人教A版（2019）选择性必修第三册7.2离散型随机变量及其分布列（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第三册7.2离散型随机变量及其分布列（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 488.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-04 19:18:08 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第三册 7.2 离散型随机变量及其分布列
一、单选题
1．已知离散型随机变量的分布列，则等于（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
2．袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
4．某一随机变量的概率分布如下表，且，则 （ ）
0 1 2 3
0.1 0.2
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
5．下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）
A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567
6．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
8．下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中）（ ）
A．
1 2 3
B．
1 2 3
C．
1 2 3
D．
1 2 3
9．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则（ ）
A． B． C． D．
10．若某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量表示1次试验的成功次数，则（ ）
A．0 B． C． D．
11．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（ ）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
12．设随机变量的分布列如下
1 2 3 4 5 6
其中构成等差数列，则的（ ）A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
二、填空题
13．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道题，比赛规则：对于每道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题，并回答正确的得1分，抢到题目但回答错误的扣1分(即－1分)，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能值为________.
14．一个袋子里装有个红球和个黑球，从袋中取个球，取到个红球得分，取到个黑球得分．设总得分为随机变量，则_______．
15．设随机变量X的分布列为，则常数______，______，______．
16．在考试中,需回答三个问题,考试规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是_____.
三、解答题
17．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响．
(1)经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
(2)若经过轮投球，用表示经过第轮投球，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．
①求，，；
②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中，，的值分别写出，关于的表达式．
18．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量为取出此3球所得分数之和，求的分布列．
19．袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列．
20．设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（1）求的分布列；
（2）求的分布列．
21．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 0.15 0.45
试说明该同学的计算结果是否正确．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
由即可得解.
【详解】
.
故选：A
本题考查离散型随机变量分布列，属于基础题.
2．B
“放回4个球”也即是第5次抽取到了红球，由此求得的值.
【详解】
根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故.
故选：B.
3．D
根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.
【详解】
随机变量满足,,其中.
则随机变量的分布列为:
所以
随机变量,
所以当时,,当时,
所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):
则
当即,解得.所以A、B错误.
恒成立.
所以C错误,D正确
故选:D
本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.
4．C
由已知条件求出，然后根据分布列即可得出结果.
【详解】
由题意可得：，解得，
故，
故选：C.
5．B
直接利用条件概率公式计算得到答案.
【详解】
记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，
由题意可知，，所以．
故选：B.
本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力
6．D
结合二项分布可计算随机变量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函数的性质可求其范围.
【详解】
随机变量可能的取值为.
.
，
故的分布列为：
2 3
故
因为，故，而，故A、B错误.
而，
令，因为，
故，此时，
必成立，故C错误，D正确.
故选：D.
本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差的计算以及函数的值域的求法，计算分布列时可借助常见的分布列（如二项分布等）来计算，估计方差的范围时，注意利用换元法把高次函数的值域问题转化为二次函数的值域问题.
7．C
根据两点分布概率性质可得解.
【详解】
随机变量服从两点分布，，
根据两点分布概率性质可知：，
解得，
故选：C.
本题考查了两点分布概率性质的简单应用，属于基础题.
8．C
分析选项ABD不满足离散型随机变量的分布列的性质，选项C满足离散型随机变量的分布列的性质，即得解.
【详解】
解：选项A中，所以选项A不满足题意；
选项B中概率之和为，事实上，所以选项B不满足题意；
选项D中，都不符合概率的意义．所以选项D不满足题意；
选项C中，，，，且，显然有解．所以选项C满足题意.
故选：C
9．B
分别求出事件、事件B的可能的种数，代入条件概率公式即可得解.
【详解】
事件：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为，
事件B：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为，
.
故选：B
本题考查条件概率、排列组合，属于基础题.
10．D
由题意列出分布列，结合分布列的性质即可得解.
【详解】
由题意可设失败率为，则成功率为，则的分布列为
0 1
，解得，.
故选：D.
11．A
由离散型随机变量分布列的性质计算即可.
【详解】
由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3.又P(Y=2)=P(X=4)=0.3．
故选：A．
12．B
根据随机变量的分布列的概率和是1和等差数列的性质，得到，利用基本不等式可求得答案.
【详解】
，，，
当且仅当时取等，
故选：B.
本题主要考查随机变量的分布列的性质、等差数列的性质及基本不等式求最值的问题，涉及的知识点比较多.
13．－1，0，1，2，3.
甲胜乙，包含下面几种情况：一是甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了；甲没有抢到题目；甲抢到一个题；甲抢到两个题；甲抢到三个题；写出可能的取值．
【详解】
解：X＝－1表示甲抢到1题，且答错了，而乙抢到两题均答错，则甲获胜；
甲获胜还有以下可能：
X＝0，有两种可能：甲没抢到题，而乙抢到3题，且答错2题或3题；甲抢到2题，且1对1错，乙抢到1题，且答错；
X＝1时，有两种可能：甲抢到1题，且答对，而乙抢到2题，且1对1错或都错；甲抢到3题，且1错2对.
X＝2时，甲抢到2题均答对；
X＝3时，甲抢到3题均答对；
故答案为：－1，0，1，2，3.
14．
列出取出的4个球中红球的个数及对应的黑球个数，即可得可能出现的分值，利用排列组合知识列出概率计算公式从而求出概率.
【详解】
取出的4个球中红球的个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，
其分值为，.
故答案为：
本题考查离散型随机变量分布列，古典概型概率计算公式，排列组合计数原理，属于基础题.
15． ##0.8 ##0.4
根据离散型随机变量分布列的性质计算概率．
【详解】
由题意，知所给分布列为
X 1
P a
由离散型随机变量分布列的性质得，解得．
．
∵，∴，，．
∴．
16．-300,-100,100,300
【详解】
若答对0个问题得分；若答对1个问题得分；若答对2个问题得分；若问题全答对得分.
故答案为，，，.
点睛：本题考查的是离散型随机变量及其分布列，要理解题中的含义.
17．(1)分布列见解析
(2)①，，；②
（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，
由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．
(1)
记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，则相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，0，1，
，
，
，
∴的分布列为
0 1
(2)
①由（1）知，
同理，经过2轮投球，甲的得分的可能取值为，，0，1，2．
记，，，则，，
，，．
由此得甲的得分的分布列为
0 1 2
∴．
②∵，，
∴即∴
18．答案见解析
根据题设写出所有可能的取值，应用古典概型的概率求法求各对应值的概率，最后写出的分布列．
【详解】
由题意，所有可能的取值为3，4，5，6，且，，，．
∴的分布列为
3 4 5 6
19．分布列见解析
由服从两点分布求解.
【详解】
解：由题设知服从两点分布，且，．
所以的分布列为
0 1
20．（1）答案见解析 ；（2） 答案见解析．
（1）由题设的取值写出的可能取值，根据的分布列写出的分布列；
（2）由题设的取值写出的可能取值，根据的分布列写出的分布列；
【详解】
【解】（1）由题意，知的可能取值为2，5，8，11，14，
∴的分布列为
2 5 8 11 14
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）由题意，知的可能取值为0，1，2，3，
∴的分布列为
0 1 2 3
0.1 0.3 0.3 0.3
21．该同学的计算结果不正确;
根据分布列的性质进行解题即可.
【详解】
根据分布列的性质可知：
分布列中所有概率之和等于1，
而题目中，
所以该同学的计算结果不正确.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知离散型随机变量的分布列，则等于（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
2．袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
4．某一随机变量的概率分布如下表，且，则 （ ）
0 1 2 3
0.1 0.2
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
5．下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）
A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567
6．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
8．下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中）（ ）
A．
1 2 3
B．
1 2 3
C．
1 2 3
D．
1 2 3
9．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则（ ）
A． B． C． D．
10．若某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量表示1次试验的成功次数，则（ ）
A．0 B． C． D．
11．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（ ）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
12．设随机变量的分布列如下
1 2 3 4 5 6
其中构成等差数列，则的（ ）A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
二、填空题
13．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道题，比赛规则：对于每道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题，并回答正确的得1分，抢到题目但回答错误的扣1分(即－1分)，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能值为________.
14．一个袋子里装有个红球和个黑球，从袋中取个球，取到个红球得分，取到个黑球得分．设总得分为随机变量，则_______．
15．设随机变量X的分布列为，则常数______，______，______．
16．在考试中,需回答三个问题,考试规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是_____.
三、解答题
17．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响．
(1)经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
(2)若经过轮投球，用表示经过第轮投球，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．
①求，，；
②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中，，的值分别写出，关于的表达式．
18．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量为取出此3球所得分数之和，求的分布列．
19．袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列．
20．设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（1）求的分布列；
（2）求的分布列．
21．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 0.15 0.45
试说明该同学的计算结果是否正确．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
由即可得解.
【详解】
.
故选：A
本题考查离散型随机变量分布列，属于基础题.
2．B
“放回4个球”也即是第5次抽取到了红球，由此求得的值.
【详解】
根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故.
故选：B.
3．D
根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.
【详解】
随机变量满足,,其中.
则随机变量的分布列为:
所以
随机变量,
所以当时,,当时,
所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):
则
当即,解得.所以A、B错误.
恒成立.
所以C错误,D正确
故选:D
本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.
4．C
由已知条件求出，然后根据分布列即可得出结果.
【详解】
由题意可得：，解得，
故，
故选：C.
5．B
直接利用条件概率公式计算得到答案.
【详解】
记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，
由题意可知，，所以．
故选：B.
本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力
6．D
结合二项分布可计算随机变量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函数的性质可求其范围.
【详解】
随机变量可能的取值为.
.
，
故的分布列为：
2 3
故
因为，故，而，故A、B错误.
而，
令，因为，
故，此时，
必成立，故C错误，D正确.
故选：D.
本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差的计算以及函数的值域的求法，计算分布列时可借助常见的分布列（如二项分布等）来计算，估计方差的范围时，注意利用换元法把高次函数的值域问题转化为二次函数的值域问题.
7．C
根据两点分布概率性质可得解.
【详解】
随机变量服从两点分布，，
根据两点分布概率性质可知：，
解得，
故选：C.
本题考查了两点分布概率性质的简单应用，属于基础题.
8．C
分析选项ABD不满足离散型随机变量的分布列的性质，选项C满足离散型随机变量的分布列的性质，即得解.
【详解】
解：选项A中，所以选项A不满足题意；
选项B中概率之和为，事实上，所以选项B不满足题意；
选项D中，都不符合概率的意义．所以选项D不满足题意；
选项C中，，，，且，显然有解．所以选项C满足题意.
故选：C
9．B
分别求出事件、事件B的可能的种数，代入条件概率公式即可得解.
【详解】
事件：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为，
事件B：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为，
.
故选：B
本题考查条件概率、排列组合，属于基础题.
10．D
由题意列出分布列，结合分布列的性质即可得解.
【详解】
由题意可设失败率为，则成功率为，则的分布列为
0 1
，解得，.
故选：D.
11．A
由离散型随机变量分布列的性质计算即可.
【详解】
由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3.又P(Y=2)=P(X=4)=0.3．
故选：A．
12．B
根据随机变量的分布列的概率和是1和等差数列的性质，得到，利用基本不等式可求得答案.
【详解】
，，，
当且仅当时取等，
故选：B.
本题主要考查随机变量的分布列的性质、等差数列的性质及基本不等式求最值的问题，涉及的知识点比较多.
13．－1，0，1，2，3.
甲胜乙，包含下面几种情况：一是甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了；甲没有抢到题目；甲抢到一个题；甲抢到两个题；甲抢到三个题；写出可能的取值．
【详解】
解：X＝－1表示甲抢到1题，且答错了，而乙抢到两题均答错，则甲获胜；
甲获胜还有以下可能：
X＝0，有两种可能：甲没抢到题，而乙抢到3题，且答错2题或3题；甲抢到2题，且1对1错，乙抢到1题，且答错；
X＝1时，有两种可能：甲抢到1题，且答对，而乙抢到2题，且1对1错或都错；甲抢到3题，且1错2对.
X＝2时，甲抢到2题均答对；
X＝3时，甲抢到3题均答对；
故答案为：－1，0，1，2，3.
14．
列出取出的4个球中红球的个数及对应的黑球个数，即可得可能出现的分值，利用排列组合知识列出概率计算公式从而求出概率.
【详解】
取出的4个球中红球的个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，
其分值为，.
故答案为：
本题考查离散型随机变量分布列，古典概型概率计算公式，排列组合计数原理，属于基础题.
15． ##0.8 ##0.4
根据离散型随机变量分布列的性质计算概率．
【详解】
由题意，知所给分布列为
X 1
P a
由离散型随机变量分布列的性质得，解得．
．
∵，∴，，．
∴．
16．-300,-100,100,300
【详解】
若答对0个问题得分；若答对1个问题得分；若答对2个问题得分；若问题全答对得分.
故答案为，，，.
点睛：本题考查的是离散型随机变量及其分布列，要理解题中的含义.
17．(1)分布列见解析
(2)①，，；②
（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，
由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．
(1)
记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，则相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，0，1，
，
，
，
∴的分布列为
0 1
(2)
①由（1）知，
同理，经过2轮投球，甲的得分的可能取值为，，0，1，2．
记，，，则，，
，，．
由此得甲的得分的分布列为
0 1 2
∴．
②∵，，
∴即∴
18．答案见解析
根据题设写出所有可能的取值，应用古典概型的概率求法求各对应值的概率，最后写出的分布列．
【详解】
由题意，所有可能的取值为3，4，5，6，且，，，．
∴的分布列为
3 4 5 6
19．分布列见解析
由服从两点分布求解.
【详解】
解：由题设知服从两点分布，且，．
所以的分布列为
0 1
20．（1）答案见解析 ；（2） 答案见解析．
（1）由题设的取值写出的可能取值，根据的分布列写出的分布列；
（2）由题设的取值写出的可能取值，根据的分布列写出的分布列；
【详解】
【解】（1）由题意，知的可能取值为2，5，8，11，14，
∴的分布列为
2 5 8 11 14
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）由题意，知的可能取值为0，1，2，3，
∴的分布列为
0 1 2 3
0.1 0.3 0.3 0.3
21．该同学的计算结果不正确;
根据分布列的性质进行解题即可.
【详解】
根据分布列的性质可知：
分布列中所有概率之和等于1，
而题目中，
所以该同学的计算结果不正确.
答案第1页，共2页
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