人教A版（2019）必修第二册8.1基本立体图形同步练习（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.1 基本立体图形 同步练习
一、单选题
1．四氯化碳是一种有机化合物，分子式为，是一种无色透明液体，易挥发，曾作为灭火剂使用．四氯化碳分子的结构为正四面体结构，四个氯原子（Cl）位于正四面体的四个顶点处，碳原子（C）位于正四面体的中心．则四氯化碳分子的碳氯键（C-Cl）之间的夹角正弦值为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱上的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则在侧视图中对应的点为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．下列说法正确的有（ ）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（ ）
A．等腰梯形 B．非矩形的平行四边形
C．正五边形 D．正六边形
5．下列结论正确的是（ ）
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
6．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若线段A1D上存在一点E，使AE+B1E取得最小值，则此最小值是（ ）
A．4 B．
C． D．
7．已知长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为，则该长方体的表面积为（ ）
A．32 B．20 C．16 D．12
8．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）
A． B．2 C． D．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．棱台的所有侧棱延长后交于一点
C．所有几何体的表面都能展开成平面图形
D．正棱锥的各条棱长都相等
10．如图，正方体的一个截面经过顶点、及棱上一点，且将正方体分成体积之比为的两部分，则的值为
A． B． C． D．
11．已知正方体的棱长为1，则该正方体的体对角线长和外接球的半径分别是（ ）
A．； B．； C．； D．；
12．如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是(　　)
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
二、填空题
13．如图所示，在所有棱长均为1的直三核柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行两周到达点A1，则爬行的最短路程为___________.
14．“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，设球冠底的半径为，球冠的高为，则球的半径______________．
15．在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，则过点B，P，Q的截面形状是______.
16．在正三棱锥中，侧棱，且侧棱两两互相垂直，以为球心，为半径的球面与正三棱锥的表面相交，则交线的长度之和为___________.
17．如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_____
三、解答题
18．如图，在长方体中，指出经过顶点D的棱和面.
19．如图，说出图中两个几何体的结构特征.

20．一圆锥的母线长为，底面半径为，将该圆锥截成一圆台，截得圆台的母线长为，则圆台的另一底面半径是多少？
21．如图，四边形为矩形，，，，，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
将四面体放入正方体中进行计算，结合正方体和正四面体的几何特点，借助余弦定理即可容易求得结果.
【详解】
如图所示，正方体的棱长为a，正四面体的棱长为，
又该正方体的体对角线长度为，故，
根据题意可知，所求夹角为，
在中，由余弦定理可得：，
故，即四氯化碳分子的碳氯键（C-Cl）之间的夹角正弦值为.
故选：D．
2．C
根据三视图作出几何体的直观图，标出点的位置，由此可得出结论.
【详解】
根据三视图可知，该几何体的直观图如图所示，由图可知，在侧视图中对应的点为点，
故选：C．
3．A
根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.
【详解】
①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以①不正确；
②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；
③中底面不一定是正方形，所以③不正确；
④中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以④是正确的.
故选：A
4．C
在正方体中依次分析，经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，其他情况都可构造例子.
【详解】
画出截面图形如图：
可以画出等腰梯形，故A正确；
在正方体中，作截面（如图所示）交，，，分别于点，，，，根据平面平行的性质定理可得四边形中，，且，故四边形是平行四边形，此四边形不一定是矩形，故B正确；
经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故C错误；
正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D正确．
故选：C
5．D
根据棱锥的几何特征可判断A选项的正误；根据圆锥的形成可判断B选项的正误；根据正六棱锥的结构特征可判断C选项的正误；利用圆锥母线的定义可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，如下图所示：
多面体的每个面都是三角形，但该几何体不是三棱锥，A选项错误；
对于B选项，将直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，所形成的几何体是由两个圆锥拼接而成的组合体，B选项错误；
对于C选项，若六棱锥的每条棱都相等，则六边形为正六边形，
设点在底面的射影为点，则为正六边形的中心，如下图所示：
设六棱锥的每条棱长均为，易知为等边三角形，则，
，C选项错误；
对于D选项，圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线，D选项正确.
故选：D.
本题考查多面体结构的分析，考查推理能力，属于基础题.
6．C
将沿所在直线翻折，使点与点在平面，且在直线的异侧，再利用两点间线段最短和余弦定理进行求解.
【详解】
如图1，将沿所在直线翻折，使平面，
且点与点在直线的异侧，如图2所示，
因为是线段上任意一点，所以，
当且仅当三点共线时，取得最小值，
此最小值即为，
在中，由余弦定理，得：
，
所以.
故选:C．
图1 图2
7．A
设长方体的长、宽、高分别为，，，根据长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为，由和求解.
【详解】
设长方体的长、宽、高分别为，，，
由题意可知，…①，
…②，
由可得，
所以该长方体的表面积为32．
故选：A
本题主要考查长方体的几何特征以及表面积的求法，属于基础题.
8．B
可得原几何体如图所示正三棱锥，取中点，连接，设底面边长为，表示出，，即可求出，进而求出腰长.
【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥，
取中点，连接，则底面中心在上，连接，可得平面，
由三视图可知，，
设底面边长为，则，则，
则在等腰直角三角形中，，
是底面中心，则，
则，解得，
则，底面边长为，
则正视图（等腰三角形）的腰长为.
故选：B.
本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.
9．B
根据棱柱、棱台、球、正棱锥的结构特征依次判断选项即可.
【详解】
棱柱的侧面都是平行四边形，A不正确；
棱台是由对应的棱锥截得的，B正确；
不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，例如球不能展开成平面图形，C不正确；
正棱锥的各条棱长并不是都相等，应该为正棱锥的侧棱长都相等，所以D不正确.
故选：B.
10．C
连接，设正方体的棱长为，设，可得，设截面与棱的交点为点，连接、，利用面面平行的性质定理可得，可知棱台的体积为，利用台体的体积公式可计算出的值，即可得出的值.
【详解】
连接，设设截面与棱的交点为点，连接、，如下图所示：
设正方体的棱长为，设，则，
由于平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
，，，，
的面积为，
由题意可知，三棱台的体积为，整理得，
，解得，因此，.
故选：C.
本题考查平面截正方体所得截面图形的确定，同时也考查了台体体积公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
11．D
由勾股定理得出体对角线的长度，由外接球的半径长为体对角线长的一半得出半径.
【详解】
该正方体的体对角线长为，外接球的半径为
故选：D
12．B
结合图形以及四棱锥的结构特征即可判断.
【详解】
剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.
故选：B.
13．
将正三棱柱沿侧棱展开，再拼接一次，根据两点之间线段最短，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，即可求解．
【详解】
解将正三棱柱沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，
在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值，
由已知可得矩形的长等于，宽等于1，
所以最短距离为
故答案为：
14．
作出图形，可知球心到截面圆的距离为，利用勾股定理列等式可求得.
【详解】
如下图所示：
球心到截面圆的距离为，由勾股定理可得，化简得，
解得.
故答案为：.
15．菱形
取中点，证明四边形是截面，确定其形状后可得．
【详解】
连接，取中点，连接，
则在正方体中，，所以是平行四边形，与平行且相等，
同样由与平行且相等得是平行四边形，与平行且相等，
从而与平行且相等，所以是平行四边形，这就是过点B，P，Q的截面，
又，
因此四边形是菱形．
故答案为：菱形．
16．
设以顶点为球心，为半径作一个球，球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线是，如图所示，正确分析与各面的交线结合弧长公式即可求出答案．
【详解】
设以顶点为球心，为半径作一个球，球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线是，如图所示．
则，
在直角三角形中，，，
，
同理；
在直角三角形中，，，
，
在等边三角形中，，，
．
则这条封闭曲线的长度为．
故答案为：．
17．
【详解】
设球半径为，则．故答案为．
点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
18．，平面ABCD、平面，平面.
根据图像直接写出过点D的三条棱和三个平面.
【详解】
经过顶点D的棱有，经过顶点D的面有平面ABCD、平面，平面.
本题考查过点的直线和平面，属于基础题.
19．（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体.（2）由四梭柱和四棱锥组合而成的简单组合体.
根据图形将其分解成几个常见几何体并将其归类处理，即可得出结论.
【详解】
解：几何体（1）是圆台上拼接了一个与圆台上底同底的圆锥；
几何体（2）是长方体上拼接了一个同底的四棱锥；
本题考查常见几何体的组合结构特征，需要根据图形将其分解成几个常见几何体并将其归类处理.
20．
作出轴截面，利用平行线分线段成比例可构造方程求得结果.
【详解】
设圆台的另一底面半径是，作轴截面如图所示，
则，解得：，即圆台的另一底面半径是.
21．不是棱柱，四棱锥
根据棱柱定义，可判断这个几何体不是棱柱，要截出一个棱柱，只需侧棱相等，构造两个平面平行即可.
【详解】
因为这个几何体中没有两个互相平行的面，
所以这个几何体不是棱柱；
如图，在上取点，
使，在上取点，使，连接，
，，则过点，，的截面将原几何体分成两部分，
其中一部分是三棱柱，其侧棱长为2；
另一部分是四棱锥，即截去的几何体是四棱锥.
本题考查棱柱和棱锥的定义，以及棱柱的结构特征，属于基础题.
答案第1页，共2页
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