2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单选题
1．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，则圆的半径为（ ）
A． B． C．3 D．
3．圆和圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
4．已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（ ）
A．或2 B．或4 C． D．
5．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（ ）
A．9 B．4 C． D．
6．已知圆的标准方程是，圆：关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
7．过坐标原点且与圆相切的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
9．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）
A．6.33平方寸 B．6.35平方寸
C．6.37平方寸 D．6.39平方寸
12．已知直线与圆相切，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知点为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知斜率为的直线被圆：截得的弦长为，则直线的方程为（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
15．圆C：被直线截得的最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知A是圆上的动点，B是圆上的动点，则的取值范围为___________.
17．已知圆C的方程为，过直线l：（）上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为__________．
18．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是________．
三、解答题
19．已知圆:,直线.
(1)若直线与圆相切,求的值;
(2)若直线与圆交于不同的两点,当∠AOB为锐角时,求k的取值范围;
(3)若,是直线上的动点,过作圆的两条切线,切点为,探究:直线是否过定点．
20．已知圆，圆，判断圆与圆的位置关系．
21．已知圆，直线恒过点.
（1）若直线与圆相切，求的方程；
（2）当直线与圆相交于两点，且时，求的方程.
22．已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为E.
(1)求轨迹方程；
(2)过点的直线与曲线E交于P，Q两点，若，其中O为坐标原点，求.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
首先求出，即可求出，再求出圆心到直线的距离，即可求出三角形的高的取值范围，从而得到面积的取值范围；
【详解】
解：直线分别与轴，轴交于，两点，
令，得，令，得，
，，，
圆的圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，点在圆上，所以三角形的高，即，所以
故选：A
2．C
设圆的方程为，由圆心在直线上得，由圆与轴相切得，再由弦长公式得一等式，联立可求得．
【详解】
设圆的方程为，则，，，解得，或，即圆的半径为3．
故选：C．
3．C
先根据两圆的方程，求出相应的圆心与半径，再通过计算得出，故两圆外切.
【详解】
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
所以.
因为，所以圆和圆外切.
故选：C.
4．A
由已知得圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可求得答案.
【详解】
解：的圆心，半径，
因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为，
即，整理得，解得或，
故选：A.
5．A
根据题意，结合直线被圆所截的弦长，求出和的关系，再根据均值不等式，即可求解.
【详解】
由题意得圆的标准方程为，且圆心为，半径为.
∵直线被圆截得的弦长为4，∴圆心在直线上，∴，即.
又，，∴，
当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值是9.
故选：A.
6．C
利用圆关于直线对称可求的值，然后利用圆心距与两个圆的半径间的关系可求结果.
【详解】
由题意可得，圆的圆心为，半径为5
因为圆关于直线对称，
所以，得，
所以圆的圆心为，半径为2，
则两圆圆心距，因为，所以圆与圆的位置关系是相交，
故选：C.
7．A
求出圆心及半径，分直线斜率不存在和存在两种情况，当斜率存在时，可设切线方程为，由直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，解得即可得出答案.
【详解】
解：化为标准方程，即得圆心和半径，
当切线斜率不存在时，切线方程为，此时，圆心到切线的距离为，不符题意，故舍去；
当斜率存在时，设过坐标原点的切线方程为，即，
∴线心距，平方去分母得，解得或，∴所求的切线方程为或，
故选：A.
8．D
本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.
【详解】
将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，
故选：D.
9．D
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】
圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
10．A
【详解】
分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
11．A
连接OC，设半径为r，则，在直角三角形中应用勾股定理即可求得r，进而求得扇形的面积，减去三角形即可得阴影部分的面积．
【详解】
连接OC，设半径为r，寸，则
在直角三角形中，
即，解得
则 ，所以
则
所以扇形的面积
三角形的面积
所以阴影部分面积为
所以选A
本题考查了直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用，属于基础题．
12．C
求出圆的标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得相切时的斜率.
【详解】
圆C的标准方程为.
依题意可得圆心到的距离，
解得，又，所以，所以的方程为.
故选：C.
13．C
连接，求出可求四边形面积的最小值.
【详解】
连接，则，
又，故
而四边形面积为，
当且仅当时等号成立.
故选：C.
14．B
设出直线方程为，利用垂径定理求出m，即可求出直线.
【详解】
圆的标准方程为，设直线的方程为，可知圆心到直线的距离为，有，有或，直线的方程为或．
故选：B
15．B
由于直线过定点，所以由圆的性质可知当直线与弦垂直时，弦长最短，从而利用弦、弦心距和半径的关系可求得答案
【详解】
直线过定点，圆心，当直线与弦垂直时，弦长最短，，所以最短弦长为，
故选：B．
16．
先求解两个圆心的距离，结合圆的半径，可求的取值范围.
【详解】
由题意圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为1；
易知且两圆外离，所以，
即.
故答案为：.
本题主要考查圆与圆的关系，求出圆心距及半径是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
17．
设切线长最小时直线上对应的点为，则，利用点到直线的距离公式计算的值并构建关于的方程，解方程后可得的值，从而得到所求的斜率.
【详解】
设切线长最小时直线上对应的点为，则
又，因为切线长的最小值为
故，解得，故直线的斜率为.
故答案为：.
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，此类问题一般转化为圆心到几何对象的距离问题，属于中档题.
18．##
线段AB的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，求出两圆圆心，从而可得答案.
【详解】
解：圆的圆心为，
圆的圆心为，
则两圆圆心所在直线方程为：，即，
因为两圆圆心所在直线垂直平分线段AB，
所以线段AB的垂直平分线的方程是.
故答案为：.
19．（1） ； （2）或； （3） .
（1）由直线l与圆O相切，得圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，由此能求出k．
（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx﹣2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2﹣4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围．
（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为，C，D在圆O：x2+y2=2上，求出直线CD：（x﹣）t﹣2y﹣2=0，联立方程组能求出直线CD过定点（）．
【详解】
(1)由圆心O到直线l的距离，可得k=±1．
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
将直线l:y=kx-2代入x2+y2=2,整理,得(1+k2)·x2-4kx+2=0,
所以,Δ=(-4k)2-8(1+k2)>0,即k2>1当∠AOB为锐角时,
则
,可得k2<>
又因为k2>1,故k的取值范围为或．
(3)设切点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
动点P的坐标为(x0,y0),则过切点C的切线方程为:x·x1+y·y1=2,所以x0·x1+y0·y1=2
同理,过切点D的切线方程为:x0·x2+y0·y2=2,
所以过C,D的直线方程为:x0·x+y0·y=2
又,将其代入上式并化简整理,
得,而x0∈R,
故且-2y-2=0,可得,y=-1,即直线CD过定点．
本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
20．外切
将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标与半径，计算出圆心距，即可判断；
【详解】
解：圆，圆心坐标为，半径；
圆，即圆，圆心坐标为，半径
所以，
所以两圆相外切；
21．（1）或；（2）或.
（1）当直线的斜率不存在，易知与圆相切，当直线的斜率存在时，设直线为，由与圆相切圆心到直线的距离等于半径，列方程求k值，即可写出的方程；
（2）由题设，直线斜率一定存在，设直线为，利用点线距离公式求圆心到直线的距离，根据、圆的半径r与弦长的几何关系求k值，写出直线方程即可.
【详解】
（1）由题意知，圆的圆心为，半径为；
①当直线的斜率不存在时，即的方程为时，此时，直线与圆相切，符合题意； .
②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线为，化为一般式：，
∴若直线与圆相切，则，整理得，解得，
，即，
综上：当直线与圆相切，的方程为：或
（2）由题意知，直线的斜率一定存在，由（1）可设直线为，
设圆心到直线的距离为，则，
由垂径定理知：，即，整理得，
或，
的方程为或.
22．(1)
(2)
（1）利用中点坐标公式将点用的中点坐标和点坐标表示出来，再利用代入法即可求出轨迹方程；
（2）联立直线与曲线E，利用韦达定理结合即可求出直线的方程，进而求出.
(1)
解：设的中点为，
的中点为，且
，即
点在圆上
即
化简得：
所以的轨迹方程为：
(2)
解：设，
由直线过点且与圆有两个交点，所以直线的斜率存在且不为
设直线的方程为：
联立直线与圆的方程：
得：
解得：
，
由得：
即
化简得：
将韦达定理代入得：
解得：，符合题意
此时直线的方程为：
由圆的方程知，圆的圆心坐标为，半径为
在直线的方程中，当时，，即直线过圆心
所以
方法点睛：求轨迹方程的常见方法
①直接法：将动点满足的（与斜率、距离、数量积等有关的，或由平面几何知识推出的）等量关系，直接坐标化，即可得到动点轨迹方程．
②定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等），可根据定义直接求，又称几何法，利用平面几何知识转化是关键．
③代入法：若动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知(或容易先确定的)曲线上，则可先用，的代数式表示，，再将，代入已知曲线即可得到要求的轨迹方程．又称相关点法或转移法．
答案第1页，共2页
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