1.1空间向量及其运算 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 1.1 空间向量及其运算 同步练习
一、单选题
1．如图，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有（ ）
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
2．如图，在长方体中，（ ）
A． B．
C． D．
3．在正方体中，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在大小为45°的二面角A EF D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)
A． B．
C．1 D．
5．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量，．若向量与向量平行，则实数m的值是（ ）
A．2 B．-2 C．10 D．-10
8．四棱锥的底面是正方形，且各条棱长均相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，，，则的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
10．正方体中，、分别为、上的点，且满足，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
11．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
13．在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（ ）
A．- B． C．- D．
14．如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A． B． C． D．
15．如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知空间向量，，，化简________.
17．已知空间四边形，点M N分别为的中点，且，用表示，则___________.
18．已知 ，则____________．
三、解答题
19．已知，，，点M在直线OC上运动．当取最小值时，求点M的坐标．
20．如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.
（1）－
（2）＋＋
21．已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直.
（1）求的模；
（2）求向量的坐标.
22．如图，四棱锥的底面为一矩形，，，，点，分别是和的中点，试用，，表示，，，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
根据向量模相等，结合平行六面体的结构特征和向量的概念，即可求解.
【详解】
由向量模相等，即为长度相等，根据平行六面体的结构特征可知：
与向量模相等的向量是：，，，，，，共7个．
故选：C．
2．D
根据向量的运算法则得到，带入化简得到答案.
【详解】
在长方体中，.
故选：D.
3．B
利用空间向量的加法法则和数乘运算可得．
【详解】
．
故选：B．
4．D
由，利用数量积运算性质展开即可得到答案
【详解】
,
故
故选
本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．
5．A
由题知平面，直线，故当、最短时，平面，，再根据向量的关系计算即可得答案.
【详解】
，，
∴ ，，
即:，；
平面，直线，
所以当、最短时，平面，，
为的中心，为线段的中点，
如图：
又正四面体的棱长为1，
，
平面，
，
．
故选：A．
本题考查空间向量的数量积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得平面，直线，进而当当、最短时，平面，，再求解.
6．A
利用空间向量加法法则直接求解．
【详解】
连接BD，如图，
则
故选：A．
7．A
利用向量共线定理即可得到，再进行向量坐标化，由向量相等得到参数值.
【详解】
向量，，，向量与向量，，平行，
存在实数使得，坐标化得到：
，解得．
故选：A．
8．D
作出图形，设四棱锥的各条棱的棱长为，计算出各边边长，利用余弦定理求出，即为所求.
【详解】
如下图所示，设四棱锥的各条棱的棱长为，连接、交于点，则为的中点，且平面，连接，取的中点，连接，
四边形为正方形，，则，
所以，异面直线与所成角为或其补角，
，，，
为的中点，，
、分别为、的中点，且，
平面，平面，平面，，
，由勾股定理得，
是边长为的等边三角形，为的中点，，
，由余弦定理得.
故选：D.
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.
9．D
根据向量数量积的应用，由以及模的计算公式即可求出．
【详解】
因为，所以
．
故的长为．
故选：D．
本题主要考查利用向量的数量积计算线段的长度，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
10．C
取上一点，使，结合正方体的结构特征可得，进而可得，所以为异面直线与所成角，在中，，即可求解.
【详解】
取线段上一点，使，连接，，如图所示，
因为，，所以，
所以，，又因为，
所以为异面直线与所成角，
设该正方体的棱长为，则，，
所以在中，，
所以，
故选：C
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
11．C
结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：C.
12．D
用向量分别表示,利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】
由题意可得，
故选：D
本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.
13．A
首先由向量的关系式得M∈平面BCD，N∈直线AC，由条件判断点，线，面的位置关系，结合向量数量积的运算，即可求解.
【详解】
由共面向量定理和共线向量定理可知，M∈平面BCD，N∈直线AC，当AM、BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，
所以M为△BCD的中心，N为AC的中点，
此时，2||==，∴||=，
∵AM⊥平面BCD，MC 平面BCD，
∴AM⊥MC，
∴||=
==.
又=(+)，
∴·=(·+·)
=-||2=-.
故选：A.
14．B
先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】
解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.
15．B
建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，求出点、的坐标，再利用空间中两点间的距离公式求出线段的长.
【详解】
由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系
，
则，，因为是的中点，所以，
因为，所以，所以，即线段的长为，故选B.
本题考查空间中两点间的距离公式的应用，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，并求出相应点的坐标，考查空间想象能力，属于中等题.
16．
利用向量加法、减法以及数乘的运算律即可求解.
【详解】
根据空间向量的数乘运算法则可知，
原式.
故答案为：
本题考查了向量的线性运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
17．
根据几何图形，利用向量加，减法的几何意义表示.
【详解】
故答案为：
18．
根据和向量数量积运算可得答案．
【详解】
解： ，
所以．
故答案为：．
19．
利用向量共线定理和数量积运算、二次函数的单调性等即可得出．
【详解】
设，，，点在直线上运动，存在实数，使得，
，，，1，，得到，，．
，，，，
．
当且仅当时，取得最小值．
此时．
20．， ，图象见解析
（1）将向量平移到同一个平面，再利用平行四边形法则即可计算出结果.
（2）直接利用平行四边形法则计算出＋＝，再利用三角形法则，即可计算出结果.
【详解】
（1）－＝－＝＋＝.
（2）＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示.
本题考查空间向量的运算，属于基础题.熟练掌握三角形法则与平行四边形法则是解本题的基础.
21．（1）1；（2）或.
（1）求出的坐标，即可求出的模；
（2）设，则由题可知，解出即可得出．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
所以 ；
（2）设，则由题可知

解得或
所以或.
本题考查向量的坐标运算、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
22．；；；．
利用空间向量的线性运算几何意义，结合空间向量基本定理，注意回路的选择，即可得到答案；
【详解】
．
．
．
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页