6.1平面向量的概念 课件（共69张PPT）

(共69张PPT)
平面向量的概念
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
明目标、知重点
1.向量
既有 ，又有 的量叫做向量.
2.向量的几何表示
以A为起点、B为终点的有向线段记作 .
3.向量的有关概念
(1)零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 .
(2)单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量.
大小
填要点·记疑点
方向
0
0
1
(3)相等向量： 的向量叫做相等向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量.
①记法：向量a平行于向量b，记作 .
②规定：零向量与 平行.
长度相等且方向相同
相同或相反
非零
a∥b
任一向量
探要点·究所然
情境导学
回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小，又有方向的量进行抽象，形成一种新的量，即向量.
探究点一　向量的概念和几何表示
我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量.而把那些只有大小，没有方向的量称为数量.
例如，已知下列各量：
①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；
⑧重力；⑨路程；⑩密度.
其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.
思考1　向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？
答　联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的长度表示向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模).记作| |有向线段
箭头表示向量的方向.
思考2　向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
答　 向量的模可以为0，也可以为1，不可以为负数.
思考3　向量与有向线段有什么区别？
答　向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
探究点二　几个向量概念的理解
思考1　长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
答　长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的.
长度(或模)为1的向量叫做单位向量.
思考2　满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
答　长度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与b相等，记作a＝b.单位向量不一定是相等向量.
小结　研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素.对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错.
思考3　在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？
答　单位圆.
探究点三　平行向量与共线向量
思考1　如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？
答　方向相同或相反.
小结　方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b平行，通常记作a∥b. 规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.
由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
思考2　如果非零向量 是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？
答　 点A、B、C、D不一定共线.
思考3　若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？
答　向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线).
向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c a∥c.
小结　在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”.
例1　判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若 则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形ABCD中，一定有
④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
解　两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确.
② A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确.
③在平行四边形ABCD中， 与平行且方向相同，故 ③正确.
④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确.
⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确.
若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确.
反思与感悟　对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可.
跟踪训练1　判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
解　不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确.
②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
解　不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向.
③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；
解　正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向.由两向量相等的条件可得a＝b.
④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.
解　不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定.
例2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量
解　(1)向量 如图所示.
∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
反思与感悟　准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练2　在如图的方格纸上，已知向量a，每个
小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解　根据相等向量的定义，所作向量与向量a
平行，且长度相等(作图略).
解　由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略).
例3　如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.
(1)写出与 共线的向量；
解　因为E、F分别是AC、AB的中点，
反思与感悟　(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；
(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.
跟踪训练3　如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与 相等的向量.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.下列说法正确的是(　　)
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
1
2
3
4
解析　A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A不正确；
由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B不正确；
C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C不正确；
D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确.
答案　D
1
2
3
4
2.如图，在四边形ABCD中，若 则图中相等的向量是(　　)
D
1
2
3
4
3.如图，在△ABC中，若DE∥BC，则图中所示向量中是共线向量的有________________________.
解析　观察图形，并结合共线向量的定义可得解.
1
2
3
4
∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形.
梯形
呈重点、现规律
1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广意平行.
3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
明目标、知重点
1.向量
既有 ，又有 的量叫做向量.
2.向量的几何表示
以A为起点、B为终点的有向线段记作 .
3.向量的有关概念
(1)零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 .
(2)单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量.
大小
填要点·记疑点
方向
0
0
1
(3)相等向量： 的向量叫做相等向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量.
①记法：向量a平行于向量b，记作 .
②规定：零向量与 平行.
长度相等且方向相同
相同或相反
非零
a∥b
任一向量
探要点·究所然
情境导学
回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小，又有方向的量进行抽象，形成一种新的量，即向量.
探究点一　向量的概念和几何表示
我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量.而把那些只有大小，没有方向的量称为数量.
例如，已知下列各量：
①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；
⑧重力；⑨路程；⑩密度.
其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.
思考1　向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？
答　联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的长度表示向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模).记作| |有向线段
箭头表示向量的方向.
思考2　向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
答　 向量的模可以为0，也可以为1，不可以为负数.
思考3　向量与有向线段有什么区别？
答　向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
探究点二　几个向量概念的理解
思考1　长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
答　长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的.
长度(或模)为1的向量叫做单位向量.
思考2　满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
答　长度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与b相等，记作a＝b.单位向量不一定是相等向量.
小结　研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素.对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错.
思考3　在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？
答　单位圆.
探究点三　平行向量与共线向量
思考1　如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？
答　方向相同或相反.
小结　方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b平行，通常记作a∥b. 规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.
由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
思考2　如果非零向量 是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？
答　 点A、B、C、D不一定共线.
思考3　若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？
答　向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线).
向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c a∥c.
小结　在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”.
例1　判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若 则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形ABCD中，一定有
④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
解　两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确.
② A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确.
③在平行四边形ABCD中， 与平行且方向相同，故 ③正确.
④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确.
⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确.
若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确.
反思与感悟　对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可.
跟踪训练1　判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
解　不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确.
②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
解　不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向.
③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；
解　正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向.由两向量相等的条件可得a＝b.
④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.
解　不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定.
例2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量
解　(1)向量 如图所示.
∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
反思与感悟　准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练2　在如图的方格纸上，已知向量a，每个
小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解　根据相等向量的定义，所作向量与向量a
平行，且长度相等(作图略).
解　由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略).
例3　如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.
(1)写出与 共线的向量；
解　因为E、F分别是AC、AB的中点，
反思与感悟　(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；
(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.
跟踪训练3　如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与 相等的向量.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.下列说法正确的是(　　)
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
1
2
3
4
解析　A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A不正确；
由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B不正确；
C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C不正确；
D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确.
答案　D
1
2
3
4
2.如图，在四边形ABCD中，若 则图中相等的向量是(　　)
D
1
2
3
4
3.如图，在△ABC中，若DE∥BC，则图中所示向量中是共线向量的有________________________.
解析　观察图形，并结合共线向量的定义可得解.
1
2
3
4
∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形.
梯形
呈重点、现规律
1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广意平行.
3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.