第一章空间向量与立体几何 单元练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章　空间向量与立体几何
一、单选题
1．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B． C．或 D．l与斜交
4．的顶点分别为、、，则边上的高的长为（ ）
A． B． C． D．
5．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定
6．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．①②
7．已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．或
8．已知 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
9．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，当平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为时，经过三点的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D． 或
11．已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．在平行六面体中，若，则__________.
14．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____．
15．如图，在平行六面体中，，为的中点，则___________.
16．在正四面体中，是上的点，且，是的中点，若，则的值为__________．
三、解答题
17．如图，正方形边长为1，平面，平面，且（，在平面同侧），为线段上的动点．
（1）求证：；
（2）求的最小值，并求取得最小值时二面角的余弦值．
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，，点在平面内的射影恰为的重心.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．在正六棱柱中，.
（1）求到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值.
21．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
根据题意得到，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】
因为，所以，
根据空间向量的运算法则，可得
，
又因为，，，所以.
故选：B.
2．B
设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可.
【详解】
如图，设点为的中点，取的中点，连接，，
则，又平面，平面，∴平面，
易知，故平面与平面是同一个平面，
∴平面，此时，
故选：B
3．C
由可得，所以或，即可得正确选项.
【详解】
直线l的方向向量为，平面的法向量为，
因为，
所以，
所以或，
故选：C.
4．C
根据向量垂直的坐标表示运算即可求解.
【详解】
∵、、，
则，，
∵点在直线上，
∴设，
则，
又∵，
则，
解得.
∴，
则，
故选：C.
5．C
根据两个平面的法向量，结合向量的数量积的运算，进而得到答案.
【详解】
由题意，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
可得，
故两个平面的法向量垂直，故平面和平面相互垂直.
故选：C.
6．B
求出判断①不正确；根据 判断②正确；由，判断③正确；假设存在使得，由无解，判断④不正确.
【详解】
由，，，，2，，，2，，知：
在①中，，故①不正确；
在②中，，，，故②正确；
在③中，， ，又因为，，知是平面的法向量，故③正确；
在④中，，3，，假设存在使得，则，无解，故④不正确；
综上可得：②③正确．
故选：B．
本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
7．D
判断与的位置关系，进而可得出直线与的位置关系.
【详解】
，，或.
故选：D.
本题考查利用空间向量法判断线面位置关系，属于基础题.
8．C
逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.
【详解】
对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；
对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；
对于D，因为，所以 ，，共面，不能作为基底，故D不正确，
对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，
故选：C.
9．B
以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面与平面所成二面角的余弦值为求出的值，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案
【详解】
解：如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，
设平面的一个法向量为，则
，取，则，
平面的一个法向量为，
由题意得，解得或（舍去），
延长，设，连接，交于，延长，交的延长线于，连接，交于，则五边形为截面图形，
由题意求得，，，，，，截面五边形如图所示，
则等腰三角形底边上的高为，等腰梯形的高为，
则截面面积为
故选：B
关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，由平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为求出，属于中档题
10．C
设点坐标，由可解出坐标，再用空间向量模长公式即可.
【详解】
设，则，，
因为，所以，，，
所以，又，
解得或，所以或，
故选:C
11．D
根据坐标形式下空间向量的加法和数乘运算求解出的坐标表示.
【详解】
因为，所以，
故选：D.
本题考查坐标形式下空间向量的加法和数乘运算，考查学生对坐标形式下空间向量的加法和数乘的公式运用，难度较易.
12．B
根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
由，得：，则“”是“”的必要条件，
而不一定有，也可能，则“”不是“”的充分条件.
故选：B.
13．
把用、和来表示出来，与题中给的式子比较系数就可以算出的值．
【详解】
如下图所示，有.=
又因为,所以解得
所以=.
本题是空间几何与空间向量结合的题目，要注意把其中关系找出来．
14．4
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系, 设，求出平面的一个法向量，则，则可以得到答案.
【详解】
解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，故，，，
设平面的一个法向量为，则，可取，
故，
又直线与平面所成角的正弦值为，
，解得．
故答案为：4．
本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.
15．6
根据，结合向量间的夹角已知，模长已知，两边同时平方，从而求得.
【详解】
设因为
所以
解得
故答案为：6
16．
根据向量的线性运算再结合空间向量的基本定理即可得到答案.
【详解】
如图所示：
.
由空间向量基本定理得：，，.
故.
故答案为：
本题主要考查空间向量的线性运算，同时考查空间向量的基本定理，属于简单题.
17．（1）证明见解析；（2）最小值，二面角的余弦值为．
法一：（1）将几何体补形为正方体，分别证明，，可得平面，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，将转化为向量的模长问题，即可求解的最小值，然后利用向量的方法求二面角即可.
法二：（1）直接建立空间直角坐标系，用证明；（2）将转化为向量的模长问题，即可求解的最小值，然后利用向量的方法求二面角即可.
【详解】
法一:（1）分别作平面，平面，取，顺次连接，，，,如图，
易得几何体为正方体，连接，∴，
∵平面，平面，
∴，又∵，
平面，平面，
∴平面，又∵平面，∴，同理可证，
又∵，平面，平面，
∴平面，∵平面，∴．
（2）∵平面，，故以为原点，，，的正方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，，，
∵在上，∴设（），则有
，
，
，
当且仅当时，取得最小值，
此时在平面中，，，
设平面的法向量为，则有即
设，得，，，
此时在平面中，，，
设平面的法向量为，则有
即
设，得，，，
设二面角大小为，
则，
由题意可知，为锐角，所以．
法二:（1）∵平面，，故以为原点，，，的正方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，，，
∵在上，∴设（），则有
，
，
∵，
∴．
（2）由（1）得：
，
，
当且仅当时，取得最小值，
此时在平面中，，，
设平面的法向量为，则有即
设，得，，，
此时在平面中，，，
设平面的法向量为，则有
即
设，得，，，
设二面角大小为，
则，
由题意可知，为锐角，所以．
方法点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理、利用向量的方法解决垂直问题及二面角问题，属于中档题. 利用向量法证明垂直问题的3种方法：
(1)证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0.
(2)证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行．
(3)证明面面垂直：
①其中一个平面与另一个平面的法向量平行；
②两个平面的法向量垂直．
18．（1）证明见解析；（2）.
（1）设交于点，连结.根据中位线定理得，再由线面平行的判定定理可得证；
（2）建立空间直角坐标系，运用二面角的向量求解方法可求得答案.
【详解】
解：（1）设交于点，连结.因为底面是矩形，所以为中点.
又因为为中点，所以.因为平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连结，.因为底面为矩形，所以.
因为，为中点，所以，，所以.
又因为平面平面ABCD，平面平面平面.所以平面，
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，
所以.令，则，，所以.
平面的法向量为，则.
如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）过作于， 利用面面垂直的性质定理可知平面，进而可知，又由已知可知，再利用线面垂直的判定定理证得平面，进而证得；
（2）连结并延长交于，连结，以为原点，分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即，再利用向量夹角公式即可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）过作于，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，.
又平面，平面，，
又，平面，
平面，.
（2）连结并延长交于，连结，以为原点，
分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，设，
平面，平面，，同理，
又，平面，，
又是的重心，是的中点，，由（1）知，，
， ，，
，解得，，
设，则，故，
，，，，
，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
方法点睛：本题考查线线垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角的大小为(),
20．（1）；（2）.
（1）连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到平面的距离，即为所求；
（2）计算出平面、平面的法向量，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）连接，因为六边形为正六边形，则，
因为，则，故，
因为底面，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则、、、、、、，
在正六棱柱中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以，平面，
所以，到平面的距离等于点到平面的距离，
设平面的法向量为，，，
由，取，则，
，所以，直线到平面的距离为；
（2）设平面的法向量为，，，
由，取，则，
，
由图可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.
思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.
21．（1）（2）
（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；
（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
【详解】
（1）连
以为轴建立空间直角坐标系，则
从而直线与所成角的余弦值为
（2）设平面一个法向量为
令
设平面一个法向量为
令
因此
本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页