7.1条件概率与全概率公式 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册 7.1条件概率与全概率公式
一、单选题
1．从含甲、乙在内的5名全国第七次人口普查员中随机选取3人到某小区进行人口普查，则在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则等于
A． B． C． D．
4．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为2%，2%，4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为（ ）
A．0.025 B．0.08 C．0.07 D．0.125
5．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
6．已知盒中装有3只螺口灯池与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放若，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．6道题目中有4道理科题目和2道文科题目，如果不放回地依次抽取2道题目，则在第1次抽到理科题目的条件下，第2次抽到理科题目的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0．则他迟到的概率为（ ）
A．0.65 B．0.075
C．0.145 D．0
9．2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ）
A．0.99% B．99% C．49.5%. D．36.5%
10．在某电视台有一闯关节目，该节目设置有两关，闯关规则是：当第一关闯关成功后，方可进入第二关.为了调查闯关的难度，该电视台调查了参加过此节目的名选手的闯关情况，第一关闯关成功的有人，第一关闯关成功且第二关闯关也成功的选手有人，以闯关成功的频率近似作为闯关成功的概率，已知某个选手第一关闯关成功，则该选手第二关闯关成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．抛掷一枚骰子，观察出现的点数.若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001)
14．如图所示，三行三列的方阵有9个数（，2，3，，2，3，从中任取三个数，已知取到的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率是______．
15．一颗骰子连续掷两次，设事件“两次的点数之和大于6”，“两次的点数均为偶数”，则___________.
16．将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
①；
②；
③当时，；
④.
其中，所有正确结论的序号是__________.
17．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为________.
三、解答题
18．一个盒子中装有只产品，其中只一等品、只二等品.从中取产品两次，每次任取一只，不放回抽样.求在第一次取到一等品时，第二次取到一等品的概率.
19．设，且，.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出 和的值再由条件概率公式进行验证.
20．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？
21．甲、乙两人参加面试，每人的试题通过不放回抽签的方式确定．假设被抽的10个试题签中有4个是难题签，按甲先乙后的次序抽签．
（1）求甲抽到难题签的概率；
（2）若甲抽到难题签，求乙也抽到难题签的概率；
（3）求甲和乙都抽到难题签的概率；
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
记事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被选中”，则所求概率为，分别求出，，即可得答案
【详解】
解：记事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被选中”，则由题意可得
，，
所以,
故选：B
2．B
根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解.
【详解】
事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是5”，则事件为，，，，，，所以.
故选：B.
3．C
根据条件概率的计算公式，即可求解答案.
【详解】
由题意，根据条件概率的计算公式，
由已知，
则，
故选：C.
本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．A
利用全概率计算公式即可求解.
【详解】
设A1，A2，A3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B表示次品，
则P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，
∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025．
故选：A．
5．A
利用条件概率公式即可求解.
【详解】
以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，
B表示取得的X光片为次品，
P=，P=，P=，
P=，P=，P=；
则由全概率公式，
所求概率为P=P+P+P
=×+×+×=0.08.
故选：A
6．C
根据题意转化为从装有2只螺口灯池与9只卡口灯泡中抽取一只，恰为卡口灯泡的概率，再根据古典概型概率公式求解，也可利用条件概率公式求解.
【详解】
方法一：因为电工师傅每次从中任取一只且不放回，且第1次抽到的是螺口灯泡，
所以第1次抽到的是螺口灯泡，第2次抽到的是卡口灯泡的概率等价于：从装有2只螺口灯池与9只卡口灯泡中抽取一只，恰为卡口灯泡的概率，即为，
方法二：设事件A为：第1次抽到的是螺口灯泡，事件B为：第2次抽到的是卡口灯泡,
则第1次抽到的是螺口灯泡，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为
故选：C
本题考查条件概率，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．A
设第一次抽到理科题目为事件A，第二次抽到理科题目为事件B，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，6道题目中有4道理科题目和2道文科题目，不放回地抽取两次，
设第一次抽到理科题目为事件A，第二次抽到理科题目为事件B，
则，，所以.
故选：A．
8．C
根据全概率公式进行求解即可.
【详解】
设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到．
易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145．
故选：C
9．C
利用条件概率可求某人检验呈阳性时他确实患病的概率.
【详解】
设为“某人检验呈阳性”，为“此人患病”.
则“某人检验呈阳性时他确实患病”为，
又，
故选：C.
本题考查条件概率的计算及其应用，此题需将题设的各个条件合理转化为事件的概率或条件概率.
10．C
若令“第一关闯关成功”为事件，“第二关闯关成功”为事件，则由题意可得，，然后利用条件概率的计算公式可求得结果
【详解】
第一关闯关成功的选手有人，则第一关闯关成功的频率为，
第一关闯关成功且第二关闯关也成功的选手有人，则两关都成功的频率为．
设“第一关闯关成功”为事件，“第二关闯关成功”为事件，
，，某个选手第一关闯关成功，
则该选手第二关闯关成功的概率为.
故选：C
11．D
根据条件概率的定义，分别求得两个事件的种类数，作比即可得到条件概率.
【详解】
解析：设“抛掷一枚骰子出现的点数不超过4”为事件A，种类数是4；“抛掷一枚骰子出现的点数是奇数”为事件B，种类数是2，则P(B|A)=.
故选：D.
12．A
令表示第一次任取3个球使用时，取出i个新球，分别求出其概率，再由全概率公式求解即可.
【详解】
令表示第一次任取3个球使用时，取出i个新球，B表示“第二次任取的3个球都是新球”，则有，，，，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为.
故选：A.
13．0.087
根据条件概率和全概率公式可求得结果．
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因为
所以．
故答案为：．
关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键．
14．
记事件{任取的三个数中有}，事件{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则事件至少有两个数位于同行或同列的概率为，根据条件概率公式求其对立事件概率，由此可得.
【详解】
记事件{任取的三个数中有}，事件{三个数至少有两个数位于同行或同列}，
则{三个数互不同行且不同列}，
依题意得，，
故，
则．
即已知取到的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为．
15．
分别求出事件及所包含基本事件的个数，再根据古典概型求得，再根据条件概率公式即可得解.
【详解】
解：由题知，基本事件有36种，
两次的点数之和小于等于6有，
共15种，
则事件A出现的情况有21种，则，
事件B出现的情况有共9种，事件A，B同时出现的情况有6种，所以，
所有.
故答案为：.
16．①③④
由的对立事件概率可得和，可判断①②，再由第n次分正反面，依次讨论前n-1的正反及前n-2次，从而得到概率的递推关系，可判断④，由及，可得，从而可判断③.
【详解】
当时，，①正确；
当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，
所以，②错误；
要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，
分类进行讨论，
若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；
若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：
第n次 n-1次 n-2次 概率
反面
正面 反面
正面 正面 反面
所以，④正确；
由上式可得
，
所以，
又，满足当时，，③正确.
故答案为：①③④.
关键点点睛：本题解题的关键是找到第n次和第n-1和第n-2次的关系，通过分类讨论及列表格的形式得到，属于难题.
17．.
先记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，根据条件概率的计算公式，即可求出结果.
【详解】
记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，
则，，
所以，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为
.
故答案为
本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.
18．
根据题意结合条件概率的相关知识进行解答.
【详解】
设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，则表示“第一次取到一等品时，第二次取到一等品”.
盒子中装有只产品，其中只一等品、只二等品,, ,
在第一次取到一等品时，第二次取到一等品的概率为.
故在第一次取到一等品时，第二次取到一等品的概率为.
19．,
由事件包含关系的意义及条件概率的意义直接写结果，再用条件概率的公式验证.
【详解】
因为，且，，则发生一定发生，
所以,，
又因为，由条件概率公式得：
,.
20．（1）0.0125；（2）答案见解析.
根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果.
【详解】
设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”．
则，，是样本空间的一个划分，且，，，
，，.
（1）由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂1的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂2的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂3的概率为：
关键点睛：熟练掌握条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式是解决此题的关键.
21．（1）；（2）；（3）.
（1）根据古典概率公式即可得到答案；
（2）根据条件概率公式即可求得答案；
（3）甲乙按先后顺序抽签共有10×9=90种情况，甲乙都抽到难题签共有4×3种情况，进而用古典概率公式即可求得答案.
【详解】
设事件分别表示“甲，乙抽到难题签”，由题意可知，相互独立.
（1）甲抽到难题签的概率；
（2）若甲抽到难题签，则乙也抽到难题签的概率为；
（3）甲乙都抽到难题签的概率为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页