2.3直线的交点坐标与距离公式 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2.3直线的交点坐标与距离公式 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 798.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-05 07:18:19 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．两条平行线，之间的距离为（ ）
A．3 B． C． D．7
2．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
3．设集合，，若，则实数a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．或2
4．已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
5．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
6．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（ ）
A．10 B．13 C．16 D．20
8．已知直线，则直线之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
10．若两条平行直线与之间的距离是，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
11．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
二、填空题
13．三条直线，，不能围成三角形，则的取值集合是__________．
14．如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边 分别在轴 轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为__________.
15．两平行直线与间的距离为3，则___________.
16．过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为__________________.
三、解答题
17．已知直线；.
（1）若，求的值；
（2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值．
18．（1）已知点A的坐标为，直线l的方程为，求点A关于直线l的对称点的坐标；
（2）求直线关于点对称的直线l的方程；
（3）求直线关于直线对称的直线l的方程.
19．已知三个顶点的坐标分别为.
（1）求边中线所在直线的方程；
（2）求的面积.
20．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.
（1）求点坐标；
（2）求直线的方程.
21．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，．
(1)求边所在直线的方程；
(2)边上中线的方程为，且的面积等于，求点的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
根据两平行线之间的距离公式即可求解.
【详解】
解：，
即，
两平行线之间的距离.
故选：B.
2．D
根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】
因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
3．C
本题先化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.
【详解】
解：集合A表示直线，即上的点，但除去点，
集合B表示直线上的点，
当时，
直线与平行或直线过点，
所以或，
解得或．
故选：C.
本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数，是基础题.
4．B
利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】
点，，点在轴上，
点关系轴的对称点为，
.
故选：B.
5．C
首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积.
【详解】
直线的方程为，即.
由解得.
设，直线的方程分别为 ，即
，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以
，
，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得
，解得（），所以.
所以到直线的距离为，而，所以.
故选：C
本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
6．D
由直线与直线的交点在直线上可设直线，在直线上取一点，由该点到直线与的距离相等列方程即可得解.
【详解】
联立，解得，
所以直线与直线的交点为，
所以点在直线上，
所以可设直线即，
在直线上取一点，则该点到直线与的距离相等，
所以，解得或（舍去）.
所以直线的斜率为.
故选：D.
关键点点睛：解决本题的关键是由直线对称的几何特征转化为代数问题，细心运算即可得解.
7．B
由题意，直线与直线互相垂直且垂足为点，又直线过定点，直线过定点，在中，根据勾股定理及两点间的距离公式即可求解.
【详解】
解：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点，
又因为直线过定点，直线，即过定点，
所以在中，，
故选：B.
8．A
由题意结合平行线的距离公式求解其距离即可.
【详解】
由两平行直线间的距离公式可得其距离为：.
故选：A.
方法点睛：求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式；求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同.
9．C
根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．
【详解】
根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
故选C．
本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
10．A
由两直线平行求得参数，再由距离求出后即得．
【详解】
由题意两直线平行，则，，
又，而，所以．
所以．
故选：A．
11．C
由直线，，可得，，代入三角形面积计算公式，再令，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出．
【详解】
由直线，，
可得，，
所以当的面积，
令，所以，
所以当，即时，取得最小值．
故选：C
求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基本不等式或用求导的方法．
12．A
根据题意，可知表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，画出图形，分析判断即可求出的取值范围.
【详解】
解：表示关于轴对称的两条射线，
表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，
根据题意，画出大致图形，如下图，
若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．
故选：A．
本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想.
13．
由题意可知直线与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点，由此可求得实数的取值.
【详解】
由于三条直线，，不能围成三角形，
则直线与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点.
（1）直线与直线平行，则，解得；
（2）直线与直线平行，则，解得；
（3）若三条直线交于一点，联立，解得，
所以直线，交于点，
由题意可知，点在直线上，可得，解得.
因此，实数的取值集合为.
故答案为：.
由三线不能确定三角形问题的求解，除了考虑直线平行外，同时也不能忽三线交于一点这种情况的讨论.
14．
因为折叠的过程中，点落在线段上，特别的如果折叠后重合，这时折痕所在的直线斜率为0，然后根据点和对折后的对应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线的方程.
【详解】
当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程，
当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，，
所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得：，
故折痕所在的直线的方程.
，从而折痕所在的直线与的交点坐标为，
折痕所在的直线方程为，
即，
综上所述：折痕所在的直线的方程为：.
故答案为：.
本题主要考查了点关于线段对称问题，考查了直线方程的求法，考查了两直线垂直关系的应用，属于中档题
15．或48
根据两条直线平行求出b,进而通过两条平行线间的距离求出c，最后求出答案.
【详解】
∵，∴，
∴.
∴，解得或.
∴或.
故答案为：-12或48.
16．或
求得直线与的交点坐标，对所求直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到所求直线的距离为可求得所求直线的方程.
【详解】
由，得，所以，直线与的交点为.
当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为，点到该直线的距离为，不合乎题意；
当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为，即，
由于点到所求直线的距离为，可得，
整理得，解得或.
综上所述，所求直线的方程为或.
故答案为：或.
本题考查利用点到直线的距离公式求直线的方程，同时也考查了直线交点坐标的求解，考查计算能力，属于中等题.
17．（1）；（2）或.
（1）由两直线垂直，可得斜率乘积为，列方程可得答案；
（2）由两直线平行，斜率相等可求出的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值
【详解】
解：（1）设直线的斜率分别为，则．
若，则，，
（2）若，则，
∴可以化简为，
又直线与直线的距离，
或，
综上：.
18．（1）；（2）；（3）.
(1)求得直线AA′的方程，再求直线l与与直线AA′的交点，进而即可求出A′的坐标；
(2)取直线l上任一点(x，y)，根据题意得到关于点的对称点在直线上，进而求出直线方程；
(3)求出已知两直线的交点坐标，进而根据对称的性质，结合两点式方程即可解答.
【详解】
（1）过点且与直线垂直的直线的方程为，
由得，
即直线与直线的交点坐标为，
∵点关于点的对称点的坐标为，
∴点A关于直线l的对称点的坐标为.
（2）取直线l上任一点，其关于点的对称点在直线上，
∴，整理得，
即所求直线l的方程为.
（3）由得
∴两直线的交点为，
在直线上取点，
设点B关于直线的对称点为，
则有
解得即点C的坐标为，
由于所求直线经过A C两点，则有，
即，
∴所求直线l的方程为.
19．（1）；（2）.
（1）求出边的中点为M ，即可求出，用点斜式方程即可求解；
（2）先求出线段BC和A到直线的距离，即可求出的面积.
【详解】
（1）设边的中点为M，则M点的坐标为，∴.
∴直线的方程为，即，
∴边中线所在直线的方程为.
（2）∵，
∴.
由得直线的方程为，
∴A到直线的距离，
∴.
20．（1）（2）
（1）由AC边上的高BE所在的直线方程可得kAC．利用点斜式可得AC方程,与CM方程联立解得C坐标．（2）设B点坐标，可得中点M坐标代入CM方程，与BE方程联立，可得点B坐标，利用点斜式即可得出所求直线方程．
【详解】
（1）边上的高为，故的斜率为，
所以的方程为，
即，
因为的方程为
解得
所以.
（2）设，为中点，则的坐标为，
解得，
所以， 又因为，
所以的方程为
即的方程为.
本题考查两条直线垂直的应用、考查中点坐标公式以及直线方程的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
21．(1)
(2)或
（1）利用两点式求得边所在直线方程；
（2）利用点到直线的距离公式求得A到直线的距离，根据面积以及点A在直线上列方程组，解方程组求得A点的坐标.
(1)
解：由、得边所在直线方程为，即，
故边所在直线的方程为.
(2)
解：因为A到边所在直线的距离为，
又，
所以，所以，
所以，则或，
由于A在直线上，故或，
解得或，
所以或.
答案第1页，共2页
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一、单选题
1．两条平行线，之间的距离为（ ）
A．3 B． C． D．7
2．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
3．设集合，，若，则实数a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．或2
4．已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
5．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
6．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（ ）
A．10 B．13 C．16 D．20
8．已知直线，则直线之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
10．若两条平行直线与之间的距离是，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
11．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
二、填空题
13．三条直线，，不能围成三角形，则的取值集合是__________．
14．如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边 分别在轴 轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为__________.
15．两平行直线与间的距离为3，则___________.
16．过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为__________________.
三、解答题
17．已知直线；.
（1）若，求的值；
（2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值．
18．（1）已知点A的坐标为，直线l的方程为，求点A关于直线l的对称点的坐标；
（2）求直线关于点对称的直线l的方程；
（3）求直线关于直线对称的直线l的方程.
19．已知三个顶点的坐标分别为.
（1）求边中线所在直线的方程；
（2）求的面积.
20．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.
（1）求点坐标；
（2）求直线的方程.
21．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，．
(1)求边所在直线的方程；
(2)边上中线的方程为，且的面积等于，求点的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
根据两平行线之间的距离公式即可求解.
【详解】
解：，
即，
两平行线之间的距离.
故选：B.
2．D
根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】
因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
3．C
本题先化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.
【详解】
解：集合A表示直线，即上的点，但除去点，
集合B表示直线上的点，
当时，
直线与平行或直线过点，
所以或，
解得或．
故选：C.
本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数，是基础题.
4．B
利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】
点，，点在轴上，
点关系轴的对称点为，
.
故选：B.
5．C
首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积.
【详解】
直线的方程为，即.
由解得.
设，直线的方程分别为 ，即
，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以
，
，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得
，解得（），所以.
所以到直线的距离为，而，所以.
故选：C
本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
6．D
由直线与直线的交点在直线上可设直线，在直线上取一点，由该点到直线与的距离相等列方程即可得解.
【详解】
联立，解得，
所以直线与直线的交点为，
所以点在直线上，
所以可设直线即，
在直线上取一点，则该点到直线与的距离相等，
所以，解得或（舍去）.
所以直线的斜率为.
故选：D.
关键点点睛：解决本题的关键是由直线对称的几何特征转化为代数问题，细心运算即可得解.
7．B
由题意，直线与直线互相垂直且垂足为点，又直线过定点，直线过定点，在中，根据勾股定理及两点间的距离公式即可求解.
【详解】
解：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点，
又因为直线过定点，直线，即过定点，
所以在中，，
故选：B.
8．A
由题意结合平行线的距离公式求解其距离即可.
【详解】
由两平行直线间的距离公式可得其距离为：.
故选：A.
方法点睛：求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式；求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同.
9．C
根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．
【详解】
根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
故选C．
本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
10．A
由两直线平行求得参数，再由距离求出后即得．
【详解】
由题意两直线平行，则，，
又，而，所以．
所以．
故选：A．
11．C
由直线，，可得，，代入三角形面积计算公式，再令，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出．
【详解】
由直线，，
可得，，
所以当的面积，
令，所以，
所以当，即时，取得最小值．
故选：C
求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基本不等式或用求导的方法．
12．A
根据题意，可知表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，画出图形，分析判断即可求出的取值范围.
【详解】
解：表示关于轴对称的两条射线，
表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，
根据题意，画出大致图形，如下图，
若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．
故选：A．
本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想.
13．
由题意可知直线与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点，由此可求得实数的取值.
【详解】
由于三条直线，，不能围成三角形，
则直线与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点.
（1）直线与直线平行，则，解得；
（2）直线与直线平行，则，解得；
（3）若三条直线交于一点，联立，解得，
所以直线，交于点，
由题意可知，点在直线上，可得，解得.
因此，实数的取值集合为.
故答案为：.
由三线不能确定三角形问题的求解，除了考虑直线平行外，同时也不能忽三线交于一点这种情况的讨论.
14．
因为折叠的过程中，点落在线段上，特别的如果折叠后重合，这时折痕所在的直线斜率为0，然后根据点和对折后的对应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线的方程.
【详解】
当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程，
当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，，
所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得：，
故折痕所在的直线的方程.
，从而折痕所在的直线与的交点坐标为，
折痕所在的直线方程为，
即，
综上所述：折痕所在的直线的方程为：.
故答案为：.
本题主要考查了点关于线段对称问题，考查了直线方程的求法，考查了两直线垂直关系的应用，属于中档题
15．或48
根据两条直线平行求出b,进而通过两条平行线间的距离求出c，最后求出答案.
【详解】
∵，∴，
∴.
∴，解得或.
∴或.
故答案为：-12或48.
16．或
求得直线与的交点坐标，对所求直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到所求直线的距离为可求得所求直线的方程.
【详解】
由，得，所以，直线与的交点为.
当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为，点到该直线的距离为，不合乎题意；
当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为，即，
由于点到所求直线的距离为，可得，
整理得，解得或.
综上所述，所求直线的方程为或.
故答案为：或.
本题考查利用点到直线的距离公式求直线的方程，同时也考查了直线交点坐标的求解，考查计算能力，属于中等题.
17．（1）；（2）或.
（1）由两直线垂直，可得斜率乘积为，列方程可得答案；
（2）由两直线平行，斜率相等可求出的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值
【详解】
解：（1）设直线的斜率分别为，则．
若，则，，
（2）若，则，
∴可以化简为，
又直线与直线的距离，
或，
综上：.
18．（1）；（2）；（3）.
(1)求得直线AA′的方程，再求直线l与与直线AA′的交点，进而即可求出A′的坐标；
(2)取直线l上任一点(x，y)，根据题意得到关于点的对称点在直线上，进而求出直线方程；
(3)求出已知两直线的交点坐标，进而根据对称的性质，结合两点式方程即可解答.
【详解】
（1）过点且与直线垂直的直线的方程为，
由得，
即直线与直线的交点坐标为，
∵点关于点的对称点的坐标为，
∴点A关于直线l的对称点的坐标为.
（2）取直线l上任一点，其关于点的对称点在直线上，
∴，整理得，
即所求直线l的方程为.
（3）由得
∴两直线的交点为，
在直线上取点，
设点B关于直线的对称点为，
则有
解得即点C的坐标为，
由于所求直线经过A C两点，则有，
即，
∴所求直线l的方程为.
19．（1）；（2）.
（1）求出边的中点为M ，即可求出，用点斜式方程即可求解；
（2）先求出线段BC和A到直线的距离，即可求出的面积.
【详解】
（1）设边的中点为M，则M点的坐标为，∴.
∴直线的方程为，即，
∴边中线所在直线的方程为.
（2）∵，
∴.
由得直线的方程为，
∴A到直线的距离，
∴.
20．（1）（2）
（1）由AC边上的高BE所在的直线方程可得kAC．利用点斜式可得AC方程,与CM方程联立解得C坐标．（2）设B点坐标，可得中点M坐标代入CM方程，与BE方程联立，可得点B坐标，利用点斜式即可得出所求直线方程．
【详解】
（1）边上的高为，故的斜率为，
所以的方程为，
即，
因为的方程为
解得
所以.
（2）设，为中点，则的坐标为，
解得，
所以， 又因为，
所以的方程为
即的方程为.
本题考查两条直线垂直的应用、考查中点坐标公式以及直线方程的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
21．(1)
(2)或
（1）利用两点式求得边所在直线方程；
（2）利用点到直线的距离公式求得A到直线的距离，根据面积以及点A在直线上列方程组，解方程组求得A点的坐标.
(1)
解：由、得边所在直线方程为，即，
故边所在直线的方程为.
(2)
解：因为A到边所在直线的距离为，
又，
所以，所以，
所以，则或，
由于A在直线上，故或，
解得或，
所以或.
答案第1页，共2页
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