人教A版（2019）必修第二册8.4空间点、直线、平面之间的位置关系（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．在边长为1的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．在空间，已知直线及不在上两个不重合的点 ，过直线做平面，使得点 到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
3．设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，，则.
其中所有错误说法的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
4．在直三棱柱中，点M是侧棱中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如果直线l，m与平面满足和，那么必有（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
7．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A． B． C． D．
8．若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
9．四棱锥的底面是正方形，且各条棱长均相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A． B．
C． D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．梯形一定是平面图形
D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行
二、填空题
13．不重合的两个平面最多有_____________条公共直线
14．棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M为BC的中点；则直线AM和CD夹角的余弦值为___________.
15．在长方体的12条棱之中，我们把两条异面的棱称为“一对”，则12条棱中，共有___________对异面直线.
16．如图所示，用符号语言表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系：
①点，在直线上________；②直线在平面内________；③点在直线上，点在平面内________.
17．如图①，矩形中，，，是的中点，将三角形沿翻折，使得平面和平面垂直，如图②，连接，则异面直线和所成角的余弦值为______.
三、解答题
18．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点．求证：
（1）AM和CN共面；
（2）D1B和CC1是异面直线．
19．如图，点A在平面外，△BCD在平面内，E、F、G、H分别是线段BC、AB、AD、DC的中点．
(1)求证：E、F、G、H四点在同一平面上；
(2)若AC＝6，BD＝8，异面直线AC与BD所成的角为60°，求EG的长．
20．如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点.证明：平面ABC.
21．如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据直线与平面没有公共点可知平面.将截面补全后,可确定点的位置,进而求得三角形面积的最小值.
【详解】
由题意,,分别是棱,,的中点,补全截面为,如下图所示:
因为直线与平面没有公共点
所以平面,即平面,平面平面
此时位于底面对角线上,且当与底面中心重合时,取得最小值
此时三角形的面积最小
故选:D
本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的性质与应用,过定点截面的作法,属于难题.
2．C
分情况讨论可得出.
【详解】
（1）如图，当直线与异面时，则只有一种情况；
（2）当直线与平行时，则有无数种情况，平面可以绕着转动；
（3）如图，当过线段的中垂面时，有两种情况.
故选：C.
3．C
①利用平面与平面的位置关系判断；②利用线面垂直的性质定理判断；③利用直线与直线的位置关系判断；④利用面面垂直的性质定理判断.
【详解】
①若，，则或相交，故错误；
②若，，则可得，故正确；
③若，，则，故错误；
④若，，，当时，，故错误.
故选：C
4．B
可以取的中点，连接，将异面直线与转化为直线与所成的角，在连接，通过解三角形即可完成求解.
【详解】
如图所示，取的中点，连接，分别为、的中点，所以为的中位线，所以，所以异面直线与就是直线与所成的角，即或其补角，因为，所以，，，在中，，，，所以.
故选：B.
5．B
用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.
【详解】
①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.
②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.
③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么
这两个角相等或互补，故③错误.
④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.
故选：B
本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.
6．A
根据题设线面关系，结合平面的基本性质判断线线、线面、面面的位置关系.
【详解】
由，则；由，则；由上条件，m与可能平行、相交，与有可能平行、相交.
综上，A正确；B，C错误，m与有可能相交；D错误，与有可能相交．
故选：A
7．C
首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】
在长方体中，连接，
根据线面角的定义可知，
因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
8．D
根据异面直线所成角判断.
【详解】
因为、为异面直线，
所以、所成的角为锐角或直角，
因为直线与平行，
所以与所成的角为锐角或直角，
所以与的位置关系是异面或相交，
故选：D
9．D
作出图形，设四棱锥的各条棱的棱长为，计算出各边边长，利用余弦定理求出，即为所求.
【详解】
如下图所示，设四棱锥的各条棱的棱长为，连接、交于点，则为的中点，且平面，连接，取的中点，连接，
四边形为正方形，，则，
所以，异面直线与所成角为或其补角，
，，，
为的中点，，
、分别为、的中点，且，
平面，平面，平面，，
，由勾股定理得，
是边长为的等边三角形，为的中点，，
，由余弦定理得.
故选：D.
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.
10．A
根据课本点、线、面及其关系的符号表示规定逐一判断.
【详解】
点为元素，线和面是集合，根据点与集合、集合与集合之间的关系易得.
故选:A
11．B
本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】
方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）
由最大角定理，故选B.
方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得
，故选B.
常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.
12．C
由平面的基本性质，根据点、线、面的位置关系判断各选项的正误即可.
【详解】
A：不在一条直线上的三点确定一个平面，三点在一条直线上时不能确定平面，不正确；
B：点在直线上时，不能确定平面，不正确；
C：梯形有两条边平行，两条平行线确定一个平面，梯形的两腰也在平面内，正确；
D：过平面外一点与平面平行的平面内，过该点的直线都符合条件，不正确.
故选：C.
13．1
由平面的基本性质可求解.
【详解】
根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，
当相交时，有且只有一条公共直线.
故答案为：1
14．##
取中点，连接，，推导出，从而是直线和夹角，由此能求出直线和夹角的余弦值．
【详解】
解：取中点，连接，，
正四面体中棱长为1，
，分别是，的中点，
，是直线和夹角，
，，，
直线和夹角的余弦值为：．
故答案为：．
15．24
由异面直线的定义可得答案.
【详解】
解：在长方体中，与、构成异面直线，共构成4对异面直线，每一条棱都构成4对异面直线，长方体共有12条棱，再排除重复计算共有对异面直线，
故答案为：24.
16． ， ，
根据点、线、面位置关系及其表示方法即可求出结果.
【详解】
根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：①，；②；③，.
故答案为：①，；②；③，
17．
取的中点，作交延长线于，则是异面直线和所成角或其补角，可结合原矩形求出，然后由直角三角形得出，再用余弦定理求得结论．
【详解】
取的中点，作交延长线于，则是异面直线和所成角或其补角，连接，，
∵，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
而平面，所以，，
又∵，，所以，，，
,，则是平行四边形，，
在原矩形中，则，
，
，
，，
在中，，
所以异面直线和所成角的余弦为．
故答案为：.
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）连结MN，A1C1，AC，根据点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，利用平行关系的传递性得到MN∥AC即可；
（2）利用反证法，先假设D1B与CC1不是异面直线，证明D1，B，C，C1共面矛盾即可.
【详解】
（1）如图，连结MN，A1C1，AC.
∵点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
∴MN∥A1C1.
∵四边形A1ACC1为平行四边形，
∴A1C1∥AC，
∴MN∥AC，
∴A，M，N，C四点共面，即AM和CN共面．
（2）∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B 平面α，CC1 平面α，
∴D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．
∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．
19．(1)证明见解析
(2)答案见解析
（1）依据平行线确定一个平面，去证明E、F、G、H四点在同一平面上；
（2）先作出异面直线AC与BD所成的角，再分类讨论去求EG的长．
(1)
∵E、F分别为BC、AB的中点，．
又G、H分别为AD、DC的中点，．
由平行公理可得，∴E、F、G、H四点在同一平面上．
(2)
由（1）知，，又F、G分别为AB、AD的中点，可得，
则∠EFG为异面直线AC与BD所成的角或其补角．
∵AC＝6，BD＝8，∴EF＝3，FG＝4．
当∠EFG＝60°时，；
当∠EFG＝120°时，．
20．证明见解析
利用线面垂直的判定定理，只需证明，即可；
【详解】
证明：因为，O为AC的中点，所以，且.
连接OB
因为，
所以为等腰直角三角形，
且，.
由知，.
由，，平面，平面，
平面.
本题考查线面垂直的判定，属于基础题.
21．证明见解析
将三点共线转化为证明两面的交线问题，利用两面相交有且只有一条交线，即两面的公共点都在交线上.
【详解】
证明：如图，连接，，
则，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
又，平面，
则平面，
因为平面平面，
所以．即，，三点共线．
关键点点睛：本题的关键点是证明平面，平面平面，，即可证，，三点共线．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页