6.2排列与组合 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 6.2排列与组合 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 830.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-05 07:11:33 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第三册 6.2 排列与组合 同步练习
一、单选题
1．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．120种
2．如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法有（ ）
A B C
A．3种 B．6种 C．12种 D．27种
3．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．永定土楼.位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月，成功列人世界遗产名录.它历史悠久 风格独特，规模宏大 结构精巧.土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形 五角形相邻，则共有（ ）种不同的排法.
A． B． C． D．
5．作家马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．如图所示是望楼传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求），则一共可以传递的不同信息种数是（ ）
A．14 B．12 C．9 D．6
6．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
7．在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（ ）
A．4种 B．12种 C．18种 D．24种
8．北京大兴国际机场是一座跨地域 超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道 西二跑道 东一跑道 北一跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上4条跑道中不同的2条跑道同时起飞，则不同的安排方法种数为（ ）
A．16 B．12 C．9 D．8
9．将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）
A． B．36 C．48 D．60
10．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为 （ ）
A． B． C． D．
11．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B．126 C．90 D．54
12．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）．
A．120种 B．90种 C．80种 D．60种
13．现有甲 乙 丙 丁 戊五位同学，分别带着A B C D E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
15．对于满足的正整数n，（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为______.
17．某企业利用星期六安排A，B，C，D，E，F六位教授对企业员工进行不同内容的6次培训（每人培训一次），规定上午最后一次培训和下午第一次培训为相邻的培训.要求A，B两位教授相邻，C，D两位教授不相邻，则共有______种不同的安排培训方法.（用数字作答）
18．袋中有3个红球，2个白球，现从中取出3个球，则取到的红球个数为2的概率为_________.
三、解答题
19．男运动员6名，女运动员4名，其中男 女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）队长中至少有1人参加；
（3）既要有队长，又要有女运动员.
20．某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是.
（1）该小组中男女学生各多少人？
（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）
（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）
21．有四个编有的四个不同的盒子，有编有的四个不同的小球，现把小球放入盒子里.
（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；
（2）恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；
（3）恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法.
22．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
甲、乙相邻，利用捆绑法看作一个元素，求出总排法，再求出甲、乙相邻且在两端的排法，用总排法减去甲、乙相邻且在两端的排法即得答案.
【详解】
甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有种排法，
甲乙相邻且在两端有种排法，
故甲乙相邻且都不站在两端的排法有(种)．
故选：B．
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
2．C
根据给定信息，按用色多少分成两类，再分类计算作答.
【详解】
计算不同的涂色方法数有两类办法：
用3种颜色，每个矩形涂一种颜色，有种方法，用2色，矩形A，C涂同色，有种方法，
由分类加法计数原理得(种)，
所以不同的涂法有12种.
故选：C
3．C
采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
【详解】
将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故选：C.
4．A
分圆形排在第一个圆形和排在最后一个两类，根据方形 五角形相邻，利用捆绑法求解.
【详解】
当圆形排在第一个，因为方形 五角形相邻，
所以捆在一起与其他图形全排列，且方形 五角形内部排列 ，
有种不同的排法.,
同理当圆形排在最后一个有种不同的排法.
综上：圆形要排在第一个或最后一个，方形 五角形相邻，则共有480种不同的排法.
故选：A
5．D
由分步乘法原理求传递的不同信息种数.
【详解】
根据每行中紫色小方格的位置，可分三步：第一步，在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况；第二步，在第二行的3个方格中，要求每列有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况；第三步，在第三行，只有1种情况，则一共可以传递的信息种数是，
故选：D．
6．C
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】
首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
7．D
由全排列的知识进行计算可得答案.
【详解】
解：由题意可得不同的采访顺序有种，
故选：D.
本题主要考查排列组合中的全排列的知识，考查对基础知识的了解，属于基础题.
8．B
根据题意利用排列即可解决.
【详解】
从四条不同的跑道中，选两条分别供两架不同飞机使用， 有种不同的安排方法.
故选：B
9．A
根据盒子内小球的个数进行分类讨论，由此求得不同的总数.
【详解】
将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组.
当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
故3个小球的编号只能是1、2、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；
当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共6种，
再分配到三个盒子中，此时，共有种.
综上所述，不同的放法种数为6+36=42种.
故选：A
10．C
利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】
根据八卦图可知：8个卦中含有两个以上阳爻的有1个，有两个阳爻的有3个，分别为离、巽、兑，有一个阳爻的有3个，分别为震、艮、坎，无阳爻的有1个，为坤，
选的两卦的六个爻中恰有两个阳爻，可以从有两个阳爻的离、巽、兑中选一个，另一个选坤，
这种选法有种；
也可以从有一个阳爻的震、艮、坎中选两个，这种选法有种，
从八卦中任取两卦的选法有种，
则从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为.
故选：.
11．B
【详解】
试题分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．
解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；
②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；
1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；
2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；
由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，
故选B．
考点：排列、组合的实际应用．
12．D
根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果.
【详解】
首先安排甲场馆的3名同学，即；
再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即；
最后安排2名同学到丙场馆，即.
所以不同的安排方法有：种.
故选：D.
13．D
利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】
先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.
故选：D
14．B
排列组合中的特殊元素应该考虑优先放置，因为0不能作为数字的首位，可以考虑优先放置.
【详解】
若有0，组成的三位数有个，若不含0，组成的三位数有个；组成无重复数字的三位偶数，若含有0且在个位，组成的三位数偶有个，若含有0且在十位，组成的三位偶数有个，若不含0，组成的三位数偶数有个.所以组成的三位数为偶数的概率是，
故选：B.
15．C
根据排列数定义，确定元素总数和选取个数即可得出结论.
【详解】
根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为，
选取个数为，.
故选：C．
本题考查排列数的概念，属于基础题型.
16．
先求出基本事件总数和摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出摸到的2球颜色不同的概率.
【详解】
解：箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，
基本事件总数，
摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数，
∴摸到的2球颜色不同的概率.
故答案为：.
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
17．144
由分步计数法，结合插空法：先排好，再将作为整体插入队列3个空中的一个，最后把插入新队列4个空中的两个，即可得结果.
【详解】
1、安排好教授，共种；
2、安排好教授，并将其插入队列3个空中的一个，共种；
3、把教授分别插入第二步新队列4个空中的两个，共种；
所以不同的安排培训方法有种.
故答案为：144.
18．
先分析从个球中取个球的情况数，然后分析个球中有个红球的情况数，两种情况数相除即可求解出对应概率.
【详解】
从个球中取个球的情况数有：种，
个球中有个红球的情况数有：种，
所以取到的红球数为的概率为：，
故答案为：.
思路点睛：本题考查利用组合数求解概率问题，难度较易.利用排列组合求解概率问题的思路：先利用排列组合求解出总的情况数，然后再分析满足要求的情况数，最后利用两者的比值表示对应的概率.
19．（1）(种)；（2）(种)；（3）(种).
(1）本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有种选法．再选2名女运动员，有种选法．利用乘法原理得到结果;
(2）只有男队长的选法为种，只有女队长的选法为种，男、女队长都入选的选法为种，把所有的结果数相加;
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法．不选女队长时，必选男队长，共有种选法．其中不含女运动员的选法有种，得到结果.
【详解】
（1）分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有种选法；
第二步，选2名女运动员，有种选法.由分步乘法计数原理可得，共有(种)选法.
（2）方法一(直接法)可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为；
“只有女队长”的选法种数为；
“男 女队长都入选”的选法种数为，
所以共有(种)选法.
方法二(间接法)从10人中任选5人有种选法，
其中不选队长的方法有种.所以“至少有1名队长”的选法有(种).
（3）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有(种).
本题主要考查了分步乘法计数原理，考查分类加法计数原理，在比较复杂的题目中，会同时出现分类和分步，本题是一个比较综合的题目，属于中档题.
20．（1）男生有6人，女生有3人.（2）（3）
（1）设男生有人，表示出其概率，然后得到男女生人数；（2）方法一：按坐座位的方法分步处理，先安排男生，再安排女生，方法二：对9人全排，然后对3名女生除序；（3）先对6名男生分成3组，再对3名女生全排后，将3组男生插空，每组男生全排，得到答案.
【详解】
解：（1）设男生有人，则，
即，解之得，
故男生有6人，女生有3人.
（2）方法一：按坐座位的方法，
第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有种；
第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；
故，一共有种重新站队方法.
方法二：除序法
第一步：9名学生站队共有种站队方法；
第二步：3名女生有种站队顺序；
故一共有种站队方法，
所以重新站队方法有
（3）第一步：将6名男生分成3组，共有种；
第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种
第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种
故一共有：种站队方法.
本题考查排列组合中的分类讨论，插空法、除序法等，属于中档题.
21．（1）256，（2）144，（3）84
（1）由排列组合及简单计数问题进行计算即可；
（2）由排列组合及简单计数问题，平均分组可得，恰有一个盒子没放球，就是把4个球分为3组，即有1个组是2个球，另外两个组各1个球，然后选3个盒子把3组球分别放入即可；
（3）由排列组合及简单计数问题，平均分组可得，恰有两个盒子没放球，就是将4个球分为2组，其中每组2个，或有1组1个，另1个组3个，然后选两个盒子把两组球分别放入即可；
【详解】
解：（1）小球全部放入盒子中有种不同的放法；
（2）恰有一个盒子没球有种不同的放法；
（2）恰有两个盒子没放球有种不同的放法
22．（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
（Ⅰ）由甲、乙两组人数的比例是，再根据从甲、乙两组中共抽取3名工人求解.
（Ⅱ）根据古典概型的概率求法，分别计算从车间10名工人抽取2人的基本事件数，从4名女工人抽取1人的基本事件数，代入公式求解.
（Ⅲ）抽取的3名工人中恰有2名男工人分两种情况：甲组2男乙组1女或甲组1男1女乙组1男求解.
【详解】
（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，
所以甲、乙两组的比例是，
又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，
所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；
（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，
所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，
所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．120种
2．如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法有（ ）
A B C
A．3种 B．6种 C．12种 D．27种
3．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．永定土楼.位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月，成功列人世界遗产名录.它历史悠久 风格独特，规模宏大 结构精巧.土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形 五角形相邻，则共有（ ）种不同的排法.
A． B． C． D．
5．作家马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．如图所示是望楼传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求），则一共可以传递的不同信息种数是（ ）
A．14 B．12 C．9 D．6
6．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
7．在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（ ）
A．4种 B．12种 C．18种 D．24种
8．北京大兴国际机场是一座跨地域 超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道 西二跑道 东一跑道 北一跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上4条跑道中不同的2条跑道同时起飞，则不同的安排方法种数为（ ）
A．16 B．12 C．9 D．8
9．将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）
A． B．36 C．48 D．60
10．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为 （ ）
A． B． C． D．
11．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B．126 C．90 D．54
12．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）．
A．120种 B．90种 C．80种 D．60种
13．现有甲 乙 丙 丁 戊五位同学，分别带着A B C D E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
15．对于满足的正整数n，（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为______.
17．某企业利用星期六安排A，B，C，D，E，F六位教授对企业员工进行不同内容的6次培训（每人培训一次），规定上午最后一次培训和下午第一次培训为相邻的培训.要求A，B两位教授相邻，C，D两位教授不相邻，则共有______种不同的安排培训方法.（用数字作答）
18．袋中有3个红球，2个白球，现从中取出3个球，则取到的红球个数为2的概率为_________.
三、解答题
19．男运动员6名，女运动员4名，其中男 女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）队长中至少有1人参加；
（3）既要有队长，又要有女运动员.
20．某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是.
（1）该小组中男女学生各多少人？
（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）
（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）
21．有四个编有的四个不同的盒子，有编有的四个不同的小球，现把小球放入盒子里.
（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；
（2）恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；
（3）恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法.
22．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
甲、乙相邻，利用捆绑法看作一个元素，求出总排法，再求出甲、乙相邻且在两端的排法，用总排法减去甲、乙相邻且在两端的排法即得答案.
【详解】
甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有种排法，
甲乙相邻且在两端有种排法，
故甲乙相邻且都不站在两端的排法有(种)．
故选：B．
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
2．C
根据给定信息，按用色多少分成两类，再分类计算作答.
【详解】
计算不同的涂色方法数有两类办法：
用3种颜色，每个矩形涂一种颜色，有种方法，用2色，矩形A，C涂同色，有种方法，
由分类加法计数原理得(种)，
所以不同的涂法有12种.
故选：C
3．C
采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
【详解】
将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故选：C.
4．A
分圆形排在第一个圆形和排在最后一个两类，根据方形 五角形相邻，利用捆绑法求解.
【详解】
当圆形排在第一个，因为方形 五角形相邻，
所以捆在一起与其他图形全排列，且方形 五角形内部排列 ，
有种不同的排法.,
同理当圆形排在最后一个有种不同的排法.
综上：圆形要排在第一个或最后一个，方形 五角形相邻，则共有480种不同的排法.
故选：A
5．D
由分步乘法原理求传递的不同信息种数.
【详解】
根据每行中紫色小方格的位置，可分三步：第一步，在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况；第二步，在第二行的3个方格中，要求每列有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况；第三步，在第三行，只有1种情况，则一共可以传递的信息种数是，
故选：D．
6．C
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】
首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
7．D
由全排列的知识进行计算可得答案.
【详解】
解：由题意可得不同的采访顺序有种，
故选：D.
本题主要考查排列组合中的全排列的知识，考查对基础知识的了解，属于基础题.
8．B
根据题意利用排列即可解决.
【详解】
从四条不同的跑道中，选两条分别供两架不同飞机使用， 有种不同的安排方法.
故选：B
9．A
根据盒子内小球的个数进行分类讨论，由此求得不同的总数.
【详解】
将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组.
当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
故3个小球的编号只能是1、2、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；
当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共6种，
再分配到三个盒子中，此时，共有种.
综上所述，不同的放法种数为6+36=42种.
故选：A
10．C
利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】
根据八卦图可知：8个卦中含有两个以上阳爻的有1个，有两个阳爻的有3个，分别为离、巽、兑，有一个阳爻的有3个，分别为震、艮、坎，无阳爻的有1个，为坤，
选的两卦的六个爻中恰有两个阳爻，可以从有两个阳爻的离、巽、兑中选一个，另一个选坤，
这种选法有种；
也可以从有一个阳爻的震、艮、坎中选两个，这种选法有种，
从八卦中任取两卦的选法有种，
则从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为.
故选：.
11．B
【详解】
试题分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．
解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；
②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；
1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；
2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；
由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，
故选B．
考点：排列、组合的实际应用．
12．D
根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果.
【详解】
首先安排甲场馆的3名同学，即；
再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即；
最后安排2名同学到丙场馆，即.
所以不同的安排方法有：种.
故选：D.
13．D
利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】
先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.
故选：D
14．B
排列组合中的特殊元素应该考虑优先放置，因为0不能作为数字的首位，可以考虑优先放置.
【详解】
若有0，组成的三位数有个，若不含0，组成的三位数有个；组成无重复数字的三位偶数，若含有0且在个位，组成的三位数偶有个，若含有0且在十位，组成的三位偶数有个，若不含0，组成的三位数偶数有个.所以组成的三位数为偶数的概率是，
故选：B.
15．C
根据排列数定义，确定元素总数和选取个数即可得出结论.
【详解】
根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为，
选取个数为，.
故选：C．
本题考查排列数的概念，属于基础题型.
16．
先求出基本事件总数和摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出摸到的2球颜色不同的概率.
【详解】
解：箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，
基本事件总数，
摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数，
∴摸到的2球颜色不同的概率.
故答案为：.
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
17．144
由分步计数法，结合插空法：先排好，再将作为整体插入队列3个空中的一个，最后把插入新队列4个空中的两个，即可得结果.
【详解】
1、安排好教授，共种；
2、安排好教授，并将其插入队列3个空中的一个，共种；
3、把教授分别插入第二步新队列4个空中的两个，共种；
所以不同的安排培训方法有种.
故答案为：144.
18．
先分析从个球中取个球的情况数，然后分析个球中有个红球的情况数，两种情况数相除即可求解出对应概率.
【详解】
从个球中取个球的情况数有：种，
个球中有个红球的情况数有：种，
所以取到的红球数为的概率为：，
故答案为：.
思路点睛：本题考查利用组合数求解概率问题，难度较易.利用排列组合求解概率问题的思路：先利用排列组合求解出总的情况数，然后再分析满足要求的情况数，最后利用两者的比值表示对应的概率.
19．（1）(种)；（2）(种)；（3）(种).
(1）本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有种选法．再选2名女运动员，有种选法．利用乘法原理得到结果;
(2）只有男队长的选法为种，只有女队长的选法为种，男、女队长都入选的选法为种，把所有的结果数相加;
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法．不选女队长时，必选男队长，共有种选法．其中不含女运动员的选法有种，得到结果.
【详解】
（1）分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有种选法；
第二步，选2名女运动员，有种选法.由分步乘法计数原理可得，共有(种)选法.
（2）方法一(直接法)可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为；
“只有女队长”的选法种数为；
“男 女队长都入选”的选法种数为，
所以共有(种)选法.
方法二(间接法)从10人中任选5人有种选法，
其中不选队长的方法有种.所以“至少有1名队长”的选法有(种).
（3）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有(种).
本题主要考查了分步乘法计数原理，考查分类加法计数原理，在比较复杂的题目中，会同时出现分类和分步，本题是一个比较综合的题目，属于中档题.
20．（1）男生有6人，女生有3人.（2）（3）
（1）设男生有人，表示出其概率，然后得到男女生人数；（2）方法一：按坐座位的方法分步处理，先安排男生，再安排女生，方法二：对9人全排，然后对3名女生除序；（3）先对6名男生分成3组，再对3名女生全排后，将3组男生插空，每组男生全排，得到答案.
【详解】
解：（1）设男生有人，则，
即，解之得，
故男生有6人，女生有3人.
（2）方法一：按坐座位的方法，
第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有种；
第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；
故，一共有种重新站队方法.
方法二：除序法
第一步：9名学生站队共有种站队方法；
第二步：3名女生有种站队顺序；
故一共有种站队方法，
所以重新站队方法有
（3）第一步：将6名男生分成3组，共有种；
第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种
第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种
故一共有：种站队方法.
本题考查排列组合中的分类讨论，插空法、除序法等，属于中档题.
21．（1）256，（2）144，（3）84
（1）由排列组合及简单计数问题进行计算即可；
（2）由排列组合及简单计数问题，平均分组可得，恰有一个盒子没放球，就是把4个球分为3组，即有1个组是2个球，另外两个组各1个球，然后选3个盒子把3组球分别放入即可；
（3）由排列组合及简单计数问题，平均分组可得，恰有两个盒子没放球，就是将4个球分为2组，其中每组2个，或有1组1个，另1个组3个，然后选两个盒子把两组球分别放入即可；
【详解】
解：（1）小球全部放入盒子中有种不同的放法；
（2）恰有一个盒子没球有种不同的放法；
（2）恰有两个盒子没放球有种不同的放法
22．（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
（Ⅰ）由甲、乙两组人数的比例是，再根据从甲、乙两组中共抽取3名工人求解.
（Ⅱ）根据古典概型的概率求法，分别计算从车间10名工人抽取2人的基本事件数，从4名女工人抽取1人的基本事件数，代入公式求解.
（Ⅲ）抽取的3名工人中恰有2名男工人分两种情况：甲组2男乙组1女或甲组1男1女乙组1男求解.
【详解】
（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，
所以甲、乙两组的比例是，
又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，
所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；
（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，
所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，
所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
答案第1页，共2页
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