再利用余弦定理在求出即可.
【详解】
设复数,在复平面内所对应的点分别是，
向量，的夹角为,则向量的夹角为，
在中，，即.
在中，，
∴.
本题考查复数加法和减法的几何意义，利用余弦定理是解题的关键，考查数形结合思想，属于中档题.
20．①；②；③．
根据复数的乘法法则，乘法公式计算．
【详解】
①；
②；
③．
21．（1）；（2）.
(1)利用复数模、共轭复数的意义结合复数乘法运算计算即得；
(2)利用共轭复数的意义及复数相等建立关系，再结合复数的几何意义列式计算即得.
【详解】
(1)依题意，，，则，
于是得，
所以；
(2)由(1)及得：，即，则，
因为在复平面内对应的点在第四象限，于是得，解得，
所以的取值范围为.
22．（1），；（2）.
（1）设（a，），由复数的运算法则分别求出和的表达式，再根据二者都为实数进行求解即可；
（2）根据复数的几何意义计算求解即可.
【详解】
（1）设（a，），则，
为实数，，即，
，
为实数，，
即，则，；
（2）由（1）得，
依题意得，解得，实数m的取值范围是.
答案第1页，共2页
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