4.1数列的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.1数列的概念 同步练习
一、单选题
1．在数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．4
2．已知数列的前n项和为，，则当取最小值时，n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1
C． D．2
4．数列，，，，…，的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．数列的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
7．函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则（ ）
1 2 3 4 5
5 1 3 4 2
A．1 B．2 C．4 D．5
8．已知数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是
9．已知数列的通项为，则满足的n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．下列叙述正确的是（ ）
A．数列与是相同的数列
B．数列可以表示为
C．数列是常数列
D．数列是递增数列
11．设数列满足，，记，则使成立的最小正整数是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
12．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．设数列的前项和为，且满足，，则___________.
14．设数列的前项和为，已知，，若，则的最小值是______．
15．数列，若，，则________.
16．设数列的前项和为，若且当时，，则的通项公式_______.
17．在数列中，，，则______ ．
三、解答题
18．已知正项数列，其前项和为．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和．
19．如果，，，那么就称表示x的整数部分，表示x的小数部分.已知数列满足，，求的值.
20．根据下列数列的首项和递推公式，写出数列前项，并由此归纳出它的通项公式.
（1），；
（2），.
21．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
根据题意计算出数列的周期，即可求得.
【详解】
解：由，得，
即，
数列是以3为周期的周期数列，
．
故选：B．
2．B
根据题意，由数列的通项公式可得当时，有，当时，有，据此分析可得答案.
【详解】
根据题意，数列中，，
当时，有，当时，有，
则当时，最小，
故选：B
3．A
通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案.
【详解】
，，，
可得数列是以3为周期的周期数列，
.
故选：A.
本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.
4．D
利用数列的前几项排除A、B、C，即可得解；
【详解】
解：由，排除A，C，由，排除B，
分母为奇数列，分子为，故数列的通项公式可以为，
故选：D．
5．B
根据，由递推求解.
【详解】
因为，，
所以，
，
，
，
，
故选：B
本题主要考查数列的递推，属于基础题.
6．A
利用与的关系确定的通项，然后得出题设结论．
【详解】
先写出的通项是，
数列的通项公式是．
故选：A．
7．D
先根据定义计算，找出规律，根据周期求结果.
【详解】
∵，，，
∴该数列周期为3，
∴.
故选：D.
8．B
令，则，，然后利用函数的知识可得答案.
【详解】
令，则，
当时，
当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减
所以当即时，取得最大值，
所以此数列的最大项是，最小项为
故选：B．
9．C
根据题意列出不等式，然后分类讨论求解
【详解】
因为数列的通项为，满足，
所以，即，
当时，，解得，
当时，解得，因为，所以，
当时，则，解得，
综上，满足的n的值为5，
故选：C
10．D
根据数列的概念逐一判断即可.
【详解】
对于A，数列与不是相同的数列，故A错误；
对于B，数列可以表示为，故B错误；
对于C，数列是摆动数列，故C错误；
对于D，数列是递增数列，故D正确.
故选：D.
11．D
由条件分析数列的单调性，由此确定满足的最小正整数.
【详解】
∵，
∴，又，
∴ 数列为递增数列，∴
∵
∴，
∴
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
当时，，
又
∴当时，，
当时，
∴ 使成立的最小正整数是2023.
故选：D.
本题主要考察累加法求数列的通项，一般的，若，则，即.
12．D
首先通过列举数列的项，得到数列是周期数列，利用周期判断选项.
【详解】
，，，，……
所以数列是以3为周期的周期数列，前三项和，
，，所以，
，，所以.
故选：D
关键点点睛：本题的关键是根据递推公式，列举数列中的项，判断数列是周期数列.
13．
将代入递推关系式即可得到结果.
【详解】
当时，，又，.
故答案为：.
14．4
根据已知条件先求解出，再利用求解出，将不等式化简求解出的取值范围，从而的最小值可求.
【详解】
∵，∴，
∴，∴是等比数列且，
又，∴，∴，
∴当时，，则有，
又∵，∴，
化简得，解得或，
∵，所以，则．
故答案为：.
本题考查数列与不等式的综合应用，其中涉及构造法求通项公式以及利用求的通项公式，难度较难.
15．43
根据题意，利用累加法求得.
【详解】
由可得，
，
，
，
上式相加得，又，
可得
故答案为：43
本小题主要考查累加法，考查运算求解能力，属于基础题.
16．
根据与的关系，当时，可得，从而可得，从而可得，进而求出，再根据与的关系即可求解.
【详解】
当时，，
则，
，
，，即，
，
所以，
所以当时，，
当时，，不满足上式，
故，
故答案为：
本题主要考查了与的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题.
17．18
利用累积法进行求解即可.
【详解】
解：在数列中，，，
，则
故答案为：18．
18．（1）；（2）．
（1）Sn前后两项作差消去，求得an的前后两项关系，从而求得an的通项公式；
（2）由（1）求得bn，对n分奇数，偶数两种情况讨论，分组求和求得数列前n项和.
【详解】
解：（1）由已知，①
所以有，②
②-①，得，即，∴，
所以数列是公比为的等比数列．
又，∴．所以
（2）由（1）得，
当n为奇数时，
当n为偶数时，
综上所述，
方法点睛：（1）通过an+1=Sn+1-Sn得到an前后两项的关系，从而求得通项公式；
（2）对于含有(-1)n的问题可以讨论n的奇偶性，即可去掉该项，然后按照分组求和的方法求得数列前n项和.
19．
根据， ，，递推出数列的规律求解.
【详解】
因为，，
所以，
所以，
所以，，
…,
所以当n为奇数时， ；
当n为偶数时，，
所以，
所以.
20．（1），，，，；；（2），，，，；.
（1）根据递推公式写出数列的前项，并将这项表示为与序号相关的式子，由此可归纳出数列的通项公式；
（2）根据递推公式写出数列的前项，并将这项表示为与序号相关的式子，由此可归纳出数列的通项公式.
【详解】
（1），，
，，，，，
所以，数列的通项公式为；
（2），.
，，，，.
所以，数列的通项公式为.
欲由数列的前几项写它的通项公式，关键在于把握数列每一项的值与其序号之间的对应关系，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
21．（1）；（2）证明见解析.
（1）得到当时，，然后与原式联立，可得，然后验证是否满足即可.
（2）根据（1）中条件可得，然后使用裂项相消求和并简单判断即可.
【详解】
（1）由题意： ①
当时， ②
①－②得，即，
当时，满足上式，
所以．
（2）因为，
所以，
所以
又，所以．
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