3.1椭圆 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 3.1椭圆 同步练习
一、单选题
1．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则
A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b
4．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，是左焦点，则（ ）
A．21 B．28 C．35 D．42
5．椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点若为钝角，点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．若直线与椭圆相切，则斜率的值是（ ）
A． B． C．± D．±
9．若是椭圆的一个焦点，是该椭圆上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1
11．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是该椭圆上不同于，的一点，若直线的斜率的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
15．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．若从圆上任意一点向轴作垂线段，则线段中点的轨迹方程为_____________．
17．已知椭圆C：的左、右顶点分别为, ，且以线段,为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为_____.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，，，则______．
三、解答题
19．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
20．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆G的方程；
（2）过点斜率为的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得（点N与点M不重合），若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
21．已知椭圆C对称中心在原点，对称轴为坐标轴，且，两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M、N分别为椭圆与x轴负半轴、y轴负半轴的交点，P为椭圆上在第一象限内一点，直线PM与y轴交于点S，直线PN与x轴交于点T，求证：四边形MSTN的面积为定值．
22．已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点且线段的中点为，的平分线交轴于点，求证轴.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
利用离心率与、的关系即可获解
【详解】
，得，得，即．
故选：B
2．C
直接利用椭圆的方程和椭圆的离心率的应用求出结果.
【详解】
解：直角坐标系中，椭圆，
所以，
当时，，
故，整理得，
故选：C.
本题考查的知识要点：椭圆的标准方程的应用，椭圆的离心率的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.
3．B
由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.
【详解】
椭圆的离心率,化简得,
故选B.
本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识 基本运算能力的考查.
4．C
设椭圆的右焦点为，则由椭圆的定义，得，利用对称性，，其它也配对计算可得结论．
【详解】
设椭圆的右焦点为，则由椭圆的定义，得
，由椭圆的对称性，知，．
同理，可知，．
又，．
故选：C．
5．B
根据椭圆方程，得到，，设，根据为钝角，推出，再由集合椭圆的方程，即可求出结果.
【详解】
因为，为椭圆的两焦点，则，，
设，则，，
因为为钝角，
所以，
又∵，∴，
∴.
故选：B.
本题主要考查求椭圆上点的横坐标的范围，涉及向量数量积的坐标表示，属于常考题型.
6．A
由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解.
【详解】
依题意可得，解得，
故的方程是.
故选：A.
本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题.
7．A
利用椭圆定义及焦点三角形的性质、椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程即可.
【详解】
由椭圆的定义可得，
∴①，
当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，
∴②．又③，
由①②③，得，，，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
8．C
根据题意，联立直线与椭圆方程，整理得，再根据，从而求出斜率的值.
【详解】
解：因为直线与椭圆相切，
所以已知直线与椭圆有且只有一个交点，
所以联立方程消去并整理，得，
所以，解得：.
故选：C
9．B
根据椭圆的标准方程可得 ，不妨设，利用椭圆的参数方程得出点，利用三角函数的性质即可求解.
【详解】
由，可得，，
所以，
不妨设，，
所以
，
因为，
所以，
故选：B
10．A
由椭圆定义求得，已知焦点坐标得，再求出可得椭圆方程．
【详解】
∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12，
∴椭圆的方程为＝1．
故选：A．
11．C
由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.
【详解】
由题知直线AB的方程为，即，
∴到直线AB的距离，
又三角形的内切圆的面积为，
则半径为1，
由等面积可得，
.
故选：C.
12．D
根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】
是焦点为、的椭圆上一点，
的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，
，
，，
由题意知是的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，
当点与轴重合时，
与短轴端点取最近距离，
故选：D．
13．B
设点，，，求出，由把用表示，从而上的范围得的取值范围．
【详解】
设点，，，则，∴.又∵，∴，
故选：B.
结论点睛：本题考查直线与椭圆位置关系。在椭圆中，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上不同于的点，则（斜率存在时）．
14．A
根据向量运算和椭圆的定义可得关于的方程，由椭圆的离心率的定义可得选项.
【详解】
设，
因为，
所以，所以，
因为，所以，所以，
设中点为H，则，，，
代入数据并整理得：，
等式两边同除以得：，解得：或(舍).
故选：A.
方法点睛：求椭圆离心率或其范围的方法
（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．
（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．
15．C
由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.
【详解】
由题设，则线段的中点为，
由三角形重心的性质知，即，解得：
即代入直线，得①.
又B为线段的中点，则，
又为椭圆上两点，，
以上两式相减得，
所以，化简得②
由①②及，解得：，即离心率.
故选：C.
方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
16．．
先设点的坐标为，点的坐标为，根据题意，得到，，再由满足的关系式，即可的出结果.
【详解】
设点的坐标为，点的坐标为，
则由题意可得，，．
因为在圆上，所以．
将，代入方程，得．
所以点的轨迹方程是．
本题主要考查相关点法求轨迹方程，属于常考题型.
17．
根据直线与圆相切知，圆心到直线的距离等于半径，可得关于 的方程，再利用离心率的计算公式可得.
【详解】
椭圆C：的左、右顶点分别为,,以线段,为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，根据直线与圆相切可得，圆心到直线的距离等于半径，
则有 ，即 ，可得 ，
椭圆的离心率为 .
故答案为：
18．
作出图形，利用椭圆的定义可求得，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的值.
【详解】
根据椭圆的定义：，
在焦点中，由余弦定理可得：，
，则，所以，.
故答案为：.
本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.
19．（1）；（2）证明见解析，（0，2）.
（1）利用焦距和离心率解参数，即得方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到两根和与差的关系，再利用向量数量积计算求得参数m，即证得结论，得到定点.
【详解】
（1）由题意知，，∴
椭圆C的方程为：；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，
所以，，
所以，＝，
因为，
所以，，
所以，
整理得：3m2﹣m﹣10＝0，
解得：m＝2或（舍去），故直线为：.
所以直线l过定点（0，2）.
圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，这类题运算量较大.
20．（1）；（2），证明详见解析.
（1）由条件列式，利用待定系数法求解椭圆方程；（2）首先直线方程与椭圆方程联立，得根与系数的关系，将条件转化为，代入坐标，利用根与系数的关系化简求定点.
【详解】
（1）由条件可知 ，解得：，，
所以椭圆的方程是；
（2）设直线，，，，
联立 ，得，
，，
，，
即
，
即，
，得，
即存在定点.
思路点睛：定点问题解决步骤：
（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；
（2）韦达定理列出两根和及两根积；
（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；
（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.
21．(1)
(2)证明见解析
（1）设椭圆方程为，利用待定系数法求得的值，即可得出答案；
（2）设，，，易得，分别求出直线PM和直线PN的方程，从而可求出的坐标，再根据即可得出答案.
(1)
解：依题意设椭圆方程为，
将，代入得，
解得得，，
∴所求椭圆方程为；
(2)
证明：设，，，，
P点坐标满足，即，
直线PM：，可得，
直线PN：，可得，
.
22．（1）；（2）证明见解析.
（1）利用焦距为，以及点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程，结合 ，即可得到椭圆方程。
（2）已知中点，利用点差法得出直线AB斜率，即可得到方程，要证轴，结合对称性，证明 即可，
【详解】
（1）依题意有，，
解得，，故椭圆方程为
（2）设，，则，.
两式相减得，又中点为，
，代入上式有，即.
所以的直线方程
消去得
.
，.
.
轴.
解法二：同上，
，，
，，
即，，，.
轴.
答案第1页，共2页
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