课件17张PPT。 12.1 分解因式
山东教育出版社 七年级 下册 山东省泰安迎春学校 肖立新想一想： 能被100整除吗？你是怎么想的？看与同学的想法是不是一样？相互交流一下。
还能被哪些正整数整除啊?
?
还能被98、99整除
?
关键是把一个数式化成了几个数成绩的形式。议一议：你能尝试把 a3－a 化成几个整式的成绩的形式吗？与同伴交流一下吧！=a(a+1)(a-1)议一议：由______________ 得到________ 的变形是什么运算？由_______ 得到 ______________的变形与这种运算有什么不同？你能再举几个类似的例子吗？做一做计算下列个式:
3x(x-1)= _____
(m+4)(m-4)= ____
(y-3)2= _______
a(a+1)(a-1)= __ 根据左面的算式填空:
3x2-3x=_______
m2-16=__________
(3) y2-6y+9=______
(4) a3-a=___________
(5)ma+mb+mc
=___________3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+9a3-a3x(x-1) m(a+b+c) (m+4)(m-4) (y-3)2 a(a+1)(a-1)⑸ m(a+b+c) =_________ 左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运算变形过程.因式分解定义把一个多项式化成____________的形式,这种变形叫做把这个多项式 分解因式与整式乘法是互为逆运算关系.多项式的分解因式与整式乘法是方向相反的恒等式.几个整式的积分解因式基础闯关一 理解概念判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
(6).m2-4=(m+4)(m-4)
(7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解基础闯关二 巩固概念否是否否是否从变为为什么?.的值求时，１当acabcba-===386.1,386.2,14.3解: ab-ac=a(b-c)
当a=3.14, b=2.386, c=1.386时,
原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14能力提升 拓展应用 2. 20082+2009能被2008整除吗?
解: ∵20082+2009=2008(2008+1)
=2008 ×2009
∴ 20082+2009能被2009整除规律总结
对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变形.
整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是向着积化和差的形式发展；
多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发展.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.方法:检验因式分解是否正确,只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否正确.1.检验下列因式分解是否正确:达标检测正确错误错误正确=87（87+13）=(101+99)(101-99)4=8700=4003、 若n是整数,证明
(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.1、2、课件17张PPT。 12.2 提公因式法
第一课时
山东教育出版社 七年级 下册 山东省泰安迎春学校 肖立新回顾与思考 1 多项式的分解因式的概念：
把一个多项式__________________的
形式，叫做把这个多项式分解因式.
2 分解因式与整式乘法是_____过程.
3 分解因式要注意以下几点:
① 分解的对象必须是_______.
② 分解的结果一定是几个整式的_____的形式.
化为几个整式乘积互逆多项式乘积思考观察下列各式的结构有什么特点：⑶ ma＋mb⑷ cx－cy＋cz⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2 ⑵ 2πR＋2πr 公共特点：各式中的各项都含有一个公共的因数或因式＝m(a+b) 一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。(5) 3x2＋x 把一个多项式的各项含有的公因式，提取作为多项式的一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。am + bm = m(a + b)? 7x2 -21x
? 8 a 3 b2 –12ab 3 + ab
? m b2 + n b
? 7x 3y2 –42x2y 3
? 4a2 b – 2a b2 + 6abc说出下列各式的公因式：
7xabb7x2y22ab说出下列每一个多项式各项的公因式：⑴ ax＋ay⑵ 3mx－6nx2⑶ 4a2b＋10ab－2ab2⑷ 12xyz－9x2y2－6y2z2(公因式是a)(公因式是3x)(公因式是2ab)(公因式是3y)怎样正确多项式各项的公因式？ 1、公因式的系数是多项式各项系 数的最大公约数； 字母：2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 指数：3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂； 注： 多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式 。 系数：蓦然回首
把下列各式分解因式：
(1)-24x3+28x2-12x
(2)-4a3b3+6a2b-2ab
(3)-20x2y2-15xy2+25y3解： (1)-24x3+28x2-12x=-4x(6x2–7x+3)(2)-4a3b3+6a2b-2ab=-2ab(2a2b2–3a+1)(3)-20x2y2-15xy2+25y3 = -5y2(4x2+3x-5y) 把下列各式分解因式：
(1)a2b-2ab2 +ab
(2)3x3–3x2–9x
(3)4a4b-8a2b2+16ab4芝麻开花例3 把 -24x3–12x2+28x 分解因式.当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。例3 把 -24x3–12x2+28x 分解因式.当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。? 25x-5
? 3 x3 - 3x2 –9x
? 8a 2c+ 2b c
? - 4a 3b3 + 6 a2 b - 2ab
? - 2x2 –12xy2 +8xy3 练习 把下列各式分解因式：
小颖解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.解：8 a3b2 –12ab3c + ab
= ab·8a2b - ab·12b2 c +ab·1
= ab(8a2b - 12b2c) 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。错误例2 把下列多项式分解因式：
（1）12x2y+18xy2； （2）-x2+xy-xz；
（3）2x3+6x2+2x
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：
你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
甲同学：
解:12x2y+18xy2 =3xy(4x+6y)乙同学：
解:-x2+xy-xz
=-x(x+y-z)丙同学：
解:2x3+6x2+2x
=2x(x2+3x)找错误提公因式法分解因式正确的找出多项式各项的公因式。注意：1 多项式是几项，提公因式后也剩几项。
2 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后该项剩余1（不能漏写1)。
3 当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
2、确定公因式的方法：小结与反思3、用提公因式法分解因式的步骤：1、什么叫公因式、提公因式法？4、用提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；（2）小心漏项;（3）首项为负与众不同。第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，把多项式化成两个因式乘积的形式。1)定系数 2)定字母 3)定指数课件12张PPT。 12.2 提公因式法
第二课时
山东教育出版社 七年级 下册 山东省泰安迎春学校 肖立新2、确定公因式的方法：小结与反思3、用提公因式法分解因式的步骤：1、什么叫公因式、提公因式法？4、用提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；（2）小心漏项;（3）首项为负与众不同。第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，把多项式化成两个因式乘积的形式。1)定系数 2)定字母 3)定指数 在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立： (a-b) =___(b-a); (2) (a-b)2 =___(b-a)2;(3) (a-b)3 =___(b-a)3;(4) (a-b)4 =___(b-a)4;(5) (a+b)5 =___(b+a)5;(6) (a+b)6 =___(b+a)6.+－－+++(7) (a+b) =___(-b-a);-(8) (a+b)2 =___(-a-b)2.+做一做p50 填空由此可知规律：(1)a-b 与 -a+b 互为相反数. (a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）(2) a+b与b+a 互为相同数, (a+b)n = (b+a)n (n是整数） a+b 与 -a-b 互为相反数. (-a-b)n = (a+b)n (n是偶数）
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）练习一1.在下列各式右边括号前添上适当的符号,使左边与右边相等.
(1) a+2 = ___(2+a)
(2) -x+2y = ___(2y-x)
(3) (m-a)2 = ___(a-m)2
(4) (a-b)3 = ___(-a+b)3
(5) (x+y)(x-2y)= ___(y+x)(2y-x)+++--2.判断下列各式是否正确?
(1) (y-x)2 = -(x-y)2
(2) (3+2x)3 = -(2x+3)3
(3) a-2b = -(-2b+a)
(4) -a+b = -(a+b)
(5) (a-b)(x-2y) = (b-a)(2y-x) 否否否否对例1.把 a(x-3)+2b(x-3) 分解因式. 解： a(x-3)+2b(x-3) ＝（ｘ－３）（ａ＋２ｂ） 分析： 多项式可看成
a(x-3) 与 2b(x-3) 两项。
公因式为x-3例2. 把a(x-y)+b(y-x)分解因式. 解： a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) ＝（ｘ－y）（ａ-ｂ）分析：多项式可看成a(x-y)与+b(y-x)两项。其中X-y与y-x互为相反数，可将+b(y-x)变为-b(x-y)，则a(x-y)与-b(x-y) 公因式为 x-y例3. 把6(m-n)3-12(n-m)2分解因式. 解：6(m-n)3-12(n-m)2 = 6(m-n)3-12(m-n)2 ＝ 6(m-n)2(m-n-2) 分析：其中(m-n)与(n-m)互为相反数.可将-12(n-m) 2变为-12(m-n)2，则6(m-n)3与-12(m-n)2 公因式为6(m-n)2芝麻开花例4.把6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3分解因式. 解： 6(x+y)(y-x)2- 9(x-y)3
= 6(x+y)(x-y)2- 9(x-y)3
= 3(x-y)2[2(x+y)-3(x-y)]
= 3(x-y)2(2x+2y-3x+3y)
= 3(x-y)2(-x+5y)
=3(x-y)2(5y-x)(2) 5x(a-b)2+10y(b-a)2分解因式： (4) a(a+b)(a-b)-a(a+b)2 (5) mn(m+n)-m(n+m)2(6) 2(a-3)2-a+3(7) a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)练习二小结 两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时,
则两个多项式相等.
如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,
则两个多项式互为相反数.
如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（a-b） 课件17张PPT。 12.3 运用公式法
第一课时
山东教育出版社 七年级 下册 山东省泰安迎春学校 肖立新观察思考1、多项式x2－25，9x2 －y2，它们有什么共同特征？
2、尝试将它们分别写成两个因式的乘积，与同伴进行交流。
3、你还能举出类似的例子吗？试试看。1、多项式的平方差公式： 2 、因式分解的平方差公式： 下列各式能利用平方差公式分解因式吗？ 满足什么条件才能利用平方差公式分解因式？与同伴交流。下式中不能用平方差公式分解的是（ ） (A)(B)(C)(D)C（1）（2）（3）（4）请将下列各式分解因式：寻找不同合作学习：如何把下式因式分解？将下列各式分解因式：（1）（2）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。学以致用：1、因式分解的一个重要工具
平方差公式
2、我们在进行因式分解时
应注意的问题首先提取公因式
然后考虑用公式
最终必是连乘式（3）（4）（2）（1）简便计算：因式分解：（5）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么就称这个数为“神秘数”。
、 、
因此，4，12，20都是神秘数。 28是神秘数吗？神秘数都是4的倍数吗？请说明理由。知识拓展知识拓展英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？ 结束寄语：“学下去就有99％成功的希望，不干便是100％的失败。”课件22张PPT。 12.3 运用公式法
第二课时
山东教育出版社 七年级 下册 山东省泰安迎春学校 肖立新提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
运用公式法： ① a2-b2=(a+b)(a-b)
尝试练习：把下列各式分解因式① ② x4-16解:原式=ax2(x2-1)
=ax2(x+1)(x-1)解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2)知识回顾：分解因式学了哪些方法（有公因式，先提公因式。）（因式分解要彻底。）1．乘法公式——完全平方公式公式 2．因式分解公式——完全平方公式公式 用公式法正确分解因式关键是什么？熟知公式特征！从项数看：都是有 项3从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）
公式特征：是a表示2y，
b表示1否否否是a表示2y，
b表示3x是a表示(a+b)，
b表示1填一填多项式是a表示x，
b表示3
否否是a表示 ，
b表示3n填一填多项式是a表示x，
b表示1/2
填空： （1）a2+ +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ =(a-b) 2 （3）m2+2m+ =( ) 2 （4）n2-2n+ =( ) 2 （5）x2-x+0.25=( ) 2 （6）4x2+4xy+( ) 2=( ) 22abb21m+11n-1x-0.5y2x+y(1)x2＋14x＋49 解：(2)解：例题 (3)3ax2＋6axy＋3ay2 解：(4)解：例题 -x2-4y2＋4xy 解：例题 (5)解： 16x4-8x2＋1（6）解：判断因式分解正误。 (1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2错。应为： -x2-2xy-y2
=-（ x2+2xy+y2）
=-（x+y)2 （2）a2+2ab-b2 错。此多项式不是完全平方式因式分解：（1）25x2＋10x＋1 解:原式=（5x)2+2×5x×1+12
=(5x+1)2练一练解:原式=（3a)2-2×3a×b+b2
=(3a-b)2因式分解：解:原式=（7a)2+2×7a×b+b2
=(7a+b)2练一练 （4）-a2-10a -25解:原式=-（a2+2×a×5+52)
=-(a+5)2因式分解：（5）-a3b3+2a2b3-ab3解：原式=-ab3(a2-2a×1+12)
=-ab3(a-1)2练一练 （6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2解:原式=32-2×3×2(a-b)+
=
=(3-2a+2b)2分解因式：（1）x2-12xy+36y2
(2)16a4+24a2b2+9b4
(3)-2xy-x2-y2
(4)4-12(x-y)+9(x-y)2=(x-6y)2=(4a2+3b2)2=-(x+y)2=(2-3x+3y)2分解因式：2.3.=-(x+4)2=(3x+y)2=a(x+a)2把下列各式因式分解(7)(a+1)2-2(a2-1) ＋(a-1)2把下列各式因式分解=(a+1-a+1)2=4因式分解： (y2 + x2 )2 - 4x2y2=(y+x)2(y-x)2简便计算：解：原式=（56+34）2=902=81001.已知 4x2+kxy+9y2 是一个完全平式，则k=
a2+b2
22.已知 a(a+1)-(a2-b)=-2, 求 +ab
的值。±12解: 由a(a+1)-(a2-b)=a2+a-a2+b=a+b=-2得
能力提升3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。解：由x2+4x+y2-2y+5=(x2+4x+4)+(y2-2y+1)
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1=能力提升1:整式乘法的完全平方公式是：
2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
3:完全平方公式特点：含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项
小结课件9张PPT。 12.3 运用公式法
第三课时
山东教育出版社 七年级 下册 山东省泰安迎春学校 肖立新
公因式的确定方法：
(1)系数：取各系数的最大公约数
(2)字母：取各项相同的字母
(3)相同字母指数：取最低指数
完全平方公式：
a2＋2ab＋b2 = (a＋b)2
a2－2ab＋b2 = (a－b)2
一、分解因式 分解因式
多项式 整式的积
整式乘法
二、提公因式法
三、运用公式法
平方差公式：
a2－b2= (a＋b)(a－b)
例5：把下列各式分解因式(1)x(x+6)+9
(2)y(y+4) －4(y+1)有时分解因式的时候可能用到几种方法，即几种方法的综合运用。练习下面的题目并思考用到了哪些方法？例6：把下列各式分解因式(1)
(2)(1) x4-9x2； (2) -5x3+10x2-5x；
(3) x5-x3； (4) 8x2-2y2；
(5) 9(x+y)2-(x-y)2； (6) (x2+4)2-16x2；
(7) 9(m+n)2-4(m-n)2； (8) 2a2(a+b)2-3(a+b)3
课内练习分解因式： 999－999能被998整除吗？能被998和1000整除吗？为什么？ ３解：∵999－999=999（999－1）=999×（999－1）×(999+1)=999×998×1000
∴999－999能被998整除，也能被998和1000整除３２３补充练习若a=101,b=99,求a2-b2的值.
若x=-3,求20x2-60x的值.
1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解。 一提二套三综四查③再考虑综合分解法④检查：特别看看多项式因式是否分解彻底课件14张PPT。 第十二章 因式分解 复习课
山东教育出版社 七年级 下册 山东省泰安迎春学校 肖立新 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式。也叫做因式分解。即：一个多项式 →几个整式的积注：必须分解到每个多项式因式不能再分解为止 （二）分解因式的方法：（1）、提取公因式法
（2）、运用公式法（4）、分组分解法（3）、十字相乘法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例题：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2 ②p（y-x）-q（x-y）
③ (x-y)2-y(y-x)2（1）、提公因式法：即： ma + mb + mc = m（a+b+c）解：原式=3x2y2(2x-3y+1)解：原式=p(y-x)+q(y-x)
=(y-x)(p+q)解：原式=(x-y) 2(1-y)
（2）运用公式法：① a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ] ② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2 [ 完全平方公式 ]
a2 －2ab+ b2 ＝（a－b）2 [ 完全平方公式 ]
运用公式法中主要使用的公式有如下几个：例题：把下列各式分解因式
①x2－4y2 ② 9x2-6x+1
解：原式= x2-(2y)2
=（x+2y)(x-2y）解：原式=(3x)2-2·(3x) ·1+1
=（3x-1)2 ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用完全平方公式分解。 一提二套三综四查③再考虑综合分解法④检查：特别看看多项式因式是否分解彻底提公因式法 提公因式法利用平方差公式分解因式=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)=(3m+n)(m+3n)综合分解法把下列各式分解因式：⑶ -x3y3-2x2y2-xy(1) 4x2-16y2 (2) x2+xy+ y2.(4)81a4-b4???（6) (x-y)2 - 6x +6y+9⑸(2x+y)2-2(2x+y)+1⑺ x2y2+xy-12(8) (x+1)(x+5）+4解:原式=4(x2-4y2)
=4(x+2y)(x-2y)解:原式 = (x2+2xy+y2)
= (x+y)2解:原式=-xy(x2y2+2xy+1)
=-xy(xy+1)2解:原式=(9a2+b2)(9a2-b2)
=(9a2+b2)(3a+b)(3a-b)解：原式=(2x+y-1)2解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9
=(x-y-3)2解：原式=(xy-4)(xy+3)解：原式=x2+6x+5+4
=(x+3)2应用：1、 若 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k=（ ）±1402、计算(-2)101+(-2)1003、已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值解：原式=（-2)(-2)100+ (-2)100
=(-2)100(-2+1)=2100· (-1)=-2100解：原式=x3-x2+5x2-x3-9
=4x2-9
=(2x+3)(2x-3)又∵ 2x-3=0, ∴ 原式=0
