4.2等差数列 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.2 等差数列 同步练习
一、单选题
1．数列满足，则数列的前60项和等于（ ）
A．1830 B．1820 C．1810 D．1800
2．已知等差数列中，，则数列的公差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．设等差数列的前项和为，且，则当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．或
4．在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
5．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
6．设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2020 B．2021
C．2022 D．2023
8．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为
A．6 B．7
C．8 D．9
9．已知首项为，公差为d的等差数列的前n项和为，且满足，则d的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
10．在数列中，，.若为等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
11．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（ ）．
A．10层 B．11层 C．12层 D．13层
12．已知等差数列的前三项分别为，，，则该数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
13．下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ）
A． B．
C．数列的通项公式为 D．
14．已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3， ，x9满足方程组，则d的最小值为（　　）
A． B． C． D．
15．已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知数列的前项和为，，，则数列的前项和_____________.
17．已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________.
18．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……．设各层球数构成一个数列，其中，，，则______．
三、解答题
19．已知等差数列的前三项依次为前n项和为，且.
（1）求a及k的值；
（2）设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
20．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
21．已知数列满足，且．
（1）求数列的前三项，，．
（2）是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）求数列的通项公式．
22．已知数列满足，.
(1)记，写出，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
当为正奇数时，可推出，当为正偶数时，可推出，将该数列的前项和表示为，结合前面的规律可计算出数列的前项和.
【详解】
当为正奇数时，由题意可得，，
两式相加得；
当为正偶数时，由题意可得，，
两式相减得.
因此，数列的前项和为.
故选：D.
关键点点睛：本题考查数列求和，找出数列的规律是解题的关键，考查学生的推理能力与运算求解能力，分类讨论思想，属于中等题.
2．C
利用，直接计算公差即可.
【详解】
等差数列中，，设公差为d，则，即.
故选：C.
3．B
由题得出，则，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，
由得，则，
解得，，，
，对称轴为，开口向上，
当时，最小.
故选：B.
方法点睛：求等差数列前n项和最值，由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值.
4．B
首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】
由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.
5．C
由已知为等差数列,设首项为和公差为,则用与分别表示已知等式和所求式子，从而可得结果．
【详解】
为等差数列且,
,
故选: C.
6．B
由得出，在结合等差数列的通项公式与求和公式逐一检验即可.
【详解】
由得
，
化简：，
，
又因为，所以，
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于CD：，故CD错误；
故选：B
7．B
将等差数列前项和公式，改写成关于的二次函数，根据二次函数图像的对称性列出关于的方程即可求解.
【详解】
，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，
得，解得.
故选：B.
8．B
先判断数列{an}为等差数列，写出通项公式，若前k项和数值最大，利用，解出k.
【详解】
∵a1＝19，an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，
∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n，则an是递减数列．
设{an}的前k项和数值最大，则有
即∴≤k≤，
∵k∈N*，∴k＝7．
∴满足条件的n的值为7．
故选：B
求等差数列前n项的最大（小）的方法：
（1）由用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值；
（2）利用an的符号
①当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn的最大值，其n的值由an≥0且an+1≤0求得；
②当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为Sn的最小值，其n的值由an≤0且an+1≥0求得.
9．A
根据等差数列的前n项和公式将展开，利用判别式即可求得答案.
【详解】
由，得，
整理得，
所以，
解得或，
故选:A．
10．A
由数列是等差数列知，先求，，从而求等差数列通项公式，再求即可．
【详解】
解：，，且数列是等差数列，
，
，
，
.
故选：A
11．C
设该数列为，塔群共有n层，则数列为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得，从而可求出的值
【详解】
根据题意，设该数列为，塔群共有n层，
即数列有n项，数列为1，3，3，5，5，7，…，
则．
该数列从第5项开始成等差数列，且，，则其公差，
则有，
又，则有，
即，解得或（舍去），则．
故选：C．
12．C
根据，，是等差数列的前三项，利用等差中项求解.
【详解】
设该等差数列的公差为d．
因为等差数列的前三项分别为，，，
所以，
解得，
所以，，
所以．
故选：C．
13．C
根据等差数列的中项性质以及通项公式，结合充分必要条件的概念逐项分析即可.
【详解】
对于A：数列是等差数列，
∴A选项为“数列是等差数列”的一个充要条件，故A错误；
对于B：易知B选项为“数列是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C：∵，∴，∴，
∴数列是等差数列，反之若为等差数列，则，
此时不一定为2，所以必要性不成立，
∴C选项为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；
对于D：若数列是等差数列，则，
∴成立，
反之当，，，时，满足，
但不是等差数列，
∴D选项为“数列是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．
故选：C．
14．C
把方程组中的都用和表示，求得的表达式，根据方程组从整体分析可知：当，，时，取最小值．
【详解】
解：把方程组中的都用和表示得：
，
把代入得：
，根据分母结构特点及可知：当，，时，
取最小值为．
故选：C．
关键点点睛：本题解题的关键是根据方程组从整体分析得：当，，时，取最小值．
15．B
利用等差数列的求和公式可求得、的值，即可得解.
【详解】
由等差数列的求和公式可得，，
因此，.
故选：B.
16．
由递推关系求的通项公式，错位相减法求和.
【详解】
由，得，
当时，，两式作差，
得，
化简得，当时，
，，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故，
，，
错位相减得，
即.
故答案为: .
方法点睛:若为等差数列，为等比数列，则数列前项和用错位相减法.
17．
由，，且，得，求出公比，进而求出通项公式和前n项和，然后解不等式，即可得结论
【详解】
设数列的公比为q，由，，
得，所以或，
又因为，所以，
从而，
所以.
令，
又因为，所以.
故答案为:6
本题考查等比数列通项公式和前n项和基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.
18．15
由分析可知每次小球数量刚好是等差数列的求和，最后直接公式即可算出答案.
【详解】
由题意可知 , ，
所以，
故答案为：15
19．（1）a＝2，k＝10；（2）证明见解析，Tn＝.
（1）设该等差数列为{an}，根据等差数列的前三项依次为由a＋3a＝8，求得a，再利用等差数列前n项和的公式，由Sk＝110求解；
（2）由（1）得到Sn＝＝n(n＋1)，进而得到bn＝，再利用等差数列的定义证明.
【详解】
（1）设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k，
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
（2）证明：由（1）得Sn＝＝n(n＋1)，
则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b1＝1＋1＝2，
所以数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝＝.
20．(1)；(2)7.
(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】
(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
21．（1），，；（2）存在，；（3）．
（1）赋值法，可求出数列的前三项；（2）不妨先假设存在这样的实数，根据等差数列定义去计算，如果能算出来，则存在这样的实数，否则不存在；（3）利用上一问得到的递推关系容易得出答案.
【详解】
（1）由题意知，∴．
同理可得，．
（2）假设存在实数满足题意，则必是与无关的常数，
而，∴．
∴存在实数，使得数列为等差数列，且．
（3）由（2）知数列是等差数列，其首项为2，公差为1，
则，
∴．
22．(1)，
(2)见解析
（1）由递推公式得出，再由，两式相加结合等差数列的定义得出数列的通项公式；
（2）讨论为奇数和偶数两种情况，结合等差数列的求和公式得出前n项和．
(1)
，，故
由题意可知，①，②
由①②可得，
即是首项为，公差为的等差数列，则
故
(2)
，，两式相加得
故是首项为，公差为的等差数列，则
当为奇数时，
当为偶数时，
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页