7.4二项分布与超几何分布 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 7.4二项分布与超几何分布 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 464.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-05 07:14:21 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第三册 7.4 二项分布与超几何分布
一、单选题
1．下列说法正确的个数是
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，中奖张数是一个随机变量，且；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则
A． B． C． D．
4．“石头 剪刀 布"，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本 朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界游戏规则是：“石头"胜"剪刀” “剪刀”胜“布” “布”胜“石头”，若所出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头 剪刀 布”游戏比赛，则小华经过三局获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为（ ）
A． B．
C． D．
7．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，其中红球个数的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
8．李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业” “草根创业”的新浪潮，形成“万众创新” “人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．某小区为了解居民用水情况，通过随机抽样得到部分家庭月均用水量(单位：)，将所得数据分为6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，若以频率替代概率，从该小区随机抽取5个家庭，则月均用水量在区间内的家庭个数X的数学期望为（ ）
A．3.6 B．3 C．1.6 D．1.5
11．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（ ）
A． B． C． D．
12．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知识竞赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为，．若，，则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组”的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．某市环保局举办“六·五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖.抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案.参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖.已知从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是.现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用表示获奖的人数，那么（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试次，要保证他至少有一次通过的概率大于，那么的最小值为________．
17．设随机变量，，若，则______.
18．甲、乙两名运动员进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局比赛结果相互独立．当比赛采取局胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为．现甲，乙进行局比赛，设甲胜的局数为则________________．
三、解答题
19．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．
（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；
（2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望．
20．第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战和政策体系 促进入口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记.
（1）应从住校的男生 女生中各抽取多少人？
（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训
①求这3人中既有男生又有女生的概率；
②用表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量的分布列与数学期望.
21．某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有5kg），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：
等级 珍品 特级 优级 一级
箱数 40 30 10 20
(1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；
(2)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元/kg；方案二：分等级出售，橙子价格如下表.
等级 珍品 特级 优级 一级
价格/（元∕kg） 36 30 24 18
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值.
22．党的十九届五中全会强调“创新”在我国现代化建设中的重要战地位，确保发展经济着力点放在实体经济上，为促进经济活力，拉动市场经济快速发展，必须大力推进大众创业、万众创新．某几位大学毕业生自主创业创办了一家服务公司，该公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买产品的概率为，购买产品的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率也是，如此往复．记某人第次来购买产品的概率为．
(1)求；
(2)记第二次来公司购买产品的个人中有个人购买产品，人是否购买产品相互独立，求的分布列和数学期望．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
利用独立重复试验的概念和二项分布的定义逐一分析判断每一个命题的真假即得解.
【详解】
①某同学投篮的命中率为0.6，该同学投篮10次，是一个独立重复试验，所以他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且，所以该命题正确；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，相当于买了8次，每次中奖的概率都为，相当于做了8次独立重复试验，中奖张数是一个随机变量，且，所以该命题正确；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球为止，所以它不是一个独立重复性试验，因为当时，概率为，当时，概率为，当时，概率为，依次类推，即每次试验摸到白球的概率不相等，所以它不是独立重复性试验，所以不服从,所以该命题错误.
故选：C
本题主要考查独立重复试验和二项分布，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2．D
利用二项分布的期望与方差公式代入运算.
【详解】
因为服从二项分布，所以，得，故．
故选：D.
3．D
首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．
【详解】
因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,
,选择D答案．
本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题．
4．C
由题设知小华经过三局获胜的基本事件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，概率乘法公式求概率即可.
【详解】
由题设知：小华经过三局获胜的基本事件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，
∴小华经过三局获胜的概率为.
故选：C.
5．D
由题意，遇绿灯服从二项分布，结合互斥事件概率的求法，即可求同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率.
【详解】
4次均不是绿灯的概率为，
3次不是绿灯的概率为，
∴至少遇到2次绿灯的概率为.
故选：D.
6．C
根据题意得到取出的3个球必为2个旧球1个新球，从而得到，即可得到答案.
【详解】
由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，
故.
故选：C
7．C
记同时取出的2个球中红球的个数为X，则，再根据超几何分布的期望公式计算可得；
【详解】
解：记同时取出的2个球中红球的个数为X，则X服从参数为，，的超几何分布，所以．
故选：C
8．D
设两家店铺都不能正常营业为事件A，则应该包括四人休假或三人休假分别计算概率再求和，最后求事件A的对立事件的概率可得答案.
【详解】
设两家店铺都不能正常营业为事件A，若有四人休假概率为，有三个人休假的概率为，所以两家店铺都不能正常营业的概率为，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为.
故选：D.
方法点睛：含有或者词语中体现出“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较烦琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质进一步求解.
9．B
由二项分布的期望公式，可计算得，由，即得解.
【详解】
由题意随机变量，由二项分布的期望公式，可得
,
故选：B
10．B
根据频率分布直方图求出在区间内的概率，再利用二项分布的数学期望计算公式即可求解.
【详解】
由题意可知在区间内的概率，
所以，
所以.
故选：B
11．C
设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，由可得答案.
【详解】
设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，则，
由题可知：，即，
解得.
故选：C.
12．A
利用二项分布的概率公式以及概率的加法公式即可求解.
【详解】
该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，
有两天出现大潮概率为，
有三天出现大潮概率为，
所以至少有两天出现大潮的概率为，
故选：A.
13．A
根据给定条件，分析甲乙所在的小组获 “优秀小组”的所有可能情况，再利用互斥事件的加法公式，相互独立事件的乘法公式计算即得.
【详解】
依题意，在第一轮竞赛中甲乙所在的小组能获得“优秀小组”的所有可能的情况有：
甲答对1题，乙答对2题；甲答对2题，乙答对1题；甲答对2题，乙答对2题，且每人所答两题中答对的1题有先后之分，
所以所求概率为.
故选：A
14．A
根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为、，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数，即服从二项分布，则有即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.
【详解】
由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则：
芯片领域被选的概率为：；不被选的概率为：；而选择芯片领域的人数，
∴服从二项分布，，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为.
故选：A.
本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.
15．A
.设盒中装有10张大小相同的精美卡片，其中印有“环保会徽”的有张，“绿色环保标志”图案的有张，根据，解得，得到参加者每次从盒中抽取卡片两张获奖的概率，再根据服从二项分布，利用公式求解.
【详解】
.设盒中装有10张大小相同的精美卡片，其中印有“环保会徽”的有张，“绿色环保标志”图案的有张，
由题意得，解得，
所以参加者每次从盒中抽取卡片两张，获奖概率，
所以现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，
用表示获奖的人数，则，
所以.
故选：A
本题主要考查二项分布的期望和方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．
利用对立事件和独立重复试验的概率公式可得出关于的不等式，即可求得结果.
【详解】
由题意可得，可得，，则.
故答案为：.
17．6
由题意可得，根据公式可得可得答案.
【详解】
随机变量，则
，解得：
故答案为：6
18．.
根据当比赛采取局胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为求出的值，再根据二项分布求方差即可.
【详解】
由题意知： ，所以，
所以每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，
由题意知：随机变量，
所以.
故答案为：.
19．（1）；（2）分布列见解析；期望为．
（1）把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示，再利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
（2）首先判断随机变量服从二项分布，再求其分布列和均值.
【详解】
解（1）设表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数人”，，
表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有人”，
依题意有
所求的概率为
（2）的可能值为，且
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望．
20．（1）男生 女生就分别抽取4人，3人；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.
（1）找到住校生中男女生的比例关系，即可求出男女生分别抽取的人数.（2）①抽取的3名户主中既有男生，又有女生，包含男生有1人，女生有2人和男生有2人，女生有1人两种情况，分别求出概率再求和即可；②找到变量X的所有可能取值，服从超几何分布，求出概率，列出分布列，求出期望即可.
【详解】
（1）由已知住校生中男生占，则女生占，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生 女生就分别抽取4人，3人.
（2）①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，
=，=，故，
所以，事件A发生的概率为.
②随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
.随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
随机变量X的数学期望.
21．(1)
(2)方案一
(3)分布列见解析，
（1）根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求概率.
（2）求得新方案采购价格的期望值，由此作出判断.
（3）利用超几何分布的知识计算出分布列并求得.
(1)
设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件A，则，
现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为，则，
所以恰好有2箱是一级品的概率为.
(2)
设方案二中每千克橙子的价格为元，
则，
因为，所以从采购商的角度考虑应该采用方案一.
(3)
用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，
再从中随机抽取3箱，则珍品的箱数X服从超几何分布，其中，，，
，，，.
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
22．(1)
(2)分布列见解析，数学期望为1
（1）根据概率公式求出；
（2）根据二项分布的概率公式求得的各种取值所对应的概率，再计算出期望即可.
(1)
某人第次来购买产品的概率为,即；
(2)
由题意得，其中的可能取值有，，，，
故，，，；
故的分布列为
的数学期望为
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．下列说法正确的个数是
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，中奖张数是一个随机变量，且；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则
A． B． C． D．
4．“石头 剪刀 布"，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本 朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界游戏规则是：“石头"胜"剪刀” “剪刀”胜“布” “布”胜“石头”，若所出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头 剪刀 布”游戏比赛，则小华经过三局获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为（ ）
A． B．
C． D．
7．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，其中红球个数的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
8．李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业” “草根创业”的新浪潮，形成“万众创新” “人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．某小区为了解居民用水情况，通过随机抽样得到部分家庭月均用水量(单位：)，将所得数据分为6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，若以频率替代概率，从该小区随机抽取5个家庭，则月均用水量在区间内的家庭个数X的数学期望为（ ）
A．3.6 B．3 C．1.6 D．1.5
11．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（ ）
A． B． C． D．
12．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知识竞赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为，．若，，则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组”的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．某市环保局举办“六·五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖.抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案.参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖.已知从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是.现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用表示获奖的人数，那么（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试次，要保证他至少有一次通过的概率大于，那么的最小值为________．
17．设随机变量，，若，则______.
18．甲、乙两名运动员进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局比赛结果相互独立．当比赛采取局胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为．现甲，乙进行局比赛，设甲胜的局数为则________________．
三、解答题
19．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．
（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；
（2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望．
20．第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战和政策体系 促进入口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记.
（1）应从住校的男生 女生中各抽取多少人？
（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训
①求这3人中既有男生又有女生的概率；
②用表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量的分布列与数学期望.
21．某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有5kg），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：
等级 珍品 特级 优级 一级
箱数 40 30 10 20
(1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；
(2)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元/kg；方案二：分等级出售，橙子价格如下表.
等级 珍品 特级 优级 一级
价格/（元∕kg） 36 30 24 18
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值.
22．党的十九届五中全会强调“创新”在我国现代化建设中的重要战地位，确保发展经济着力点放在实体经济上，为促进经济活力，拉动市场经济快速发展，必须大力推进大众创业、万众创新．某几位大学毕业生自主创业创办了一家服务公司，该公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买产品的概率为，购买产品的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率也是，如此往复．记某人第次来购买产品的概率为．
(1)求；
(2)记第二次来公司购买产品的个人中有个人购买产品，人是否购买产品相互独立，求的分布列和数学期望．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
利用独立重复试验的概念和二项分布的定义逐一分析判断每一个命题的真假即得解.
【详解】
①某同学投篮的命中率为0.6，该同学投篮10次，是一个独立重复试验，所以他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且，所以该命题正确；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，相当于买了8次，每次中奖的概率都为，相当于做了8次独立重复试验，中奖张数是一个随机变量，且，所以该命题正确；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球为止，所以它不是一个独立重复性试验，因为当时，概率为，当时，概率为，当时，概率为，依次类推，即每次试验摸到白球的概率不相等，所以它不是独立重复性试验，所以不服从,所以该命题错误.
故选：C
本题主要考查独立重复试验和二项分布，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2．D
利用二项分布的期望与方差公式代入运算.
【详解】
因为服从二项分布，所以，得，故．
故选：D.
3．D
首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．
【详解】
因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,
,选择D答案．
本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题．
4．C
由题设知小华经过三局获胜的基本事件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，概率乘法公式求概率即可.
【详解】
由题设知：小华经过三局获胜的基本事件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，
∴小华经过三局获胜的概率为.
故选：C.
5．D
由题意，遇绿灯服从二项分布，结合互斥事件概率的求法，即可求同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率.
【详解】
4次均不是绿灯的概率为，
3次不是绿灯的概率为，
∴至少遇到2次绿灯的概率为.
故选：D.
6．C
根据题意得到取出的3个球必为2个旧球1个新球，从而得到，即可得到答案.
【详解】
由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，
故.
故选：C
7．C
记同时取出的2个球中红球的个数为X，则，再根据超几何分布的期望公式计算可得；
【详解】
解：记同时取出的2个球中红球的个数为X，则X服从参数为，，的超几何分布，所以．
故选：C
8．D
设两家店铺都不能正常营业为事件A，则应该包括四人休假或三人休假分别计算概率再求和，最后求事件A的对立事件的概率可得答案.
【详解】
设两家店铺都不能正常营业为事件A，若有四人休假概率为，有三个人休假的概率为，所以两家店铺都不能正常营业的概率为，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为.
故选：D.
方法点睛：含有或者词语中体现出“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较烦琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质进一步求解.
9．B
由二项分布的期望公式，可计算得，由，即得解.
【详解】
由题意随机变量，由二项分布的期望公式，可得
,
故选：B
10．B
根据频率分布直方图求出在区间内的概率，再利用二项分布的数学期望计算公式即可求解.
【详解】
由题意可知在区间内的概率，
所以，
所以.
故选：B
11．C
设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，由可得答案.
【详解】
设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，则，
由题可知：，即，
解得.
故选：C.
12．A
利用二项分布的概率公式以及概率的加法公式即可求解.
【详解】
该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，
有两天出现大潮概率为，
有三天出现大潮概率为，
所以至少有两天出现大潮的概率为，
故选：A.
13．A
根据给定条件，分析甲乙所在的小组获 “优秀小组”的所有可能情况，再利用互斥事件的加法公式，相互独立事件的乘法公式计算即得.
【详解】
依题意，在第一轮竞赛中甲乙所在的小组能获得“优秀小组”的所有可能的情况有：
甲答对1题，乙答对2题；甲答对2题，乙答对1题；甲答对2题，乙答对2题，且每人所答两题中答对的1题有先后之分，
所以所求概率为.
故选：A
14．A
根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为、，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数，即服从二项分布，则有即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.
【详解】
由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则：
芯片领域被选的概率为：；不被选的概率为：；而选择芯片领域的人数，
∴服从二项分布，，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为.
故选：A.
本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.
15．A
.设盒中装有10张大小相同的精美卡片，其中印有“环保会徽”的有张，“绿色环保标志”图案的有张，根据，解得，得到参加者每次从盒中抽取卡片两张获奖的概率，再根据服从二项分布，利用公式求解.
【详解】
.设盒中装有10张大小相同的精美卡片，其中印有“环保会徽”的有张，“绿色环保标志”图案的有张，
由题意得，解得，
所以参加者每次从盒中抽取卡片两张，获奖概率，
所以现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，
用表示获奖的人数，则，
所以.
故选：A
本题主要考查二项分布的期望和方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．
利用对立事件和独立重复试验的概率公式可得出关于的不等式，即可求得结果.
【详解】
由题意可得，可得，，则.
故答案为：.
17．6
由题意可得，根据公式可得可得答案.
【详解】
随机变量，则
，解得：
故答案为：6
18．.
根据当比赛采取局胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为求出的值，再根据二项分布求方差即可.
【详解】
由题意知： ，所以，
所以每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，
由题意知：随机变量，
所以.
故答案为：.
19．（1）；（2）分布列见解析；期望为．
（1）把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示，再利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
（2）首先判断随机变量服从二项分布，再求其分布列和均值.
【详解】
解（1）设表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数人”，，
表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有人”，
依题意有
所求的概率为
（2）的可能值为，且
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望．
20．（1）男生 女生就分别抽取4人，3人；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.
（1）找到住校生中男女生的比例关系，即可求出男女生分别抽取的人数.（2）①抽取的3名户主中既有男生，又有女生，包含男生有1人，女生有2人和男生有2人，女生有1人两种情况，分别求出概率再求和即可；②找到变量X的所有可能取值，服从超几何分布，求出概率，列出分布列，求出期望即可.
【详解】
（1）由已知住校生中男生占，则女生占，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生 女生就分别抽取4人，3人.
（2）①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，
=，=，故，
所以，事件A发生的概率为.
②随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
.随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
随机变量X的数学期望.
21．(1)
(2)方案一
(3)分布列见解析，
（1）根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求概率.
（2）求得新方案采购价格的期望值，由此作出判断.
（3）利用超几何分布的知识计算出分布列并求得.
(1)
设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件A，则，
现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为，则，
所以恰好有2箱是一级品的概率为.
(2)
设方案二中每千克橙子的价格为元，
则，
因为，所以从采购商的角度考虑应该采用方案一.
(3)
用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，
再从中随机抽取3箱，则珍品的箱数X服从超几何分布，其中，，，
，，，.
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
22．(1)
(2)分布列见解析，数学期望为1
（1）根据概率公式求出；
（2）根据二项分布的概率公式求得的各种取值所对应的概率，再计算出期望即可.
(1)
某人第次来购买产品的概率为,即；
(2)
由题意得，其中的可能取值有，，，，
故，，，；
故的分布列为
的数学期望为
．
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