人教A版（2019）必修第二册8.5空间直线、平面的平行（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行
一、单选题
1．过平面外的直线l作一组平面与相交，若所得交线分别为a，b，c…，则这些交线的位置关系为（ ）
A．相交于同一点 B．相交但交于不同的点
C．平行 D．平行或相交于同一点
2．若是直线外一点，过点且与平行的平面（ ）
A．存在无数个 B．不存在
C．存在但只有一个 D．只存在两个
3．下列说法正确的是（ ）
A．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线
D．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行
4．如图，正方体的一个截面经过顶点、及棱上一点，且将正方体分成体积之比为的两部分，则的值为
A． B． C． D．
5．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
6．下列命题中正确的个数是（ ）
①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α；
②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行；
③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α；
④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
8．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9． 是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定的是（ ）
A． 都平行于直线
B．内有三个不共线的点到的距离相等
C． 是内的两条直线且，
D． 是两条异面直线且，，，
10．如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线（ ）
A．有一条 B．有二条
C．有无数条 D．不存在
11．已知两条不同的直线a，b和两个不重合的平面，下列条件中能推出结论的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
12．设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α内有无数个点到β的距离相等 D．α、β垂直于同一平面
二、填空题
13．已知三个互不重合的平面，，，且直线m、n不重合，由下列三个条件：①，；②，；③，．能推得的条件是________．
14．在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面四边形内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______.
15．如图，在正方体中，点，，分别是，，的中点，给出下列5个推断：
①平面； ②平面；
③平面； ④平面平面；
⑤平面平面.
其中推断正确的序号是_________.
16．若，，且，，则n与平面，的位置关系分别是______.
三、解答题
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∠ADP=90°，PD=AD，∠PDC=60°，E为PD中点.
（1）求证：PB//平面ACE：
（2）求四棱锥的体积.
18．如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：平面EFG//平面ABC.
19．在四棱锥中，平面，.四边形为梯形，.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
20．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱的中点.
（1）求证：经过三点的截面平分侧棱；
（2）若底面，且，求四面体的体积.
21．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
对于的位置关系进行分类讨论，由此确定正确选项.
【详解】
当时，根据线面平行的性质定理以及平行公理可知：所得交线平行.
当时，所得交线交于同一点.
所以所得交线平行或相交于同一点.
故选：D
2．A
根据线面平行的判定方法可直观想象得到结果.
【详解】
过点作直线的平行线，则经过且不经过的所有平面均与平行，故有无数个.
故选：A.
3．C
利用逐一验证法，结合面面平行的判定以及线线平行的特点，可得结果.
【详解】
A错，由两条直线与同一条直线所成的角相等，
可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面；
B错，
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，
则这两个平面可能平行或相交；
C正确，设////，
利用线面平行的性质定理，在平面中存在直线//，
在平面中存在直线//，所以可知//，
根据线面平行的判定定理，可得//，
然后根据线面平行的性质定理可知//，所以//；
D错，两个平面可能平行，也可能相交.
故选：C
本题考查面面平行的判定，还考查线面平行的判定定理以及性质定理，重点在于对定理的熟练应用，属基础题.
4．C
连接，设正方体的棱长为，设，可得，设截面与棱的交点为点，连接、，利用面面平行的性质定理可得，可知棱台的体积为，利用台体的体积公式可计算出的值，即可得出的值.
【详解】
连接，设设截面与棱的交点为点，连接、，如下图所示：
设正方体的棱长为，设，则，
由于平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
，，，，
的面积为，
由题意可知，三棱台的体积为，整理得，
，解得，因此，.
故选：C.
本题考查平面截正方体所得截面图形的确定，同时也考查了台体体积公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
5．D
利用空间线面关系定理分别分析四个选项，得到正确答案.
【详解】
对于A 当，，时，m，n有可能平行，所以不正确；
对于B 当，时，因为直线m，n的位置未知，所以α，β不一定平行，故不正确；
对于C 当，，时，m，n有可能异面，所以不正确；
对于D 满足面面垂直的性质定理，所以正确
故选：D
此题考查了空间线面关系，线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理的运用，属于基础题.
6．B
对于①，由线面位置关系的定义判断，对于②，由线面平行的性质判断，对于C，由线面平行的判定定理判断，对于D，由线面平行的定义判断
【详解】
对于①，若直线a上有无数个点不在平面α内，则直线a可能与平面α相交，也可能与平面α平行，所以①错误，
对于②，当直线a∥平面α时，直线a与平面α内直线平行或异面，所以②错误，
对于③，当直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α，或直线a在平面α内，所以③错误，
对于④，当直线a∥平面α时，则直线a与平面α无公共点，所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点，所以④正确，
故选：B
7．C
根据平面与平面的位置关系，即可判断A、C是否正确；根面面平行的判定定理，即可判断B是否正确；根据面面垂直和线面垂直的关系和线面的位置关系，即可判断D是否正确.
【详解】
对于A，，则，故A错误；
对于B，若，且，相交，，则，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则或，故D错误．
本题主要考查了线面、面面位置关系以及面面平行判定定理的应用，属于基础题.
8．D
题中是两条不同的直线，直线的位置关系由平行、相交、异面，直线与平面的位置关系由相交、平行、在平面内.两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
【详解】
A.直线也可能相交或者异面；
B.若在平面内则不成立；
C.直线也可能异面；
D.因为 ，所以，且，故.
故选：D
要全面考虑直线间的位置关系，以及直线与平面的位置关系，可以借助桌面和笔来进行分析.
9．D
根据面面平行的判定和性质，对选项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对于A，当，时，不能推出；
对于B，当，且在内，在交线的一侧有两点，另一侧一个点，三点到的距离相等时，不能推出；
对于C，当与平行时，不能推出；
对于D，，是两条异面直线，且，，，，
内存在两条相交直线与平面平行，
根据面面平行的判定，可得，
故选：D.
10．C
设平面，且，可证明平面，从而可得正确的选项.
【详解】
设平面，且，又平面，平面，
平面，显然满足要求的直线l有无数条.
故选：C.
本题考查线面平行的判断，注意根据所求直线在定平面中去构造与平面平行的直线，本题属于容易题.
11．C
根据线面平行的判定定理、性质定理和面面平行的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，两条不同的直线a，b和两个不重合的平面，
对于A中，若且，可得或，所以不正确；
对于B中，由，可得，又由，可能，所以不正确；
对于C中，由且，根据面面平行的性质，可得所以正确；
对于D中，由且，可得或，所以不正确.
故选：C.
12．B
应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确
【详解】
应用立方体，如下图所示：
选项A：α内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l，故A不一定能使α//β成立；
选项B：由面面平行的判定，可知B正确
选项C：在α内有一条直线平行于l，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l，故C不一定能使α//β成立；
选项D：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；
故选：B
本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题
13．①③
利用空间中直线与平面的位置关系，作图分析即可求解
【详解】
对于①，成立，证明如下：
证明如下： ，，
，，，
又，；
对于②，；③，，不成立，
如图
此时和是异面；
对于③，，成立，证明如下：
证明如下：，，，或，
假设，则，，又，，
这与相矛盾，因此不成立，故．
故答案为：①③.
14．
分别取棱的中点，连接，则可证得平面∥平面，由题意可得点必在线段上，由此可判断点在或处时，最长，位于线段的中点时最短，通过解直角三角形即可求得结果
【详解】
如下图所示，分别取棱的中点，连接，，
因为为分别为，，的中点，
所以∥，∥，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
因为∥，，所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
因为，所以平面∥平面，
因为是侧面四边形内一点，且平面，
所以点必在线段上，
在中，，
同理在中，求得,
所以为等腰三角形，
当点在的中点时，,此时最短，点在或处时，最长，
因为,
，
因为是侧面四边形内（不含边界）一点，
所以线段长度的取值范围是，
故答案为：
关键点点睛：此题考查面面平行，线面平行的判断，考查立体几何中的动点问题，解题的关键是通过证明面面平行，找出点必在线段上，从而可求出的最大值和最小值，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题
15．①③⑤
根据线面平行和面面平行的判断方法依次判断即可.
【详解】
对于①，可知在正方体中，平面平面，且平面，平面，故①正确；
对于②，，是，的中点，，与平面相交，故与平面不平行，故②错误；
对于③， ，是，的中点，，平面，平面，平面，故③正确；
对于④，由②得与平面不平行，则平面与平面不平行，故④错误；
对于⑤，由①得，平面，平面，平面，由③得，平面，平面，平面，，平面平面，故⑤正确.
故答案为：①③⑤.
本题考查线面平行和面面平行的判断，解题的关键是正确理解线面平行和面面平行的判定定理，正确找出图中的平行关系.
16．##平行，平行##
由，可得，由线面平行的判定定理，即得解
【详解】
由题意，
又，，，由线面平行的判定定理
，，，由线面平行的判定定理
故答案为：平行，平行
17．（1）证明见解析；（2）.
(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面内找一条直线与平行；
(2)利用等体积法求体积．
【详解】
（1）
取与的交点为，连接，
可知，为的中位线，，
又平面，平面，
所以平面
（2）因为，
所以平面，
又因为，所以为等边三角形，
.
立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果当时求体积，常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法.
18．证明见解析
先证明平面ABC，再证平面ABC，由面面平行的判定定理求证即可.
【详解】
，，
∴F是PB的中点，
∵E、F分别是SA，SB的中点，
∴，
又平面ABC，平面ABC，
∴平面ABC.
又∵G是棱SC的中点，同理：平面ABC，
又∵，平面ABC，
∴平面平面ABC.
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）连接交于，连接，由可得∽，可得，而，由此可得，再由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）过作于，结合已知条件求出，设三棱锥的高为，三棱锥的高为，则，从而可求得答案
【详解】
（1）证明：连接交于，连接，
因为，
所以∽，所以，所以，
因为，所以
所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）过作于，
因为，，
所以
设三棱锥的高为，三棱锥的高为，
则
，
，
.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）设截面与侧棱交于点，连结，证明即得为的中点，即截面平分侧棱；
（2）取中点，连，证明平面，即得解.
【详解】
（1）
证明：设截面与侧棱交于点，连结.
因为底面为矩形，所以.
又平面，且平面，
所以平面.
又平面，且平面平面，
所以.
又因为，所以
因为为的中点，所以为的中点，即截面平分侧棱.
（2）
平面，平面，
，又，
平面.
取中点，连，
是中点，
，即且平面，
又的面积.
四面体的体积.
方法点睛：求几何体的体积常用的方法有：（1）规则的公式法；（2）不规则的割补法；（3）等体积法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
21．（1）见解析；
（2）.
（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C到平面的距离，得到结果.
【详解】
（1）连接，
，分别为，中点 为的中位线
且
又为中点，且 且
四边形为平行四边形
，又平面，平面
平面
（2）在菱形中，为中点，所以，
根据题意有，，
因为棱柱为直棱柱，所以有平面，
所以，所以，
设点C到平面的距离为，
根据题意有，则有，
解得，
所以点C到平面的距离为.
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页