第二章一元二次函数、方程和不等式 单元测试（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
3．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
4．设，则取得最小值时，的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
5．若关于x的不等式的解集是，则（ ）
A． B．
C． D．
6．设实数、满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，函数的最小值为（ ）
A．4 B．7 C．2 D．8
9．已知集合，则=
A． B． C． D．
10．设，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．5 D．
12．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
二、填空题
13．已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是________．
14．已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝_____．
15．已知，则函数的最小值为_______.
16．已知，且，则的最小值为_________．
三、解答题
17．（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
18．解关于x的不等式：．
19．函数．
（1）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，恒成立，求实数x的取值范围．
20．已知关于的不等式.
（1）求不等式的解集；
（2）若，，求实数的取值范围.
21．（1）解关于x的不等式；
（2）设，求函数的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．C
根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】
一元二次不等式的解集为，
所以，是方程的两个根，
所以，，
即，，则，
可知其解集为，
故选：C．
2．A
根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】
因为正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：．
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．A
由已知得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的最大值.
【详解】
已知正数、满足，可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，.
因此，实数的最大值为.
故选：A.
结论点睛：利用参变量分离法求解不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
4．A
转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.
【详解】
，
当且仅当，即，，时，等号成立.
故选：A.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．D
由题意得到，求得的表达式，结合，得到，进而判定A、B错误，再根据和，根据不等式的性质，可判断C错误，D正确.
【详解】
由不等式的解集是，即方程的两个根为和，
所以，解得，，
又由，则由，即，
所以必有，
对于A中，且，所以，所以A错误；
对于B中，当时，得到，所以B错误；
对于C中，当时，，又由，所以C错误；
对于D中，当时，可得，
又由，所以D正确.
故选：D.
6．B
利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
由已知得，，，故，
故选：B.
7．A
首先设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，结合条件列式，根据，求的取值范围，即可得到的取值范围.
【详解】
设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，
则.
要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，所以的取值为.
故选：A
8．B
结合基本不等式即可.
【详解】
因为，所以，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为7.
故选：B
9．C
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
10．B
根据题中条件，由基本不等式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
因为，，
所以，当且仅当且，即时取等号，故A正确．
因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误．
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，所以，即，故C正确．
因为，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：B.
本题主要考查由基本不等式判断所给不等式是否正确，属于常考题型.
11．C
化简，然后利用基本不等式求解即可
【详解】
根据题意，若正实数，满足，
则，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为5；
故选：C
此题考查基本不等式的应用，属于基础题
12．C
采用分离参数将问题转化为“对一切恒成立”，再利用基本不等式求解出的最小值，由此求解出的取值范围.
【详解】
因为不等式对于一切恒成立，
所以对一切恒成立，
所以，
又因为在上单调递减，所以，
所以，所以的最小值为，
故选：C.
本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.
13．
由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出实数的取值范围.
【详解】
因为、为两个正实数，由可得，
因为，当且仅当时，等号成立.
所以，，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
14．1
根据不等式的解集可得方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．
【详解】
∵不等式x2+ax+b≥0解集为{x|x≤2或x≥3}，
故方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，
由根与系数的关系可得，∴，∴a+b＝1．
故答案为：1．
15．7
由，得，构造导数关系，利用基本不等式即可得到.
【详解】
法一：，，
，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：7.
法二：，令得或，
当时函数单调递减，
当时函数单调递增，
所以当时函数取得最小值为：，
故答案为：7.
【点晴】
此题考基本不等式，属于简单题.
16．4
根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
17．（1）7；（2）.
（1）由题设知，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件；
（2）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件.
【详解】
（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为.
18．答案见解析.
分、、、、、、七种情况讨论即可.
【详解】
当时，不等式化为，解得
若，则原不等式可化为，
当时，，解得或
当时，不等式化为，解得且
当时，，解得或
若，则不等式可化为
当时，，解得
当时，不等式可化为，其解集为
当时，，解得
综上，当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为且
当时，不等式的解集为或
本题考查的是含参的分式不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
19．（1）；（2） ；（3）
（1）当时，恒成立，利用判别式，求解即可；
（2）当时，恒成成立，令，该二次函数对称轴为，属于轴动区间定的问题，需分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求，解不等式求实数a的取值范围；
（3）令，恒成立，即恒成立，函数是关于a的一次函数，只需，求解不等式得到实数x的取值范围.
【详解】
（1）当时，恒成立，即恒成立，
则，即，解得
所以实数a的取值范围是．
（2）当时，恒成成立，令，即，该二次函数对称轴为，分如下三种情况讨论：
①当，即时，函数在上单调递增，，解得，此时无解；
②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，解得，此时；
③当，即时，函数在上单调递减，，解得，此时；
综上可知，实数a的取值范围是．
（3）令，当时，恒成立，即恒成立，
函数是关于a的一次函数，其图像在上是单调的，所以要，只需，即，解得或
所以实数x的取值范围是
方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.
20．（1）答案见解析；（2）.
（1）通过因式分解得：，然后分3种情况，当，，时，分别求出不等式的解集；
（2）根据，列出不等式组，可确定实数的取值范围.
【详解】
（1），
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为.
（2）由上（1），时，，
所以，得，
所以，实数的取值范围.
本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论是解决本题的关键；同时考查集合之间的包含的关系，可通过解不等式组来确定参数的取值范围，属于简单题.
21．（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；（2）.
（1）先因式分解，再根据根的大小分类讨论，即得结果；
（2）根据基本不等式求最值.
【详解】
解：原不等式可化为，
当时，解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．
，
．
当，即时，等号成立，
本题考查解参数不等式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页