第二章直线和圆的方程 单元测试（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章　直线和圆的方程
一、单选题
1．若直线l的斜率k=2，又过一点(3，2)，则直线l经过点（ ）
A．(0，4) B．(4，0)
C．(0，4) D．(2，1)
2．已知直线：，：，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3
C． D．
4．已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ）
A．1，3 B．， C．-2，0 D．，
5．若直线经过，，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．过圆内一点作一弦交圆于、两点，过点、分别作圆的切线、，两切线交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
10．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，两点，若直线与线段恒有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
二、填空题
13．若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.
14．圆被直线分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1：3，则________.
15．已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是______________ .
16．已知实数x，y满足方程，当]时，的取值范围为_______.
三、解答题
17．已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）求圆C的方程.
（2）判断点P(2，4)与圆C的关系
18．已知点在圆上运动.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
19．已知的两条高所在的直线方程为，若点A坐标为
（1）求垂心H的坐标；
（2）若关于直线的对称点为N，求点N到直线BC的距离．
20．已知圆M经过两点，B（2，2）且圆心M在直线上．
(1)求圆M的方程；
(2)设E，F是圆M上异于原点O的两点，直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，且，求证：直线EF经过一定点，并求出该定点的坐标.
21．已知点，，圆，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求的方程；
（2）若直线与圆交于不同的两点，，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
利用斜率公式逐个验证即可
【详解】
对于A，，不符合题意；
对于B，，所以B正确；
对于C，，不符合题意；
对于D，，不符合题意，
故选：B
2．A
根据直线与直线的垂直，列方程，求出，再判断充分性和必要性即可.
【详解】
解：若，则，解得或，
即或，
所以“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A.
本题考查直线一般式中直线与直线垂直的系数关系，考查充分性和必要性的判断，是基础题.
3．D
根据圆的标准方程，直接进行判断即可.
【详解】
根据圆的标准方程可得，
的圆心坐标为，半径为，
故选：D.
4．B
点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解.
【详解】
，若点与关于直线对称，
则直线与直线垂直，直线的斜率是，
所以，得.
线段的中点在直线上，则，得
故选:B
5．C
根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率，分析可得斜率的范围，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得，又由倾斜角的范围，分析可得答案．
【详解】
根据题意，直线经过，，
则直线的斜率，
又由，则，则有，
又由，则；
故选：．
6．B
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】
由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
7．C
设点坐标为，写出以为直径的圆的方程，作差求得公共弦所在直线的方程，将点代入方程，由此得出结论．
【详解】
解：设点坐标为，
根据圆的直径式方程知，以为直径的圆的方程为，
两圆方程作差可得公共弦的方程为，
而在直线上，，
故点的轨迹方程为，
故选：C．
8．C
根据圆上总存在两点到原点的距离为1，转化为圆和圆相交，结合圆与圆的位置关系，即可求解.
【详解】
由题意，圆上总存在两点到原点的距离为1，
即为圆和圆相交，
又由两圆圆心距，
则，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中转化为两个圆相交，结合圆与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.
9．B
当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】
圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为.
故选：B.
本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
10．B
由题意分析得知：直线经过圆心，求出b；由直线与直线垂直，求出k；
【详解】
∵直线与圆的两个交点关于直线对称，
∴直线经过圆心（-2,0）且直线与直线垂直，
∴解得：
故选：B
(1)坐标法是解析几何的基本方法；
(2)解析几何归根结底还是几何，寻找合适的几何关系可以简化运算．
11．B
直线过定点，再求它与两点的斜率，即可取得k的取值范围．
【详解】
解：直线过定点，，
，
由图象可知：，
所以k的取值范围是：．
故选：B．
12．C
首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积.
【详解】
直线的方程为，即.
由解得.
设，直线的方程分别为 ，即
，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以
，
，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得
，解得（），所以.
所以到直线的距离为，而，所以.
故选：C
本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
13．
由斜率相等得的关系．
【详解】
解析：由题意得，
ab+2(a+b)=0，．
故答案为：．
14．1或
由题意可知较短弧所对圆心角是，此时圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式求解即可
【详解】
由题意知，圆的标准方程为，
较短弧所对圆心角是，所以圆心到直线的距离为，
即，解得或.
故答案为：1或
15．
根据题意，画出图像，所求直线的斜率满足,用直线的斜率公式分别求出的值，即可得出直线的斜率的取值范围．
【详解】
如下图，直线的斜率为，直线的斜率为.
由图可知直线的斜率的取值范围是.

本题主要考查过定点的直线斜率范围问题．
16．
由的几何意义是过两点的直线的斜率，结合图象可得，进而可得结果.
【详解】
的几何意义是过两点的直线的斜率，如图所示：
由题知点M在直线上，且，当时，；当时，.设，.又，结合图象可得，
的取值范围是
.
故答案为：
本题考查了斜率的几何意义，考查了数形结合思想和运算求解能力，属于基础题目.
17．（1）；（2）P在圆C内部.
(1)由给定条件设出圆心、半径，进而写出圆的标准方程，再列出关于a，r的方程组即可得解
(2)求出点P与点C的距离，再将它与r比较即可得解.
【详解】
（1）由题意设圆心为，半径为，则圆的标准方程为，
由题意得，解得，
所以圆的标准方程为；
（2）由(1)知
P(2，4)在圆C内.
18．（1）； （2）.
（1）设，转化为直线，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解；
（2）设，转化为，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解.
【详解】
（1）由题意，点在圆上运动，
设，整理得，则表示点与点连线的斜率，
当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，
又由，解得，所以
所以的最大值为.
（2）设，整理得，
则表示直线在轴上的截距，
当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，
由，解得，所以
所以的最小值为.
19．（1）；（2）．
根据三角形垂心的意义，结合条件已知的两条高所在直线的方程分别为，，只须求得这两条高线的交点即可．
求出关于直线l ：的对称点为，求出BC：，根据点到线的距离公式计算即可．
【详解】
设，
由题意， ，可得，故垂心 ；
由（1）知：， 由“三条高线交于一点”得：，
，又 ，可设，代入，解得： ，
，
，可得，即，
∴，整理后得： ，
设的对称点，则有，且MN的中点在l上，
∴，整理得，解得，
∴N到直线BC的距离为 ．
20．(1)
(2)证明见解析，定点(-4，0)
(1)设出圆的方程，根据给定条件列出方程组，求解即可得圆的方程.
(2)设直线EF的方程为，再与圆的方程联立消去y，利用韦达定理及求得k与m的关系即可推理作答.
(1)
设圆M的方程为：，
由题意得，，解得，
所以圆M的方程：.
(2)
依题意，直线EF的斜率存在，否则直线OE，OF关于x轴对称，k1，k2互为相反数，与已知矛盾，设直线EF：，
由得：．
，即，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则，，
于是得
，
则4k=m，直线EF的方程为：，于是得直线EF过定点(-4，0)，
所以直线EF经过一定点(-4，0).
21．（1）或；（2）证明见解析.
（1）若直线的斜率不存在，则的方程为，此时直线与圆相切，故符合条件；若直线的斜率存在，设斜率为，其方程为，由直线与圆相切，，解得，进而可得直线方程；
（2）由（1）可知，与圆有两个交点时，斜率存在，此时设的方程为，设，，联立直线与圆的方程，根据判别式求得斜率的取值范围，又由韦达定理可知，，所以.
【详解】
（1）若直线的斜率不存在，则的方程为，
此时直线与圆相切，故符合条件.
若直线的斜率存在，设斜率为，其方程为，
即.
由直线与圆相切，圆心到的距离为，
即，解得.
所以直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或.
（2）由（1）可知，与圆有两个交点时，斜率存在，此时设的方程为，
联立，
消去可得，
则.
解得.
设，，
则，，(*)
所以
，
将(*)代入上式整理得，
故为定值.
过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.
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