第七章随机变量及其分布 单元练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 同步练习
一、单选题
1．若随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（ ）
A． B． C． D．
3．正态分布概念是由德国数学家和天文学家在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据；对这些数据进行分析发现这些数据变量近似服从，若，则
A． B． C． D．
4．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
5．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ）
A． B．
C． D．
7．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．设，，则（ ）
A． B． C． D．
9．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率.若，则，，.有如下命题：甲：；乙：；丙：；丁：假设生产状态正常，记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.其中假命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．若一个小球从正上方落下，落到号位置的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72 B．0.8
C．0.86 D．0.9
12．1654年，法国贵族德 梅雷骑士偶遇数学家布莱兹 帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（　　）
A．肖恩 B．尤瑟纳尔 C．酒吧伙计 D．酒吧老板
二、填空题
13．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片"鲲鹏920” 清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片” “特斯拉全自动驾驶芯片” 寒武纪云端AI芯片“思元270” 赛灵思“Versal自适应计算加速平台”：现有1名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选3项进行了解，在其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为___．
14．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.
15．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值______.
16．2019年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________．
三、解答题
17．为了解某市2021届高三学生备考情况，教研所计划在2020年11月、2021年1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试，第一次质量检测考试（一检）结束后，教研所分析数据，将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图，分数在之间的理科学生成绩绘制成频率分布直方图，已知参加考试的理科生有12000人.
（1）如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线，请问一检考试的模拟二本线应该是多少；
（2）若甲同学每次质量检测考试，物理、化学、生物及格的概率分别为，，，请问甲同学参加三次质量检测考试，物理、化学、生物三科中至少2科及格的次数分布列及期望.
18．天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中．
星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四
视星等 0.03 0.08 0.12 0.38 0.46 a
绝时星等 1.42 4.4 0.6 0.1 2.67
赤纬
（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；
（2）已知北京的纬度是北纬，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为颗，求的分布列和数学期望；
（3）记时10颗恒星的视星等的方差为，记时10颗恒星的视星等的方差为，判断与之间的大小关系．（结论不需要证明）
19．某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.
(1)求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）.
(2)由频率分布直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）的人数（结果四舍五入保留整数）.
(3)用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则，.
20．某花店每天以每枝4元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝8元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理
（1）若花店一天购进15枝玫瑰花，求当天的利润y(单位∶元)关于当天需求量n(单位∶枝，)的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位∶枝)，整理得下表∶
日需求量n 13 14 15 16 17 18 19
频数 10 30 20 14 12 8 6
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（i）若花店一天购进15枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位∶元)，求X的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进15枝或16枝玫瑰花，你认为应购进15枝还是16枝？请说明理由.
21．某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.
（1）通过分析可以认为考生初试成绩服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于90分的人数；
（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为，求的分布列及数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
根据二项分布列式，计算出，然后利用正态分布的特点计算的值.
【详解】
由题意，，解得，则，所以.
故选：A.
2．B
列出实验次数的分布列，根据数学期望的数学计算公式即可求解.
【详解】
由题意可得，每次实验成功的概率为，则失败的概率为，
，
，
则实验次数的分布列如下：


所以此人实验次数的期望是.
故选：B
3．A
利用正态分布的对称性求概率．
【详解】
，
故选：.
4．B
根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】
，
故选：B
判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立
5．B
利用全概率公式以及贝叶斯公式即可求解.
【详解】
设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，
由全概率公式得.
又由贝叶斯公式得.
故选：B
6．B
记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果.
【详解】
记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，
，，，
由全概率公式可得.
故选：B.
关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算.
7．B
根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，
此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，
则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率.
故选：B.
8．C
根据条件概率公式可求出，然后根据对立事件的概率公式即可求出的值.
【详解】
因为，，，
所以．
故选：C．
9．D
根据正态分布曲线的特点判断A，B，C；先计算出一只口罩过滤率小于等于的概率，然后根据即可计算出的值并进行判断.
【详解】
由题意可知，正态分布的；
甲．因为，所以，故正确；
乙．因为，所以，故正确；
丙．因为，且，
所以，故正确；
丁．因为一只口罩过滤率小于等于的概率为，
又因为，故错误；
故选：D.
思路点睛：解决正态分布问题的三个关键点：
（1）对称轴；
（2）标准差；
（3）分布区间.
利用对称性可求指定范围内的概率值；由分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为的特殊区间，从而求出所求概率.
10．C
记小球经过第层的第号通道（从左到右）的概率为，利用独立事件的概率公式计算出、的值，再由可求得结果.
【详解】
当小球经过第层时，第一次碰到钉子，向左或向右滚下的概率均为，所以，.
当小球经过第层时，共碰到次钉子，要使得小球经过第号通道，必须满足次向右、次向左滚下，所以，，同理可得.
要使得小球经过号位置（即第层号通道），可由第层号通道向右滚下、也可以由第层号通道向左滚下，
因此，.
故选：C.
思路点睛：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
（1）首先确定各事件是相互独立的；
（2）再确定各事件会同时发生；
（3）先求出每个事件发生的概率，再求其积.
11．A
将所给数据代入条件概率公式计算而得.
【详解】
设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，
则P(A)＝0.9.又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，
所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
故选：A
12．B
由题设求出肖恩、尤瑟纳尔每局获胜的概率，设决出胜负的场数为X，在七局四胜制中，求出X取4，5，6，7的概率，即可判断出结果.
【详解】
由题意，肖恩每局获胜的概率为，尤瑟纳尔每局获胜的概率为，
先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，于是得：
，，
，，
显然有，即，
所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.
故选：B
13．
由题可知，15项“世界互联网领先科技成果”中，其中5项为芯片领域，10片为非芯片领域，设选出的3项中，其中1项“鲲鹏920”为事件，根据组合的运算，即可求出，设在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域为事件，得出，最后根据条件概率的计算，即可求出所求概率.
【详解】
解：根据题意，15项“世界互联网领先科技成果”中，
其中5项为芯片领域，10片为非芯片领域，其中“鲲鹏920”也属于芯片领域，
设选出的3项中，其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”为事件，
则共有种情况，即，
设在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域为事件，
则共有种情况，即，
所以在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为：
.
故答案为：.
关键点点睛：本题考查条件概率的求法和组合数的运用和计算，理解条件概率的定义和计算公式是解题的关键，考查学生解题分析能力和计算能力.
14．##0.6
利用条件概率公式即可得到结果.
【详解】
设“甲同学被选出”记为事件，“乙同学被选出”记为事件，
则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率.
故答案为：
15．
根据题意得出的所有可能取值为，然后分析出涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的各有多少个小正方体，从而计算取每个值时的概率，从而求的均值.
【详解】
的所有可能取值为，
大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆；
每一条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有个；
每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有个小正方体涂有一面油漆；
剩余的个内部的小正方体6个面都没有涂油漆，
所以，，，，
.
故答案为：.
16．
由题意求得，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，可得每名学生的英语成绩，所以，
则全市随机抽取的4名同学中恰有2名的英语成绩超过95分的概率是.
故答案为：
17．（1）458；（2）答案见解析.
（1）设二本线应为分，根据题意可知，左边的矩形面积之和为，可得出关于的等式，解出的值，即为所求；
（2）由题意可知，随机变量，根据二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望可求得.
【详解】
（1）分以上的频率为：，
要达到60%的二本率，所以，之间频率为：
因为的频率总和为
所以模拟二本线应在之间，设为
则解得：；
（2）至少2科及格的概率
，，，1，2，3
0 1 2 3
.
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
18．（1）；（2）分布列见解析；数学期望为；（3）．
（1）由图表数据可知有颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，由古典概型概率公式可计算得到结果；
（2）首先确定所有可能取值，利用超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可得期望；
（3）根据数据的波动程度可得方差大小关系.
【详解】
（1）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件，
由图表可知：颗恒星有颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值．
．
（2）由图表知，有颗恒星的“赤纬”数值大于，有颗恒星的“赤纬”数值小于，则随机变量的所有可能取值为：，，，．
，，，．
随机变量的分布列为：
．
（3）结论：．
理由：当时，视星等的平均数为；当时，视星等的平均数为；可知当时，视星等的数值更集中在平均数附近，由此可知其方差更小.
关键点点睛：本题第二问考查了服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解，关键是能够确定随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式计算得到每个取值对应的概率.
19．(1)7
(2)54
(3)分布列见解析，200
（1）根据频率分布直方图直接计算可得；
（2）根据正态分布的概率公式计算出概率即可得出；
（3）可得X的可能取值为400，300，200，100，0，求出X取不同值的概率，即可得出分布列求出期望.
(1)
.
(2)
，，，
.
故该校被抽取的400名教职工中日行步数的人数约为.
(3)
用样本估计总体，从该校教职工中随机抽取1人，是“超健康生活方式者”的概率为，是“不健康生活方式者”的概率为，是“一般生活方式者”的概率为.
由题意知X的可能取值为400，300，200，100，0，
，，
，，
，∴X的分布列为
X 0 100 200 300 400
P 0.0144 0.1824 0.6064 0.1824 0.0144
.
20．（1），n∈N；（2）（i）分布列答案见解析，，；（ii）应购进15枝，理由见解析.
（1）根据题意，分别求得当n≥15和n≤14时的解析式，综合即可得答案.
（2）（i）X可取44，52，60，分别求得各个概率，列出分布列，代入公式，即可得数学期望及方差；
（ii）求得购进16枝时利润Y的的期望，比较即可得答案.
【详解】
解∶（1）当n≥15时，，
当n≤14时，，
得，n∈N.
（2）（i）X可取44，52，60，
P(X=44)=0.1，P(X=52)=0.3，P(X=60)=0.6，
X的分布列为
X 44 52 60
P 0.1 0.3 0.6
，
（ii）花店一天购进16枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位∶元)，
那么Y的分布列为
Y 40 48 56 64
P 0.1 0.3 0.2 0.4
购进16枝时，当天的利润的期望为，
因为56>55.2，所以应购进15枝.
21．（1）114人；（2）分布列见解析，.
（1）通过分析得，，，初试成绩不低于90分的概率为求得人数；
（2）由题得的取值分别为0，3，5，8，10，13，分别计算对应概率列出分布列得解.
【详解】
（1）∵学生笔试成绩服从正态分布，其中，，
∴
∴估计笔试成绩不低于90分的人数为人
（2）的取值分别为0，3，5，8，10，13，
则
的分布为
故的分布列为：
0 3 5 8 10 13
利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．
对于正态分布，由是正态曲线的对称轴知：
(1)对任意的，有；
(2)
(3)．
答案第1页，共2页
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