第7节　生活中的圆周运动

第7节　生活中的圆周运动
1．火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有____________，需要__________．
如果转弯时内外轨一样高，则由____________________提供向心力，这样，铁轨和车轮
易受损．
如果转弯处外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力不再是竖直向上的，而是
________________，它与重力的合力指向________，为火车提供了一部分向心力，减轻
了轮缘与外轨的挤压．适当设计内外轨的高度差，使火车以规定的速度行驶时，转弯需
要的向心力几乎完全由________________________提供．
2．当汽车以相同的速率分别行驶在凸形桥的最高点和凹形桥的最低点时，汽车对桥的压
力的区别如下表所示.
内容
项目
凸形桥
凹形桥
受力分析图
以a方向为
正方向，根据
牛顿第二定
律列方程
mg－FN1＝m
FN1＝mg－m
FN2－mg＝m
FN2＝mg＋m
牛顿第三定律
FN1′＝FN1
＝mg－m
FN2′＝FN2
＝mg＋m
讨论
v增大，FN1′减小；当v增大到时，FN1′＝0
v增大，FN2′增大，只要v≠0，FN1′由列表比较可知，汽车在凹形桥上行驶对桥面及轮胎损害大，但在凸形桥上，最高点速
率不能超过________．当汽车以v≥的速率行驶时，将做__________，不再落到桥面
上．
3．(1)航天器中的物体做圆周运动需要的向心力由__________提供．
(2)当航天器的速度____________时，航天器所受的支持力FN＝0，此时航天器及其内部
的物体处于__________状态．
4．(1)离心现象：如果一个正在做匀速圆周运动的物体在运动过程中向心力突然消失或
合力不足以提供所需的向心力时，物体就会沿切线方向飞出或________圆心运动，这就
是离心现象．离心现象并非受“离心力”作用的运动．
(2)做圆周运动的物体所受的合外力F合指向圆心，且F合＝，物体做稳定的
________________；所受的合外力F合突然增大，即F合>mv2/r时，物体就会向内侧移动，
做________运动；所受的合外力F合突然减小，即F合做________运动，所受的合外力F合＝0时，物体做离心运动，沿切线方向飞出．
5．匀速圆周运动、离心运动、向心运动比较：
匀速圆周运动
离心运动
向心运动
受力
特点
________等于做圆周运动所需的向心力
合外力__________或者________提供圆周运动所需的向心力
合外力________做圆周运动所需的向心力
图示
力学
方程
F____mrω2
F____mrω2
(或F＝0)
F____mrω2
【概念规律练】
知识点一　火车转弯问题
1．在某转弯处，规定火车行驶的速率为v0，则下列说法中正确的是(　　)
A．当火车以速率v0行驶时，火车的重力与支持力的合力方向一定沿水平方向
B．当火车的速率v>v0时，火车对外轨有向外的侧向压力
C．当火车的速率v>v0时，火车对内轨有向内的挤压力
D．当火车的速率v2．修铁路时，两轨间距是1 435 mm，某处铁路转弯的半径是300 m，若规定火车通过
这里的速度是72 km/h.请你运用学过的知识计算一下，要想使内外轨均不受轮缘的挤压，
内外轨的高度差应是多大？
知识点二　汽车过桥问题
3．汽车驶向一凸形桥，为了在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应(　　)
A．以尽可能小的速度通过桥顶
B．适当增大速度通过桥顶
C．以任何速度匀速通过桥顶
D．使通过桥顶的向心加速度尽可能小
4．如图1所示，
图1
质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧
半径均为20 m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
知识点三　圆周运动中的超重、失重现象
5．在下面所介绍的各种情况中，哪种情况将出现超重现象(　　)
①小孩荡秋千经过最低点　②汽车过凸形桥　③汽车过凹形桥　④在绕地球做匀速圆周
运动的飞船中的仪器
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
知识点四　离心运动
6．下列关于离心现象的说法正确的是(　　)
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆
周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线方向做匀
速直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动
7.
图2
如图2所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球运动到P
点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是(　　)
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变小，小球将可能沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变大，小球将可能沿轨迹Pc做向心运动
【方法技巧练】
竖直平面内圆周运动问题的分析方法
8．如图3所示，
图3
小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的是(　　)
A．小球通过最高点时的最小速度是v＝
B．小球通过最高点时的最小速度为0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
图4
9．杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在
竖直面内做圆周运动．如图4所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm.求：
(1)在最高点水不流出的最小速率．
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小．
1．关于铁路转弯处内外轨道间有高度差，下列说法正确的是(　　)
A．可以使列车顺利转弯，减小车轮与铁轨间的侧向挤压
B．因为列车转弯时要受到离心力的作用，故一般使外轨高于内轨，以防列车翻倒
C．因为列车转弯时有向内侧倾倒的可能，故一般使内轨高于外轨，以防列车翻倒
D．以上说法都不正确
2．在高速公路的拐弯处，路面造的外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右
侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为
v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于(　　)
A．arcsin  B．arctan 
C.arcsin  D．arccot 
3．一辆卡车在丘陵地匀速行驶，地形如图5所示，b处比d处平缓，由于轮胎太旧，爆
胎可能性最大的地段应是(　　)
图5
A．a处 B．b处 C．c处 D．d处
4．洗衣机的脱水筒在工作时，有一衣物附着在竖直的筒壁上，则此时(　　)
A．衣物受重力、筒壁弹力和摩擦力作用
B．衣物随筒壁做圆周运动的向心力由摩擦力提供
C．筒壁的弹力随筒转速的增大而增大
D．筒壁对衣物的摩擦力随筒转速的增大而增大
5．铁路转弯处的弯道半径r主要是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外
轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确
的是(　　)
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越大则要求h越大
D．r一定时，v越小则要求h越大
6．冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R
的圆周滑行的运动员，其安全速度为(　　)
A．v＝k B．v≤
C．v≤ D．v≤
7．用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．小球过最高点时，绳子张力可以为零
B．小球过最高点时的最小速度是零
C．小球过最高点时的速度v≥
D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反
8．有一种大型游戏器械，它是一个圆筒形大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站
立．当圆筒开始转动，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下
去，这是为什么(　　)
A．游客受到的筒壁的弹力垂直于筒壁
B．游客处于失重状态
C．游客受到的摩擦力等于重力
D．游客随着转速的增大有沿壁向上滑动的趋势
9．如图6所示，
图6
汽车车厢顶部悬挂一轻质弹簧，弹簧拴一个质量为m的小球．当汽车在水平面上匀速行
驶时弹簧长度为L1，当汽车以同一速度通过一个桥面为弧形的凸形桥的最高点时弹簧长
度为L2，下列说法中正确的是(　　)
A．L1＝L2
B．L1>L2
C．L1D．前三种情况均有可能
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答　案
10.一辆质量为4 t的汽车驶过一半径为50 m的凸形桥面时，始终保持5 m/s的速率，汽
车所受的阻力为车对桥面压力的0.05倍．求通过桥的最高点时汽车的牵引力是多大？(g
取10 m/s2)
11.
图7
如图7所示，半径为R、内径很小的光滑半圆形细管竖直放置，有两个质量均为m的小
球A、B，以不同的速率进入管内，若A球通过圆周最高点N时，对管壁上部压力为3mg，
B球通过最高点N时，对管壁下部压力为，求A、B两球在N点的速度之比．
第7节　生活中的圆周运动
课前预习练
1．向心加速度　向心力　外轨对轮缘的弹力　斜向弯道的内侧　圆心　重力G和支持力FN的合力
2.　平抛运动
3．(1)万有引力　(2)等于　完全失重
4．(1)远离　(2)匀速圆周运动　向心　离心
5．合外力　突然消失　不足以　大于　＝　<　>
课堂探究练
1．ABD
2．0.195 m
解析　火车在转弯时所需的向心力由火车所受的重力和轨道对火车支持力的合力提供的，如图所示，图中h为两轨高度差，d为两轨间距，mgtan α＝m，tan α＝，又由于轨道平面和水平面间的夹角一般较小，可近似认为：tan α≈sin α＝.
因此：＝，则h＝＝ m＝0.195 m.
点评　近似计算是本题的关键一步，即当角度很小时：sin α≈tan α.
3．B
4．(1)10 m/s　(2)105 N
解析　(1)汽车在凹形桥底部时对桥面压力最大，由牛顿第二定律得：
FN－mg＝m.
代入数据解得vmax＝10 m/s.
(2)汽车在凸形桥顶部时对桥面压力最小，由牛顿第二定律得：
mg－FN′＝.
代入数据解得FN′＝105 N.
由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于105 N.
点评　(1)汽车行驶时，在凹形桥最低点，加速度方向竖直向上，汽车处于超重状态，故对桥面的压力大于重力；在凸形桥最高点，加速度方向竖直向下，处于失重状态，故对桥面的压力小于重力．
(2)汽车在拱形桥的最高点对桥面的压力小于或等于汽车的重力．
①当v＝时，FN＝0.
②当v>时，汽车会脱离桥面，发生危险．
③当0≤v<时，05．B　[物体在竖直平面内做圆周运动，受重力和拉力(支持力)的作用，若向心加速度向下，则mg－FN＝m，有FNmg，物体处于超重状态；若mg＝m，则FN＝0.]
点评　物体在竖直平面内做圆周运动时，在最高点处于失重状态；在最低点处于超重状态．
6．C　[物体之所以产生离心现象是由于F合＝F向7．ACD　[由F＝知，拉力变小，F不能提供所需向心力、r变大、小球做离心运动；反之，F变大，小球做向心运动．]
8．BC　[小球沿管道做圆周运动的向心力由重力及管道对小球的支持力的合力沿半径方向的分力提供．由于管道的内、外壁都可以提供支持力，因此过最高点的最小速度为0，A错误，B正确；小球在水平线ab以下受外侧管壁指向圆心的支持力作用，C正确；在ab线以上是否受外侧管壁的作用力由速度大小决定，D错误．]
9．(1)2.42 m/s　(2)2.6 N
解析　(1)在最高点水不流出的条件是水的重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即mg≤m，则所求最小速率v0＝＝ m/s＝2.42 m/s.
(2)当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力已不足以提供向心力，此时水杯底对水有一竖直向下的力，设为FN，由牛顿第二定律有FN＋mg＝m
即FN＝m－mg＝2.6 N
由牛顿第三定律知，水对杯底的作用力FN′＝FN＝2.6 N，方向竖直向上．
方法总结　对于竖直面内的圆周运动，在最高点的速度v＝往往是临界速度，若速度大于此临界速度，则重力不足以提供所需向心力，不足的部分由向下的压力或拉力提供；若速度小于此临界速度，侧重力大于所需向心力，要保证物体不脱离该圆周，物体必须受到一个向上的力．
课后巩固练
1．A　[铁路弯道处外轨高于内轨，目的是由支持力的水平分力提供向心力，从而减小了铁轨与轮边缘间的侧向挤压力．]
2．B　[
本题主要考查的是圆周运动的向心力问题．试题把情景设置在高速公路拐弯处，比较新颖，同时也考查考生对实际问题的处理能力．汽车向右拐弯时，受力如图所示．汽车做圆周运动的圆心与汽车在同一水平面上，当支持力FN和重力G的合力刚好是汽车沿圆弧运动的向心力时，汽车与路面之间的横向摩擦力就为0，因此由mgtan θ＝m可得θ＝arctan ，故本题应选B.]
3．D　[在凹形路面处支持力大于重力，且FN－mg＝m.因v不变，R越小，FN越大，故在d处爆胎可能性最大．]
4．AC　[对衣物研究，竖直方向：Ff＝mg.水平方向：FN＝mrω2＝mr(2πn)2.当转速增大时，摩擦力Ff不变，弹力FN增大．]
5．AC　[火车转弯时重力和支持力的合力提供向心力，则
mgtan θ＝m，v＝.当v一定时，r越小，θ越大，而车轨间距恒定，故h越大，A对，B错；当r一定时，v越大，θ越大，同理h越大，C对，D错．]
6．B　[运动员做圆周运动所需的向心力由冰面对他的静摩擦力提供，要想做圆周运动，必须满足Ff＝m，而Ffmax＝kmg≥Ff，解得v≤.]
7．AC　[设球过最高点时的速度为v
F合＝mg＋FT，
又F合＝，
则mg＋FT＝.
当FT＝0时，v＝，故A选项正确；
当v<时，FT<0，而绳只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故B、D选项错误；
当v>时，FT>0，球能沿圆弧通过最高点．
可见，v≥是球能沿圆弧过最高点的条件．]
8．AC　[游客随圆筒做圆周运动，当地板塌落后，游客仍能紧贴器壁而不落下去，是因为筒壁对游客的弹力指向圆心并提供向心力，方向垂直于筒壁．游客还受摩擦力和重力，在竖直方向上受力平衡，故A、C正确．]
9．B　[汽车在水平面上运动时，kL1＝mg，汽车在凸形桥最高点时，mg－kL2＝mv2/R，两式比较得L1>L2.]
10．1 900 N
解析　对汽车在拱形桥的最高点受力分析如图所示，
由于车速不变，所以在运动方向上有F＝Ff；汽车在桥的最高点时，车的重力和桥对车的支持力的合力是使汽车做圆周运动的向心力，方向竖直向下，根据牛顿第二定律有：
mg－FN＝m
由题意知Ff＝kFN
联立以上三式解得
F＝k(mg－m)
＝0.05×(4×103×10－4×103×) N
＝1 900 N
11．2 ∶1
解析　对A球在最高点时受力分析如图甲，
则3mg＋mg＝m
得vA＝2 
对B球在最高点时受力分析如图乙，则
mg－mg＝，得：vB＝，故＝.