人教A版（2019）选择性必修第二册4.2等差数列同步练习（Word含答案解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.2 等差数列 同步练习
一、单选题
1．已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最小值
2．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
3．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ）
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
4．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B．45 C．75 D．150
5．已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时n的值为（ ）
A．8 B．5 C．6 D．7
6．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2020 B．2021
C．2022 D．2023
7．在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
8．数列中，，，那么这个数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
9．在等差数列中，已知，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为(参考数据：，)（ ）
A． B． C． D．
11．下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ）
A． B．
C．数列的通项公式为 D．
12．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ）
A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺
13．已知数列是公差不为零的等差数列，前项和为，则“，”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知是公差为d的等差数列，为其前n项和．若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
15．已知等差数列，的前项和分别为和，且，则
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知数列是等差数列，若，，则公差_____.
17．已知数列的各项均为正数，其前项和为满足，，设，为数列的前项和，则______.
18．记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________.
三、解答题
19．已知各项均为正数的等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
20．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
21．已知正项数列的前n项和为，满足（，），.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和的表达式.
22．在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
对于A选项，根据得到判断；对于C选项，根据得到判断；对于D选项，根据得到，结合判断； 对于B选项，根据，，得到时，判断.
【详解】
对于A选项，由可得，A选项正确；
对于C选项，由可得，∴，C选项错误；
对于D选项，由可得，且，，，
所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；
对于B选项，∵，，当时，，
所以，，B选项正确．
故选：C．
2．B
女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.
【详解】
设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，
且，故公差，
故，
故选：B.
3．C
先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.
【详解】
由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸）；
同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸）.
故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；
春分的晷长为，，
秋分的晷长为，，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；
小雪的晷长为，，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；
立春的晷长，立秋的晷长分别为，，
，，，
故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.
故选：C.
关键点点睛：
本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点.
4．C
先由行列式的定义化简，再根据等差数列的前项和公式求和即可.
【详解】
由行列式的定义有，即，
所以.
故选：C.
5．D
由，，可得，再结合等差中项分析得，进而得出，由此得解.
【详解】
设等差数列的公差为，
∵，∴，∴.
∵，，∴，
∴当取最大值时.
故选：D.
6．B
将等差数列前项和公式，改写成关于的二次函数，根据二次函数图像的对称性列出关于的方程即可求解.
【详解】
，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，
得，解得.
故选：B.
7．B
首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】
由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.
8．B
由已知等式证明数列为等差数列，即可写出等差数列的通项公式.
【详解】
因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，
则.
故选：B
本题考查等差数列的概念及通项公式，属于基础题.
9．D
根据等差中项可求得结果.
【详解】
由得，所以，
所以.
故选：D
10．C
根据规律可总结出第次操作去掉区间的长度和为，利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和，由此构造不等式求得结果.
【详解】
第一次操作去掉的区间长度为；
第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；
以此类推，第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，
进行了第次操作后，去掉区间长度和，
由，即，，
又，的最小值为.
故选：C.
关键点点睛：本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列，并能得到等比数列通项公式.
11．C
根据等差数列的中项性质以及通项公式，结合充分必要条件的概念逐项分析即可.
【详解】
对于A：数列是等差数列，
∴A选项为“数列是等差数列”的一个充要条件，故A错误；
对于B：易知B选项为“数列是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C：∵，∴，∴，
∴数列是等差数列，反之若为等差数列，则，
此时不一定为2，所以必要性不成立，
∴C选项为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；
对于D：若数列是等差数列，则，
∴成立，
反之当，，，时，满足，
但不是等差数列，
∴D选项为“数列是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．
故选：C．
12．C
设冬至日影长，公差为，结合等差数列通项及前n项和公式，结合题设列方程组求、，进而求小满日影长.
【详解】
从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，
∴，解得，，
∴小满日影长为（尺）.
故选：C.
13．A
利用等差数列的单调性及前n项和的性质分析
【详解】
∵恒成立，∴，∴递增；
反之，可取，则递增，但，
所以“，”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
本题以等差数列的单调性及前n项和的性质为载体，考查充分条件与必要条件的判断，难度一般.
14．C
根据是公差为d的等差数列，且，利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】
因为是公差为d的等差数列，且，
所以，
解得，
故选：C
15．A
由条件可设，，然后计算出和即可.
【详解】
因为等差数列，的前项和分别为和，且，
所以可设，，
所以，，所以.
故选：A
本题考查的是等差数列前项和的特点，属于基础题.
16．
根据已知条件可得出关于的方程，即可解得的值.
【详解】
若，，，解得．
故答案为：.
17．
首先由，求出数列的通项公式，即可得到的通项，从而求出；
【详解】
解：当时，，得，（舍），
由，①
当时，，②
①一②得，
化简得.
又因为数列的各项均为正数，
所以，
所以数列是首项，公差的等差数列，即，
所以，
所以
.
故答案为：
本题考查作差法求数列的通项公式，等差数列求和，属于中档题.
18．##
利用表示出已知的等量关系，解方程组求得后，利用等差数列通项公式求解即可.
【详解】
设等差数列的公差为，
由得：，解得：，.
故答案为：.
19．(1)
(2)
（1）依题意可得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可．
(1)
解：各项均为正数的等差数列满足，，
整理得，
由于，
所以，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以．
(2)
解：由（1）可得，
所以．
20．(1)；(2)7.
(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】
(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
21．（1）；（2）.
（1）利用可将题设中的递推关系转化为，利用等差数列的通项公式可求的通项公式，从而可求的通项公式.
（2）利用裂项相消法可求.
【详解】
（1）正项数列的前n项和为，满足（，），
所以，
整理得：，
由于数列为正项数列，所以（常数），
所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以，易见也适合该式.
故.
（2）由于，
所以
.
方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法或把通项拆成一个数列连续两项的和（除了符号外）.
22．（1）证明见解析；（2）an＝．
（1）利用等差数列的定义证明；
（2）用公式法求通项公式即可.
【详解】
（1）证明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，
整理得－＝3(n≥2)，
所以数列是以1为首项，以3为公差的等差数列．
（2）解：由（1）可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝．
(1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；
(2) 数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式.
答案第1页，共2页
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