第6节 向心力
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第6节 向心力
1．做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，产生向心加速度的原因一定是物体受到了指
向________的合力，这个合力叫做向心力．向心力产生向心加速度，不断改变物体的速
度________，维持物体的圆周运动，因此向心力是一种________力，它可以是我们学过
的某种性质力，也可以是几种性质力的________或某一性质力的________．
2．向心力大小的计算公式为：Fn＝________＝________，其方向指向________．
3．若做圆周运动的物体所受的合外力不沿半径方向，可以根据F产生的的效果将其分
解为两个相互垂直的分力：跟圆周相切的____________和指向圆心方向的____________，
Ft产生________________________，改变物体速度的________；Fn产生_____，改变物
体速度的________．仅有向心加速度的运动是________________，同时具有切向加速度
和向心加速度的圆周运动就是________________．
4．一般曲线运动
运动轨迹既不是________也不是________的曲线运动，可称为一般曲线运动．曲线运动
问题的处理方法：把曲线分割成许多极短的小段，每一段都可以看作一小段________，
这些圆弧上具有不同的________，对每小段都可以采用____________的分析方法进行处
理．
5．关于向心力，下列说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生一个向心力
B．向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力
D．做一般曲线运动的物体的合力即为向心力
6．如图1所示，
图1
用细绳拴一小球在光滑桌面上绕一铁钉(系一绳套)做匀速圆周运动，关于小球的受力，
下列说法正确的是( )
A．重力、支持力
B．重力、支持力、绳子拉力
C．重力、支持力、绳子拉力和向心力
D．重力、支持力、向心力
7．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在
相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力之比为( )
A．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16
【概念规律练】
知识点一 向心力的概念
1．下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体受到向心力的作用才能做圆周运动
B．向心力是指向弧形轨道圆心方向的力，是根据力的作用效果命名的
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某一种力或某一种力
的分力
D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢
2．关于向心力，下列说法正确的是( )
A．向心力是一种效果力
B．向心力是一种具有某种性质的力
C．向心力既可以改变线速度的方向，又可以改变线速度的大小
D．向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
知识点二 向心力的来源
3．如图2所示，
图2
一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做
圆周运动，运动中小球所需向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳的方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
4．如图3所示，
图3
有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动，关
于小强的受力，下列说法正确的是( )
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，盘对他的摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力不变
知识点三 变速圆周运动
5．如图4所示，
图4
长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到
跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的
( )
A．线速度突然增大
B．角速度突然增大
C．向心加速度突然增大
D．悬线的拉力突然增大
【方法技巧练】
一、向心力大小的计算方法
6．一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对
老鹰作用力的大小等于( )
A．m B．m
C．m D．mg
7．在双人花样滑冰运动中，有时会看到男运动员拉着女运动员离开冰面在空中做圆锥摆
运动的精彩的场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角为30°，
重力加速度为g，估算该女运动员( )
A．受到的拉力为G B．受到的拉力为2G
C．向心加速度为3g D．向心加速度为2g
二、匀速圆周运动问题的分析方法
8.
图5
长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点．让其在水平面内做匀速圆周
运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图5所示．当摆线L与竖直方向的夹角为α时，
求：
(1)线的拉力F；
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的角速度及周期．
1．物体做匀速圆周运动时，下列关于物体受力情况的说法中正确的是( )
A．必须受到恒力的作用
B．物体所受合力必须等于零
C．物体所受合力大小可能变化
D．物体所受合力大小不变，方向不断改变
2．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是( )
3．如图6所示，
图6
某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合外力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合外力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
4．如图7所示，
图7
半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′转动，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的
动摩擦因数为μ，现要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为( )
A. B.
C. D.
5．甲、乙两名溜冰运动员，M甲＝80 kg，M乙＝40 kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的
溜冰表演．某时刻两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，下列判断中正确的是( )
A．两人的线速度相同，约为40 m/s
B．两人的角速度相同，为6 rad/s
C．两人的运动半径相同，都是0.45 m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m
6．如图8所示，
图8
天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动．系A的吊绳较短，
系B的吊绳较长，若天车运动到P处时突然停止，则两吊绳所受拉力FA、FB的大小关
系是( )
A．FA>FB>mg B．FAC．FA＝FB＝mg D．Fa＝FB>mg
7．如图9所示，
图9
光滑杆偏离竖直方向的夹角为θ，杆以O为支点绕竖直线旋转，质量为m的小球套在杆
上可沿杆滑动．当杆角速度为ω1时，小球旋转平面在A处；当杆角速度为ω2时，小球
旋转平面在B处，设球对杆的压力为FN，则有( )
A．FN1>FN2 B．FN1＝FN2
C．ω1<ω2 D．ω1>ω2
8．在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周
运动，下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
9．汽车甲和汽车乙的质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在
乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙．以下说法正确的是( )
A．Ff甲小于Ff乙
B．Ff甲等于Ff乙
C．Ff甲大于Ff乙
D．Ff甲和Ff乙的大小均与汽车速率无关
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答 案
10.如图10所示，
图10
质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点和端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀
速转动时，求杆的OA段和AB段对小球的拉力之比．
11.
图11
长L＝0.5 m、质量可忽略的杆，其下端固定于O点，上端连有质量m＝2 kg的小球，它
绕O点在竖直平面内做圆周运动．当通过最高点时，如图11所示，求下列情况下杆受
到的力(计算出大小，并说明是拉力还是压力，g取10 m/s2)：
(1)当v＝1 m/s时，杆受到的力为多少，是什么力？
(2)当v＝4 m/s时，杆受到的力为多少，是什么力？
12．如图12所示，
图12
一根长为0.1 m的细线，一端系着一个质量是0.18 kg的小球，拉住线的另一端，使球在
光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，当小球的转速增加到原转速3倍时，细线断裂，这
时测得线的拉力比原来大40 N．求：
(1)线断裂的瞬间，线的拉力；
(2)这时小球运动的线速度；
(3)如果桌面高出地面0.8 m，线断后小球飞出去落在离桌面的水平距离为多少的地方？
第6节 向心力
课前预习练
1．圆心 方向 效果 合力 分力
2．m mω2r 圆心
3．分力Ft 分力Fn 沿圆周切线方向的加速度 大小 指向圆心的加速度 方向 匀速圆周运动 变速圆周运动
4．直线 圆周 圆弧 半径 圆周运动
5．B [由向心力的概念对各选项作出判断，注意一般曲线运动与匀速圆周运动的区别．
与速度方向垂直的力使物体运动方向发生改变，此力指向圆心命名为向心力，所以向心力不是物体做圆周运动而产生的．向心力与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向．做匀速圆周运动的物体的向心力始终指向圆心，方向在不断变化，是个变力．做一般曲线运动的物体的合力通常可分解为切向分力和法向分力．切线方向的分力提供切向加速度，改变速度的大小；法线方向的分力提供向心加速度，改变速度的方向．正确选项为B.]
6．B [向心力是效果力，可以是一个力，也可以是一个力的分力或几个力的合力．]
7．C [由匀速圆周运动的向心力公式Fn＝mrω2＝mr()2，可得＝＝××()2＝.]
课堂探究练
1．ABCD [向心力是使物体做圆周运动的原因，它可由各种性质力的合力、某一个力或某一个力的分力提供，方向始终从做圆周运动的物体的所在位置指向圆心，是根据力的作用效果命名的，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．]
2．AD [向心力是按力的作用效果命名的，是一种效果力，所以A选项正确，B选项错误；由于向心力始终沿半径指向圆心，与速度的方向垂直，即向心力对做圆周运动的物体始终不做功，不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，因此C选项错误，D选项正确．]
点评 由于向心力是一种效果力，所以在受力分析时不要加上向心力，它只能由其他性质的力提供．
3．CD [
如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳的拉力，向心力由指向圆心O方向的合外力提供，因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向分力的合力，故选C、D.]
4．C [由于小强随圆盘一起做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力，A、B错误，C正确；由于小强随圆盘转动的半径不变，当圆盘角速度变小时，由Fn＝mrω2可知，所需向心力变小，故D错误．]
点评 对物体受力分析得到的指向圆心的力提供向心力．向心力可以是某个力、可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力．
在匀速圆周运动中，向心力就是物体所受的指向圆心方向的合外力．在变速圆周运动中，物体所受合外力一般不再指向圆心，可沿切线方向和法线方向分解，法线方向的分力就是向心力．
5．BCD [悬线与钉子碰撞前后瞬间，线的拉力始终与小球的运动方向垂直，不对小球做功，故小球的线速度不变．当半径减小时，由ω＝知ω变大，再由F向＝m知向心加速度突然增大．而在最低点F向＝FT－mg，故悬线的拉力变大．由此可知B、C、D选项正确．]
点评 作好受力分析，明确哪些力提供向心力，找准物体做圆周运动的径迹及位置是解题的关键．
6．A
7．B [
如图所示
F1＝Fcos 30°
F2＝Fsin 30°
F2＝G，F1＝ma
a＝g，F＝2G.]
方法总结 用向心力公式解题的思路与用牛顿第二定律解题的思路相似：
(1)明确研究对象，受力分析，画出受力示意图；
(2)分析运动情况，确定运动的平面、圆心和半径，明确向心加速度的方向和大小；
(3)在向心加速度方向上，求出合力的表达式，根据向心力公式列方程求解．
8．(1)F＝ (2)v＝
(3)ω＝ T＝2π
解析
做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力mg和绳子的拉力F.
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O′，且是水平方向．由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtan α，线对小球的拉力大小为：F＝.
(2)由牛顿第二定律得：mgtan α＝
由几何关系得r＝Lsin α
所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为
v＝
(3)小球运动的角速度
ω＝＝＝
小球运动的周期
T＝＝2π.
方法总结 匀速圆周运动问题的分析步骤：
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)将物体所受外力通过力的分解将其分解成为两部分，其中一部分分力沿半径方向．
(3)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m＝，另一方向F合2＝0.
(4)解方程，求出结果．
课后巩固练
1．D [匀速圆周运动的合外力是向心力，大小不变，方向始终指向圆心，即方向时刻变化，故A、B、C错，D对．]
2．C [由于雪橇在冰面上滑动，故滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即方向应为圆的切线方向，因做匀速圆周运动，合外力一定指向圆心，由此可知C正确．]
3．D [物体做加速曲线运动，合力不为零，A错；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合外力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错，D对．]
4．D [要使a恰不下滑，则a受筒的最大静摩擦力作用，此力与重力平衡，筒壁给a的支持力提供向心力，则FN＝mrω2，而Ffm＝mg＝μFN，所以mg＝μmrω2，故ω＝.所以A、B、C均错误，D正确．]
5．D [甲、乙两人绕共同的圆心做圆周运动，它们间的拉力互为向心力，他们的角速度相同，半径之和为两人的距离．
设甲、乙两人所需的向心力为F向，角速度为ω，半径分别为r甲、r乙，则
F向＝M甲ω2r甲＝M乙ω2r乙＝9.2 N①
r甲＋r乙＝0.9 m②
由①②两式可解得只有D项正确．]
6．A [突然停止时，A、B两物体速度相同，做圆周运动，FT－mg＝mv2/L，故FT＝mg＋mv2/L，LaFB>mg.]
7．BD [
由图可知，小球随杆旋转时受到重力mg和杆的支持力FN两个力作用．
合力F合＝mgcot θ提供向心力，
即mgcot θ＝mω2r，
ω＝，
因r2>r1，所以ω1>ω2，C错误，D正确；
而FN＝与半径无关，故FN1＝FN2，A错误，B正确．]
8．AC
9．A [两车做圆周运动的向心力均由摩擦力提供，由于甲车在乙车的外侧，故r甲>r乙，而两车的质量和速率均相等，根据Ff＝m可得选项A正确．]
10．3∶2
解析 本题所考查的内容是向心力和向心加速度的应用，设杆的OA和AB段对小球的拉力分别为FOA和FAB.
OA＝AB＝r
依据牛顿第二定律可得：
对小球A有：FOA－FAB＝mrω2①
对小球B有：FAB＝m2rω2②
由①②得FOA∶FAB＝3∶2
即杆的OA段和AB段对小球的拉力之比为3∶2.
11．(1)16 N 压力 (2)44 N 拉力
解析 本题考查圆周运动临界条件的应用．设小球受到杆的作用力FN向上，如图所示，则：
(1)F向＝m，即mg－FN1＝m
FN1＝mg－m＝2×10 N－2× N＝16 N
根据牛顿第三定律：杆受到的是压力，FN1′＝16 N，方向竖直向下．
(2)F向＝m，即mg－FN2＝m
FN2＝mg－m＝2×10 N－2× N＝－44 N
负号说明FN2与规定的正方向相反，故小球受到杆的作用力FN2＝44 N，方向应竖直向下．
根据牛顿第三定律：杆受到的是拉力，FN2′＝44 N，方向竖直向上．
12．(1)45 N (2)5 m/s (3)2 m
解析 (1)小球在光滑桌面上做匀速圆周运动时受三个力作用，重力mg、桌面弹力FN和线的拉力F.重力mg和弹力FN平衡．线的拉力等于向心力，F向＝F＝mω2R.设原来的角速度为ω0，线上的拉力是F0，加快后的角速度为ω，线断时的拉力是F1.则F1∶F0＝ω2∶ω＝9∶1.
又F1＝F0＋40 N，所以F0＝5 N，则线断时F1＝45 N.
(2)设线断时小球的速度为v，
由F1＝得v＝＝m/s＝5 m/s.
(3)由平抛运动规律得小球在空中运动的时间t＝＝ s＝0.4 s．小球落地处离桌面的水平距离s＝vt＝5×0.4 m＝2 m.
1．做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，产生向心加速度的原因一定是物体受到了指
向________的合力，这个合力叫做向心力．向心力产生向心加速度，不断改变物体的速
度________，维持物体的圆周运动，因此向心力是一种________力，它可以是我们学过
的某种性质力，也可以是几种性质力的________或某一性质力的________．
2．向心力大小的计算公式为：Fn＝________＝________，其方向指向________．
3．若做圆周运动的物体所受的合外力不沿半径方向，可以根据F产生的的效果将其分
解为两个相互垂直的分力：跟圆周相切的____________和指向圆心方向的____________，
Ft产生________________________，改变物体速度的________；Fn产生_____，改变物
体速度的________．仅有向心加速度的运动是________________，同时具有切向加速度
和向心加速度的圆周运动就是________________．
4．一般曲线运动
运动轨迹既不是________也不是________的曲线运动，可称为一般曲线运动．曲线运动
问题的处理方法：把曲线分割成许多极短的小段，每一段都可以看作一小段________，
这些圆弧上具有不同的________，对每小段都可以采用____________的分析方法进行处
理．
5．关于向心力，下列说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生一个向心力
B．向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力
D．做一般曲线运动的物体的合力即为向心力
6．如图1所示，
图1
用细绳拴一小球在光滑桌面上绕一铁钉(系一绳套)做匀速圆周运动，关于小球的受力，
下列说法正确的是( )
A．重力、支持力
B．重力、支持力、绳子拉力
C．重力、支持力、绳子拉力和向心力
D．重力、支持力、向心力
7．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在
相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力之比为( )
A．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16
【概念规律练】
知识点一 向心力的概念
1．下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体受到向心力的作用才能做圆周运动
B．向心力是指向弧形轨道圆心方向的力，是根据力的作用效果命名的
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某一种力或某一种力
的分力
D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢
2．关于向心力，下列说法正确的是( )
A．向心力是一种效果力
B．向心力是一种具有某种性质的力
C．向心力既可以改变线速度的方向，又可以改变线速度的大小
D．向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
知识点二 向心力的来源
3．如图2所示，
图2
一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做
圆周运动，运动中小球所需向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳的方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
4．如图3所示，
图3
有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动，关
于小强的受力，下列说法正确的是( )
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，盘对他的摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力不变
知识点三 变速圆周运动
5．如图4所示，
图4
长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到
跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的
( )
A．线速度突然增大
B．角速度突然增大
C．向心加速度突然增大
D．悬线的拉力突然增大
【方法技巧练】
一、向心力大小的计算方法
6．一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对
老鹰作用力的大小等于( )
A．m B．m
C．m D．mg
7．在双人花样滑冰运动中，有时会看到男运动员拉着女运动员离开冰面在空中做圆锥摆
运动的精彩的场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角为30°，
重力加速度为g，估算该女运动员( )
A．受到的拉力为G B．受到的拉力为2G
C．向心加速度为3g D．向心加速度为2g
二、匀速圆周运动问题的分析方法
8.
图5
长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点．让其在水平面内做匀速圆周
运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图5所示．当摆线L与竖直方向的夹角为α时，
求：
(1)线的拉力F；
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的角速度及周期．
1．物体做匀速圆周运动时，下列关于物体受力情况的说法中正确的是( )
A．必须受到恒力的作用
B．物体所受合力必须等于零
C．物体所受合力大小可能变化
D．物体所受合力大小不变，方向不断改变
2．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是( )
3．如图6所示，
图6
某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合外力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合外力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
4．如图7所示，
图7
半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′转动，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的
动摩擦因数为μ，现要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为( )
A. B.
C. D.
5．甲、乙两名溜冰运动员，M甲＝80 kg，M乙＝40 kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的
溜冰表演．某时刻两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，下列判断中正确的是( )
A．两人的线速度相同，约为40 m/s
B．两人的角速度相同，为6 rad/s
C．两人的运动半径相同，都是0.45 m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m
6．如图8所示，
图8
天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动．系A的吊绳较短，
系B的吊绳较长，若天车运动到P处时突然停止，则两吊绳所受拉力FA、FB的大小关
系是( )
A．FA>FB>mg B．FA
7．如图9所示，
图9
光滑杆偏离竖直方向的夹角为θ，杆以O为支点绕竖直线旋转，质量为m的小球套在杆
上可沿杆滑动．当杆角速度为ω1时，小球旋转平面在A处；当杆角速度为ω2时，小球
旋转平面在B处，设球对杆的压力为FN，则有( )
A．FN1>FN2 B．FN1＝FN2
C．ω1<ω2 D．ω1>ω2
8．在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周
运动，下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
9．汽车甲和汽车乙的质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在
乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙．以下说法正确的是( )
A．Ff甲小于Ff乙
B．Ff甲等于Ff乙
C．Ff甲大于Ff乙
D．Ff甲和Ff乙的大小均与汽车速率无关
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答 案
10.如图10所示，
图10
质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点和端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀
速转动时，求杆的OA段和AB段对小球的拉力之比．
11.
图11
长L＝0.5 m、质量可忽略的杆，其下端固定于O点，上端连有质量m＝2 kg的小球，它
绕O点在竖直平面内做圆周运动．当通过最高点时，如图11所示，求下列情况下杆受
到的力(计算出大小，并说明是拉力还是压力，g取10 m/s2)：
(1)当v＝1 m/s时，杆受到的力为多少，是什么力？
(2)当v＝4 m/s时，杆受到的力为多少，是什么力？
12．如图12所示，
图12
一根长为0.1 m的细线，一端系着一个质量是0.18 kg的小球，拉住线的另一端，使球在
光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，当小球的转速增加到原转速3倍时，细线断裂，这
时测得线的拉力比原来大40 N．求：
(1)线断裂的瞬间，线的拉力；
(2)这时小球运动的线速度；
(3)如果桌面高出地面0.8 m，线断后小球飞出去落在离桌面的水平距离为多少的地方？
第6节 向心力
课前预习练
1．圆心 方向 效果 合力 分力
2．m mω2r 圆心
3．分力Ft 分力Fn 沿圆周切线方向的加速度 大小 指向圆心的加速度 方向 匀速圆周运动 变速圆周运动
4．直线 圆周 圆弧 半径 圆周运动
5．B [由向心力的概念对各选项作出判断，注意一般曲线运动与匀速圆周运动的区别．
与速度方向垂直的力使物体运动方向发生改变，此力指向圆心命名为向心力，所以向心力不是物体做圆周运动而产生的．向心力与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向．做匀速圆周运动的物体的向心力始终指向圆心，方向在不断变化，是个变力．做一般曲线运动的物体的合力通常可分解为切向分力和法向分力．切线方向的分力提供切向加速度，改变速度的大小；法线方向的分力提供向心加速度，改变速度的方向．正确选项为B.]
6．B [向心力是效果力，可以是一个力，也可以是一个力的分力或几个力的合力．]
7．C [由匀速圆周运动的向心力公式Fn＝mrω2＝mr()2，可得＝＝××()2＝.]
课堂探究练
1．ABCD [向心力是使物体做圆周运动的原因，它可由各种性质力的合力、某一个力或某一个力的分力提供，方向始终从做圆周运动的物体的所在位置指向圆心，是根据力的作用效果命名的，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．]
2．AD [向心力是按力的作用效果命名的，是一种效果力，所以A选项正确，B选项错误；由于向心力始终沿半径指向圆心，与速度的方向垂直，即向心力对做圆周运动的物体始终不做功，不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，因此C选项错误，D选项正确．]
点评 由于向心力是一种效果力，所以在受力分析时不要加上向心力，它只能由其他性质的力提供．
3．CD [
如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳的拉力，向心力由指向圆心O方向的合外力提供，因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向分力的合力，故选C、D.]
4．C [由于小强随圆盘一起做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力，A、B错误，C正确；由于小强随圆盘转动的半径不变，当圆盘角速度变小时，由Fn＝mrω2可知，所需向心力变小，故D错误．]
点评 对物体受力分析得到的指向圆心的力提供向心力．向心力可以是某个力、可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力．
在匀速圆周运动中，向心力就是物体所受的指向圆心方向的合外力．在变速圆周运动中，物体所受合外力一般不再指向圆心，可沿切线方向和法线方向分解，法线方向的分力就是向心力．
5．BCD [悬线与钉子碰撞前后瞬间，线的拉力始终与小球的运动方向垂直，不对小球做功，故小球的线速度不变．当半径减小时，由ω＝知ω变大，再由F向＝m知向心加速度突然增大．而在最低点F向＝FT－mg，故悬线的拉力变大．由此可知B、C、D选项正确．]
点评 作好受力分析，明确哪些力提供向心力，找准物体做圆周运动的径迹及位置是解题的关键．
6．A
7．B [
如图所示
F1＝Fcos 30°
F2＝Fsin 30°
F2＝G，F1＝ma
a＝g，F＝2G.]
方法总结 用向心力公式解题的思路与用牛顿第二定律解题的思路相似：
(1)明确研究对象，受力分析，画出受力示意图；
(2)分析运动情况，确定运动的平面、圆心和半径，明确向心加速度的方向和大小；
(3)在向心加速度方向上，求出合力的表达式，根据向心力公式列方程求解．
8．(1)F＝ (2)v＝
(3)ω＝ T＝2π
解析
做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力mg和绳子的拉力F.
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O′，且是水平方向．由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtan α，线对小球的拉力大小为：F＝.
(2)由牛顿第二定律得：mgtan α＝
由几何关系得r＝Lsin α
所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为
v＝
(3)小球运动的角速度
ω＝＝＝
小球运动的周期
T＝＝2π.
方法总结 匀速圆周运动问题的分析步骤：
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)将物体所受外力通过力的分解将其分解成为两部分，其中一部分分力沿半径方向．
(3)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m＝，另一方向F合2＝0.
(4)解方程，求出结果．
课后巩固练
1．D [匀速圆周运动的合外力是向心力，大小不变，方向始终指向圆心，即方向时刻变化，故A、B、C错，D对．]
2．C [由于雪橇在冰面上滑动，故滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即方向应为圆的切线方向，因做匀速圆周运动，合外力一定指向圆心，由此可知C正确．]
3．D [物体做加速曲线运动，合力不为零，A错；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合外力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错，D对．]
4．D [要使a恰不下滑，则a受筒的最大静摩擦力作用，此力与重力平衡，筒壁给a的支持力提供向心力，则FN＝mrω2，而Ffm＝mg＝μFN，所以mg＝μmrω2，故ω＝.所以A、B、C均错误，D正确．]
5．D [甲、乙两人绕共同的圆心做圆周运动，它们间的拉力互为向心力，他们的角速度相同，半径之和为两人的距离．
设甲、乙两人所需的向心力为F向，角速度为ω，半径分别为r甲、r乙，则
F向＝M甲ω2r甲＝M乙ω2r乙＝9.2 N①
r甲＋r乙＝0.9 m②
由①②两式可解得只有D项正确．]
6．A [突然停止时，A、B两物体速度相同，做圆周运动，FT－mg＝mv2/L，故FT＝mg＋mv2/L，La
7．BD [
由图可知，小球随杆旋转时受到重力mg和杆的支持力FN两个力作用．
合力F合＝mgcot θ提供向心力，
即mgcot θ＝mω2r，
ω＝，
因r2>r1，所以ω1>ω2，C错误，D正确；
而FN＝与半径无关，故FN1＝FN2，A错误，B正确．]
8．AC
9．A [两车做圆周运动的向心力均由摩擦力提供，由于甲车在乙车的外侧，故r甲>r乙，而两车的质量和速率均相等，根据Ff＝m可得选项A正确．]
10．3∶2
解析 本题所考查的内容是向心力和向心加速度的应用，设杆的OA和AB段对小球的拉力分别为FOA和FAB.
OA＝AB＝r
依据牛顿第二定律可得：
对小球A有：FOA－FAB＝mrω2①
对小球B有：FAB＝m2rω2②
由①②得FOA∶FAB＝3∶2
即杆的OA段和AB段对小球的拉力之比为3∶2.
11．(1)16 N 压力 (2)44 N 拉力
解析 本题考查圆周运动临界条件的应用．设小球受到杆的作用力FN向上，如图所示，则：
(1)F向＝m，即mg－FN1＝m
FN1＝mg－m＝2×10 N－2× N＝16 N
根据牛顿第三定律：杆受到的是压力，FN1′＝16 N，方向竖直向下．
(2)F向＝m，即mg－FN2＝m
FN2＝mg－m＝2×10 N－2× N＝－44 N
负号说明FN2与规定的正方向相反，故小球受到杆的作用力FN2＝44 N，方向应竖直向下．
根据牛顿第三定律：杆受到的是拉力，FN2′＝44 N，方向竖直向上．
12．(1)45 N (2)5 m/s (3)2 m
解析 (1)小球在光滑桌面上做匀速圆周运动时受三个力作用，重力mg、桌面弹力FN和线的拉力F.重力mg和弹力FN平衡．线的拉力等于向心力，F向＝F＝mω2R.设原来的角速度为ω0，线上的拉力是F0，加快后的角速度为ω，线断时的拉力是F1.则F1∶F0＝ω2∶ω＝9∶1.
又F1＝F0＋40 N，所以F0＝5 N，则线断时F1＝45 N.
(2)设线断时小球的速度为v，
由F1＝得v＝＝m/s＝5 m/s.
(3)由平抛运动规律得小球在空中运动的时间t＝＝ s＝0.4 s．小球落地处离桌面的水平距离s＝vt＝5×0.4 m＝2 m.