4.3等比数列 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.3等比数列 同步练习
一、单选题
1．方程的两根的等比中项是（ ）
A．和2 B．1和4 C．2和4 D．2和1
2．在等比数列中，已知，则公比q=（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列的公差为正数，等比数列的公比为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．若首项为1的等比数列{an}的前3项和为3，则公比q为（ ）
A．－2 B．1
C．－2或1 D．2或－1
5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn+1>Sn”是“{an}单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
7．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（ ）
A． B． C． D．
8．数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知数列中，，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．一定为等差数列 B．一定为等比数列
C．可能为等差数列，但不会为等比数列 D．可能为等比数列，但不会为等差数列
10．已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
11．已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a12+a22+ +an2＝（　　）
A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．
12．数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
13．已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则（ ）
A． B． C． D．
14．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（ ）
A． B． C． D．
15．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180 B．108
C．75 D．63
二、填空题
16．对于数列，若点都在函数的图象上，则数列的前4项和___________.
17．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出________万元资金进行奖励.
18．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数为______．
三、解答题
19．等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
20．已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn ＝an＋1(n∈N*)．
（1）求证：{ bn }是等比数列；
（2）求{ an }的通项公式．
21．已知数列的前项和，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
22．已知数列满足：，.
（Ⅰ）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求使成立的最大正整数n的值.（其中，符号表示不超过x的最大整数）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
先根据韦达定理求出两根之积，再结合等比中项公式计算即可.
【详解】
由一元二次方程根与系数的关系可知方程的两根之积为4，
又因为，故方程的两根的等比中项是．
故选：A
2．D
由等比数列的通项公式列出方程组求解即可.
【详解】
由，解得
故选：D
3．B
分析得到，再解方程组即得解.
【详解】
由，得，因为，
所以，
解得.
故选：B.
4．C
对等比数列的公比分两种情况讨论即得解.
【详解】
当q＝1时，S3＝3a1＝3，符合题意；
当q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3，解得q＝－2.
故选：C
易错点睛：求等比数列的前项和时，要注意分和两种情况讨论.本题容易漏掉，导致出错.
5．D
由，举反例和即可得出结果
【详解】
，例如，但是数列不单调递增，故不充分；
数列单调递增，例如，但是，故不必要；
故选：D
6．B
由等比数列性质可知，即可求解，进而求出．
【详解】
解：由等比数列性质可知，所以或，
但，可知，所以，则，
故选：B
7．C
题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，由前项和公式求得，再由通项公式计算得选项．
【详解】
根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，则有，解得，从塔底数第二层灯的盏数为，
故选：C.
8．C
由题设可知为等比数列，再由等比数列的性质即可求解
【详解】
，则
又因为，所以
所以为等比数列
当时，；当时，
故选：C
9．C
由给定条件探求可得，再按是否为0分析数列的特性即可判断作答.
【详解】
因，则，即，
若，则，，数列为等差数列，
若，则数列为首项为，公比为4的等比数列，有，
当时，，显然不满足上式，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列，
所以数列可能为等差数列，但不会为等比数列.
故选：C
10．D
设等比数列的公比为，由已知求得，写出通项公式，然后求得积，确定在为偶数时，计算出（），再说明且为偶数时，即得．
【详解】
解：设等比数列的公比为，则，解得，所以，
所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，
而在上单调递减，；；，则，且，
当且为偶数时，，
，所以，所以时，取得最大值．
故选：D．
11．D
根据等比数列定义，求出，可证明是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，可得解
【详解】
由等比数列的定义，
故
由于
故是以1为首项，4为公比的等比数列
a12+a22+ +an2＝
故选：D
12．C
讨论n=1和n≥2两种情况，当n≥2时，通过及等比数列的定义得到答案.
【详解】
时，,
时，，所以，
而，
所以数列从第二项起是以3为首项，4为公比的等比数列，
所以.
故选：C.
13．C
由，可得，数列为常数列，令，可得，进而可得，利用裂项求和即可求解.
【详解】
数列满足，对任意的都有，
则有，可得数列为常数列，
有，得，得，
又由，
所以．
故选：C
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
14．B
先计算出的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.
【详解】
，，
设，
则，
两式相加得，因此，.
故选：B.
本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．
15．D
由等比数列前n项和的性质S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列，分析即得解
【详解】
由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，
即S21－S14＝3，∴S21＝63.
故选：D
16．30
根据等比数列的前项和公式可求.
【详解】
由题设可得，故，故为等比数列，其首项为2，公比为2，
故，
故答案为：30.
17．2046
根据题意，得到，进而得出每人所得奖金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，设第十名到第一名得到的奖金分别是，则，
当时，，
两式相减，可得，整理得，
又当时，，解得，
所以每人所得奖金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，
则万元.
故答案为：.
由与的关系式求通项公式的方法：
（1）先利用，求得数列的首项；
（2）用替换中的得到一个新的关系式，利用，即可求得时的表达式；
（3）对时的结果进行检验，若符合，则可数列的通项公式合并；若不符合，分和两端来写.
18．0，4，8，16或15，9，3，1
解法1：设这四个数依次为，a，，，由已知建立方程组，求解可得答案；
解法2：设这四个数依次为，，a，，由已知建立方程组，求解可得答案；
【详解】
解法1：设这四个数依次为，a，，，
由条件得解得或
所以当，时，所求的四个数分别为0，4，8，16；
当，时，所求的四个数分别为15，9，3，1．
故所求的四个数分别为0，4，8，16或15，9，3，1．
解法2：设这四个数依次为，，a，，由条件得解得或
当，时，所求的四个数分别为0，4，8，16；当，时，所求的四个数分别为15，9，3，1．
故所求的四个数分别为0，4，8，16或15，9，3，1．
19．（1）或 .
（2）.
【详解】
分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
20．（1）证明见解析；（2）an＝2n－1.
（1）由题意可得an＋1＋1＝2(an＋1)，利用等比数列的定义即可证明.
（2）利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
（1）证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn，
∵b1＝＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴＝2，∴{bn}是等比数列．
（2）由（1）知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列，
∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n－1.
21．（1）；（2）.
（1）当时，由有，两式相减即得解；
（2）由（1）有，利用错位相减法对数列求和.
【详解】
（1）当时，由有，所以，
当时，由有，
所以，整理得，
所以数列是以1为首项为公比的等比数列，所以；
（2）由（1）有，
所以，①
①得，②
①得，
所以.
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据已知条件灵活选择合适的方法求解.
22．（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）45.
（1）等式两边同时除以即可；
（2）需要对的整数部分与小数部分进行分析.
【详解】
∵，显然
∴，
是以为首项，3为公比的等比数列
即，所以.
（2）
.
因为n≥2时，，
.
所以n≥2时，.
又n=1时，，
所以；时， ，所以时，
.
由，及，得.
所以使成立的最大正整数n的值为45.
本题说明n≥2时，是解决问题的关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页