第六章 计数原理单元练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章计数原理 同步练习
一、单选题
1．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为（ ）
A．140 B．240
C．360 D．800
2．作家马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．如图所示是望楼传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求），则一共可以传递的不同信息种数是（ ）
A．14 B．12 C．9 D．6
3．在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种．
A． B． C． D．
4．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
6．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ）
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
7．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（ ）
A．30 B．40 C．44 D．70
8．三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ）
A．729 B．18 C．216 D．81
9．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为 （ ）
A． B． C． D．
10．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
11．若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．若的展开式中项的系数是，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．的展开式中含的项的系数是______．
14．的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为，则正实数a的值为______．
15．若，则的值为________.
16．现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________.（用数字作答）
三、解答题
17．已知的展开式中偶数项二项式系数和比展开式中奇数项二项式系数和小120.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)设展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求.
18．设.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
19．4个男同学，3个女同学站成一排．
(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？
(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？
(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
20．已知在的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n；
（2）求展开式中所有的有理项.
21．已知（，且）．
(1)求的值；
(2)若，求n的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
根据(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，分别得到(x＋1)5和(x＋2)5的展开式中x的系数和常数项即可.
【详解】
因为(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，
所以(x＋1)5的展开式中x的系数为，常数项为1，
(x＋2)5的展开式中x的系数为，常数项为，
所以原式中x的系数为.
故选：B
2．D
由分步乘法原理求传递的不同信息种数.
【详解】
根据每行中紫色小方格的位置，可分三步：第一步，在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况；第二步，在第二行的3个方格中，要求每列有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况；第三步，在第三行，只有1种情况，则一共可以传递的信息种数是，
故选：D．
3．C
四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理可得冠军获奖者的情况.
【详解】
解:由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，
每项冠军都有3种选取方法，
由乘法原理共有种．
故选:C
4．C
根据二项式定理将多项式进行展开，利用整除的性质即可得到结论.
【详解】
，
∵能被11整除，
∴要使能被11整除，则能被11整除，
∵，∴，则，解得，
故选：C.
5．A
利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.
【详解】
集合知：
1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，
而有 种集合，集合对(A,B)的个数为15；
2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：
的集合为，
而B有种，集合对(A,B)的个数为；
∴一共有个，
故选：A
本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.
6．C
根据分类加法计数原理即可求解.
【详解】
分3类，买1本书，买2本书，买3本书，
各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种).
故选：C
7．B
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，由条件可知3个数都为奇数，或是两偶一奇，列式即得答案.
【详解】
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.
若选则3个数的和为奇数，则3个数都为奇数，共有种方法，
或是两偶一奇，共有，共有种方法.
故选：B
8．C
每个班个风景点中选择一处游览，每个班都有6种选法，根据分步乘法计数原理，即可得解.
【详解】
第一步，从六个风景点中选一个给第一个班，有6种选法；
第二步，从六个风景点中选一个给第二个班，有6种选法；
第三步，从六个风景点中选一个给第三个班，有6种选法．
根据分步乘法计数原理，不同的选法种数是
故选：C.
9．C
利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】
根据八卦图可知：8个卦中含有两个以上阳爻的有1个，有两个阳爻的有3个，分别为离、巽、兑，有一个阳爻的有3个，分别为震、艮、坎，无阳爻的有1个，为坤，
选的两卦的六个爻中恰有两个阳爻，可以从有两个阳爻的离、巽、兑中选一个，另一个选坤，
这种选法有种；
也可以从有一个阳爻的震、艮、坎中选两个，这种选法有种，
从八卦中任取两卦的选法有种，
则从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为.
故选：.
10．B
由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.
【详解】
由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，
故选：B．
【点晴】
方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.
11．A
根据排列数公式，化简得到关于的方程，求解即可.
【详解】
由，得，且
所以
即或舍去）.
故选：A
本题考查排列数方程的求解，注意排列数中不要忽，属于基础题.
12．A
根据二项式的通项及特定项系数求参数值.
【详解】
二项展开式的通项为，
令，解得，
则，，
解得，
故选：A.
13．70
由，求得展开式中含项的系数．
【详解】
∵，
又的展开式的一次项为，二次项为
∴的展开式中含项的系数为，
故答案为：70．
14．3
设，然后分别令，，可求出，再结合已知条件可求出答案
【详解】
设，
令，得，①
令，得，②
②①，得，
又因为，，
所以，解得．
故答案为：3
15．-1
对二项展开式用 “赋值法”： 可得
令可得：，
即可求出的值
【详解】
因为，
令可得；令可得：；
故．
故答案为：-1
方法点睛：求展开式系数和或有关展开式系数和一个非常有效的方法是赋值法.在用“赋值法”求值时，要找准代数式与已知条件的联系如何赋值，要是具体情况而定，没有一成不变的规律，灵活性较强一般的.一般地：多项式f（x）的各项系数和为f（1），奇次项系数和为f（1）-f（-1），偶次项系数和为f（1）+f（-1）；对于有些展开式要对关于x的因式赋值，要注意观察：另外在赋值法中正确使用构造法，结合函数相关性质，可以在求解二项式问题时能收到事半功倍的效果。
16．336
根据排列定义及公式即可求解.
【详解】
从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为，故共有336种不同的选派方案.
故答案为：336
17．(1)
(2)22
小问1：根据二项式系数和关系求出参数，再由二项式系数性质即可求得结果；
小问2：利用展开式的通项公式令的指数为，即可求出常数项，令，可得展开式中所有项系数的和为，即可求得结果．
(1)
由题意可得，故，故，解得．
，展开式中二项式系数最大的项为；
(2)
，其展开式的通项为，
令，得.
∴常数项，
令，可得展开式中所有项系数的和为，
∴．
18．（1）1；（2）；（3）.
（1）令可得所求的值；
（2）再令，结合（1）可得所求的值.
（3）根据通项公式可判断出项的系数的正负，利用（2）中的结果可得所求的值.
【详解】
（1）令，得，
故.
（2）令，得，
故即.
（3）∵，
故当为偶数时，，为奇数时，，
故.
19．(1)720
(2)1440
(3)144
(4)960
(5)840
小问1：我们可视排好的女同学为一整体有种排法，再与男同学排队即可；
小问2：先将男同学排好，共有种排法，再利用插空法即可；
小问3：根据分步乘法计数原理先排男生再排女生即可；
小问4：先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，再把甲、乙看一整体排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中即可；
小问5：从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生按身高排列有一种排法，即可求解．
(1)
3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有种排法．我们可视排好的女同学为一整体，
再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法．由分步乘法计数原理，得共
有（种）不同的排法；
(2)
先将男同学排好，共有种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女
同学有种方案，故符合条件的不同的排法共有（种）；
(3)
3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有（种）；
(4)
先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；
由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有种排法．
故总共有（种）不同的排法；
(5)
从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女
生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有（种）不同的排法．
20．（1）. （2）展开式中的有理项为：，，
【详解】
试题分析：（1）
故.
（2）设展开式中的有理项为
n则，故r =2，5，8
展开式中的有理项为：
，
点评：运用二项展开式的通项公式求特定项，特定项系数、常数项、有理项等，通常是先根据已知条件，再求，有时还需先求，再求，才能求出.
21．(1)96
(2)8
（1）由排列数计算公式即可求解；
（2）由排列数计算公式即可求解方程.
(1)
解：；
(2)
解：由，得，
又，，所以，即，
正整数n为8．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页