第五章 第5节向心加速度

第5节　向心加速度
1．圆周运动的速度方向不断改变，一定是________运动，必定有________．任何做匀速
圆周运动的物体的加速度的方向都指向________，这个加速度叫向心加速度．
2．向心加速度是描述物体____________改变________的物理量，其计算公式为an＝
________＝________.
3．关于匀速圆周运动及向心加速度，下列说法中正确的是(　　)
A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀速曲线运动
C．向心加速度描述线速度大小变化的快慢
D．匀速圆周运动是加速度方向不断改变的变速运动
4．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法中正确的是(　　)
A．与线速度方向始终相同
B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变
5．关于做匀速圆周运动的物体的向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A．向心加速度的大小和方向都不变
B．向心加速度的大小和方向都不断变化
C．向心加速度的大小不变，方向不断变化
D．向心加速度的大小不断变化，方向不变
6．关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是(　　)
A．由a＝可知，a与r成反比
B．由a＝ω2r可知，a与r成正比
C．当v一定时，a与r成反比
D．由ω＝2πn可知，角速度ω与转速n成正比
7．高速列车已经成为世界上重要的交通工具之一，某高速列车时速可达360 km/h.当该
列车以恒定的速率在半径为2 000 m的水平面上做匀速圆周运动时，则(　　)
A．乘客做圆周运动的加速度为5 m/s2
B．乘客做圆周运动的加速度为0.5 m/s2
C．列车进入弯道时做匀速运动
D．乘客随列车运动时的速度不变
【概念规律练】
知识点一　对向心加速度的理解
1．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是(　　)
A．它描述的是线速度大小变化的快慢
B．它描述的是线速度方向变化的快慢
C．它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D．它描述的是角速度变化的快慢
2．下列关于向心加速度的说法中，正确的是(　　)
A．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B．向心加速度的方向始终保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
知识点二　对向心加速度公式的理解
3．关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法中正确的是(　　)
A．由于a＝，所以线速度大的物体向心加速度大
B．由于a＝，所以旋转半径大的物体向心加速度小
C．由于a＝rω2，所以角速度大的物体向心加速度大
D．以上结论都不正确
4.
图1
如图1所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P
的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图线可知(　　)
A．质点P的线速度大小不变
B．质点P的角速度大小不变
C．质点Q的角速度随半径变化
D．质点Q的线速度大小不变
知识点三　对速度变化量的理解
5．某物体以10 m/s的速率沿周长为40 m的圆做匀速圆周运动，求：
(1)物体运动2 s内的位移和速度变化大小．
(2)物体运动4 s内的位移和速度变化大小．
(3)物体的向心加速度大小．
【方法技巧练】
一、传动装置中的向心加速度
6.
图2
如图2所示，O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，O1轮的半径为R，且R>r，M点
为O轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点．当皮带轮转动时(设转动过程中不打
滑)，则(　　)
A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度
B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度
C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度
D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度
7.
图3
如图3所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径
为r2，r3为固定在从动轮上的小轮的半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分别是3个
轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)(　　)
A．1∶2∶3 B．2∶4∶3
C．8∶4∶3 D．3∶6∶2
二、向心加速度与其他运动规律的结论
8．如图4所示，
图4
定滑轮的半径r＝2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重
物以加速度a＝2 m/s2匀加速运动，在重物由静止下落1 m的瞬间，滑轮边缘上的点的角
速度ω＝______ rad/s，向心加速度an＝______ m/s2.
9.
图5
一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4 rad/s，盘面上距盘中心0.01 m的位置有一个
质量为0.1 kg的小物体能够随盘一起转动，如图5所示．求物体转动的向心加速度的大
小和方向．
1．下列说法中正确的是(　　)
A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速
度
C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动
D．匀速圆周运动的加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，加速度的方向发生了
变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动
2．物体做半径为R的匀速圆周运动，它的向心加速度、角速度、线速度和周期分别为a、
ω、v和T.下列关系式不正确的是(　　)
A．ω＝ B．v＝
C．a＝ωv D．T＝2π
3．关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法中正确的是(　　)
A．在赤道上向心加速度最大
B．在两极向心加速度最大
C．在地球上各处，向心加速度一样大
D．随着纬度的升高，向心加速度的值逐渐减小
4．一物体以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2 s，则物体在运动过程中的
任一时刻，速度变化率的大小为(　　)
A．2 m/s2 B．4 m/s2 C．0 D．4π m/s2
5．下列各种运动中，不属于匀变速运动的是(　　)
A．斜抛运动 B．匀速圆周运动
C．平抛运动 D．竖直上抛运动
6.
图6
如图6所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，
轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的
一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比(　　)
A．线速度之比为1∶4 　 B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1 　 D．向心加速度之比为1∶8
7．如图7所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点．左侧是一套
轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r.b点在小轮上，到小轮中心的距离为r.已知c
点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中皮带不打滑，则以下判断正确
的是(　　)
图7
A．a点与b点的向心加速度大小相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．a点与d点的向心加速度大小相等
8．一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，那么(　　)
A．小球运动的角速度ω＝
B．小球在时间t内通过的路程为s＝t
C．小球做匀速圆周运动的周期T＝
D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
答　案
9.如图8所示
图8
A、B、C分别是地球表面上北纬30°、南纬60°和赤道上的点．若已知地球半径为R，自
转的角速度为ω0，求：(1)A、B两点的线速度大小．
(2)A、B、C三点的向心加速度大小之比．
10.如图9所示，
图9
甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径
为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物
体匀速圆周运动的向心加速度．
11．飞行员、宇航员
图10
的选拔是非常严格的，他们必须通过严格的训练才能适应飞行要求．飞行员从俯冲状态
往上拉时，会发生黑视．第一是因血压降低，导致视网膜缺血；第二是因为脑缺血．为
了使飞行员适应这种情况，要在如图10所示的仪器中对飞行员进行训练．飞行员坐在一
个在竖直平面内做半径为R＝20 m的匀速圆周运动的舱内，要使飞行员受到的加速度an
＝6g，则转速需为多少？(g取10 m/s2)
第5节　向心加速度
课前预习练
1．变速　加速度　圆心
2．速度方向　快慢　　ω2r
3．D　[匀速圆周运动的速度方向时刻改变，是一种变速曲线运动，A、B错；匀速圆周运动的加速度大小不变，方向时刻在改变，且加速度的大小描述了做匀速圆周运动的物体线速度方向变化的快慢，故C错，D对．]
4．C　5.C　6.CD
7．A　[乘客随列车以360 km/h的速率沿半径为2 000 m的圆周运动，向心加速度a＝＝ m/s2＝5 m/s2，A对，B错；乘客随列车运动时的速度大小不变，方向时刻变化，C、D错．]
课堂探究练
1．B　[向心加速度描述了线速度方向变化的快慢，故选B.]
点评　由于向心加速度始终与速度垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，故向心加速度的大小表示线速度方向改变的快慢．
2．A　[向心加速度方向始终指向圆心，与速度方向垂直，方向时刻在变化，故选项A正确，B错误；在匀速圆周运动中向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故选项C、D错误．]
3．D　[研究三个物理量之间的关系时，要注意在一个量一定时，研究另两个量的关系，比如a＝只有在r一定的前提下，才能说速度v越大，加速度a越大．]
4．A　[由图象知，质点P的向心加速度随半径r的变化曲线是双曲线，因此可以判定质点P的向心加速度ap与半径r的积是一个常数k，即apr＝k，ap＝，与向心加速度的计算公式ap＝对照可得v2＝k，即质点P的线速度v＝，大小不变，A选项正确；同理，知道质点Q的向心加速度aQ＝k′r与a＝ω2r对照可知ω2＝k′，ω＝(常数)，质点Q的角速度保持不变．因此选项B、C、D皆不正确．]
点评　正确理解图象所表达的物理意义是解题的关键，搞清向心加速度公式an＝和an＝ω2r的适用条件．
5．(1)12.7 m　20 m/s　(2)0　0　(3)15.7 m/s2
解析　(1)经2 s的时间，物体通过的路程s＝10×2 m＝20 m，即物体通过了半个圆周，此时物体的位置与原出发位置关于圆心对称，故其位移大小x＝2r＝ m＝12.7 m，物体的速度变化大小Δv＝2v＝20 m/s.
(2)经4 s的时间，物体又回到出发位置，位移为零，速度变化为零．
(3)物体的向心加速度大小
a＝＝ m/s2＝15.7 m/s2
点评　①速度变化量是矢量，它有大小，也有方向．当物体沿直线运动且速度增大时，Δv的方向与初速度方向相同；当物体沿直线运动且速度减小时，Δv的方向与初速度方向相反，如图所示：
②如果物体做曲线运动，我们把初速度v1移到末速度v2上，使v1、v2的箭尾重合，则从v1的箭头指向v2箭头的有向线段就表示Δv，如图所示．
6．A　[因为两轮的转动是通过皮带传动的，而且皮带在传动过程中不打滑，故两轮边缘各点的线速度大小一定相等．在大轮边缘上任取一点Q，因为R>r，所以由an＝可知，aQaN，因此A选项正确．]
方法总结　涉及传动装置问题时，先找出哪些点线速度相等，哪些点角速度相等，然后相应地应用an＝、an＝ω2r进行分析．
7．C　[因皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，根据向心加速度公式：an＝，
可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1.
B点、C点是固定在一起的轮上的两点，所以它们的角速度相同，根据向心加速度公式：an＝rω2，可得
aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5.
所以aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C.]
方法总结　(1)向心加速度的公式an＝rω2＝中，都涉及三个物理量的变化关系，因此必须在某一物理量不变时，才可以判断另外两个物理量之间的关系．
(2)对于皮带传动、链条传动等装置，要先确定轮上各点v、ω的关系，再进一步确定向心加速度a的关系．
8．100　200
解析　由题意知，滑轮边缘上的点的线速度与物体的速度相等，由推论公式2ax＝v2，得v＝2 m/s.又因v＝rω，所以ω＝100 rad/s，an＝vω＝200 m/s2.
方法总结　抓住同轮边缘各点同一时刻线速度的大小相等，且与物体下降的速度大小相等，再由匀变速运动的规律分析相关问题．
9．0.16 m/s2，方向指向圆心
解析　由an＝rω2得an＝0.01×42 m/s2＝0.16 m/s2.
课后巩固练
1．BD　[做匀速圆周运动的物体，速度的大小不变，但方向时刻改变，所以必有加速度，且加速度大小不变，方向时刻指向圆心，加速度不恒定，因此匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动，故A、C错误，B、D正确．]
2．D　[由a＝ω2R，v＝Rω，可得ω＝，v＝，a＝ωv，即A、B、C正确；又由T＝与ω＝得T＝2π，即D错误．]
3．AD　[地球自转，角速度恒定，据a＝ω2r知，a∝r，故A、D正确．]
4．D　[速度变化率的大小指的是向心加速度的大小，an＝ω2r＝ωv＝v＝×4 m/s2＝4π m/s2，D正确．]
5．B　[匀变速运动指的是加速度不变的运动．据斜抛运动、平抛运动及竖直上抛运动的定义可知，三种运动中均是只有重力作用，运动的加速度都是重力加速度，即这三种运动都是匀变速运动，而匀速圆周运动的加速度方向指向圆心，故此加速度时刻在变化，匀速圆周运动属于变加速运动，符合题意的选项为B.]
6．D　[由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A错；设轮4的半径为r，则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错，D对；＝＝＝，B错．]
7．CD　[根据皮带传动装置的特点，首先确定b、c、d三点处于同一个整体上，其角速度相同；a、c两点靠皮带连接，其线速度大小相等．设a点的线速度为v、角速度为ω，则v＝ωr，所以c点的线速度大小为v＝ω′2r，可求c点的角速度ω′＝.根据向心加速度的公式可求a、b、c、d的向心加速度分别为a1＝ω2r、a2＝ω2r、a3＝ω2r、a4＝ω2r，故正确选项为C、D.]
8．ABD　[由a＝Rω2可得ω＝；由a＝可得v＝，所以t时间内通过的路程s＝vt＝t ；由a＝Rω2＝·R，可知T＝2π ，故C错；位移由初位置指向末位置的有向线段来描述，对于做圆周运动的小球而言，位移大小即为圆周上两点间的距离，最大值为2R，D正确．正确选项为A、B、D.]
9．(1)ω0R　ω0R
(2)∶1∶2
解析　(1)A、B两点做圆周运动的半径分别为RA＝Rcos 30°＝R，RB＝Rcos 60°＝R
所以A、B两点的线速度大小分别为
vA＝ω0RA＝ω0R，vB＝ω0RB＝ω0R.
(2)A、B、C三点的向心加速度大小分别为
aA＝ωRA＝ωR
aB＝ωRB＝ωR
aC＝ωR
所以aA∶aB∶aC＝∶1∶2.
10.π2g
解析　设乙下落到A点的时间为t，则对乙满足
R＝gt2，得t＝，
这段时间内甲运动了T，
即T＝①
又由于an＝ω2R＝R②
由①②得：an＝π2g.
11．0.28 r/s
解析　设转速为n，由an＝Rω2＝R(2πn)2得
n＝＝ r/s
＝0.28 r/s.
习题课
基础练
1．关于做平抛运动的物体，下列说法中正确的是(　　)
A．物体只受重力作用，做的是a＝g的匀变速运动
B．初速度越大，物体在空间的运动时间越长
C．物体在运动过程中，在相等的时间间隔内水平位移相等
D．物体在运动过程中，在相等的时间间隔内竖直位移相等
2．关于平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．从同一高度，以大小不同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定同时着地，但抛
出的水平距离一定不同
B．从不同高度，以相同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定不能同时着地，抛出
的水平距离也一定不同
C．从不同高度，以不同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定不能同时着地，抛出
的水平距离也一定不同
D．从同一高度，以不同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定不能同时着地，抛出
的水平距离也一定不同
3．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是(　　)
A．大小相等，方向相同
B．大小不等，方向不同
C．大小相等，方向不同
D．大小不等，方向相同
4．飞机以150 m/s的水平速度匀速飞行，某时刻让A球落下，相隔1 s又让B球落下，
不计空气阻力，在以后的运动过程中，关于A、B两球相对位置的关系，下列结论中正
确的是(　　)
A．A球在B球的前下方
B．A球在B球的后下方
C．A球在B球的正下方5 m处
D．以上说法都不对
5．在高处以初速度v0水平抛出一粒石子，当它的速度由水平方向变化到与水平方向夹
角为θ的过程中，石子水平位移的大小为(　　)
A. B.
C. D.
6．如图1所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体
与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(　　)
图1
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
7．物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切值tan α随时间t变化
的图象是下列图中的(　　)
提升练
8.
图2
如图2所示，从倾角为θ的斜面上A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，
它落到斜面上B点时所用的时间为(　　)
A.
B.
C.
D.
9.
图3
如图3所示，A、B两质点以相同的水平初速度v0抛出，A在竖直面内运动，落地点为
P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，比较P1、P2在x轴方向上距抛出点的
远近关系及落地时速度的大小关系，正确的是(　　)
A．P2较远
B．P1、P2一样远
C．A落地时速率大
D．A、B落地时速率一样大
10.
图4
平抛运动可以分解为水平和竖直方向上的两个直线运动，在同一坐标系中作出这两个分
运动的v－t图线，如图4所示，若平抛运动的时间大于2t1，下列说法中正确的是(　　)
A．图线2表示竖直分运动的v－t图线
B．t1时刻的速度方向与初速度方向夹角为30°
C．t1时刻的位移方向与初速度方向夹角的正切值为
D．2t1时刻的位移方向与初速度方向夹角为60°
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
11.汽车以16 m/s的速度在地面上匀速行驶，汽车后壁货架上放一书包，架高1.8 m，汽
车突然刹车，刹车的加速度大小是4 m/s2，致使书包从架上落下，忽略书包与架子间的
摩擦及空气阻力，g取10 m/s2，则书包落在车上距车后壁________ m处．
12．为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破．飞机在河道上空高H处以速度v0
水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标，求炸弹从刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平
距离及击中目标时的速度大小．(不计空气阻力)
13.
图5
如图5所示，射击枪水平放置，射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上，
枪口与目标靶之间的距离x＝100 m，子弹射出的水平速度v＝200 m/s，子弹从枪口射出
的瞬间，目标靶由静止开始释放，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)从子弹由枪口射出开始计时，经多长时间子弹击中目标靶？
(2)目标靶由静止开始释放到被子弹击中，下落的距离h为多少？
14．A、B两个小球由柔软的细线相连，线长l＝6 m；将A、B球先后以相同的初速度v0
＝4.5 m/s，从同一点水平抛出(先A后B)，相隔时间Δt＝0.8 s.
(1)A球抛出后经多少时间，细线刚好被拉直？
(2)细线刚被拉直时，A、B球的水平位移(相对于抛出点)各多大？(g取10 m/s2)
习题课
1．AC
2．AB　[根据平抛运动的规律，水平位移x＝v1t，竖直位移y＝gt2，所以落地时间由抛出时的高度决定，水平位移由抛出高度和初速度共同决定，所以A、B正确．]
3．A　4.D　5.C
6．D　[物体从斜面顶端抛出落到斜面上，平抛运动过程位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝＝，而落到斜面上时的速度方向与水平方向的夹角正切值tan φ＝＝，所以tan φ＝2tan θ，D项正确．]
7．B　[由平行四边形定则可知tan α＝，而vy＝gt，所以tan α＝t，tan α与t成正比，所以B正确．]
8．B　[设小球从抛出至落到斜面上的时间为t，在这段时间内水平位移和竖直位移分别为x＝v0t，y＝gt2，如图所示，由几何关系知tan θ＝＝，所以t＝tan θ.]
9．AD
10．AC　[平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故A对；由v－t图象可知，t1时刻，水平和竖直分速度相等，所以t1时刻的速度方向与初速度方向夹角为45°，B错；设t1时刻速度方向与初速度方向夹角为φ，位移方向与初速度方向夹角为θ，则有推论：tan φ＝2tan θ，C对；由v－t图象可知，2t1时刻，vy＝2v0，tan φ＝2，故tan θ＝1，即2t1时刻的位移方向与初速度方向夹角为45°.]
11．0.72
解析　书包从架上落下后，书包所做的是平抛运动，其下落时间为t＝＝0.6 s，它在水平方向上的位移x1＝v0t＝16×0.6 m＝9.6 m．对汽车来说它刹车后经t2＝＝4 s停下来，所以在0.6 s内汽车的位移x2＝v0t－at2＝8.88 m，所以书包应落在距汽车后壁Δx＝x1－x2＝0.72 m处．
12．v0　
解析　设炸弹从刚脱离飞机到击中目标所用时间为t，水平运动的距离为x，由平抛运动的规律
H＝gt2 ①
x＝v0t ②
联立①和②，得
x＝v0 ③
设炸弹击中目标时的速度为v，竖直方向的速度分量为vy
vy＝gt ④
v＝ ⑤
联立①④⑤，得
v＝
13．(1)0.5 s　(2)1.25 m
解析　(1)子弹做平抛运动，它在水平方向的分运动是匀速直线运动，设子弹经t时间击中目标靶，则
t＝
代入数据得t＝0.5 s
(2)目标靶做自由落体运动，则h＝gt2
代入数据得h＝1.25 m
14．(1)1 s　(2)A球的水平位移为4.5 m，B球的水平位移为0.9 m
解析　(1)两球水平方向位移之差恒为4.5×0.8 m＝3.6 m，AB竖直方向的位移差随时间变化，当竖直方向位移差与水平方向位移差的合位移差等于6 m时绳被拉直．
由水平方向位移差3.6 m，绳子长6 m，可以求得竖直方向位移差为h时绳绷紧．
h＝ m＝4.8 m，有
gt2－g(t－0.8 s)2＝4.8 m，得t＝1 s.
(2)细线刚被拉直时，A球的水平位移为4.5×1 m＝4.5 m，B球的水平位移为4.5×(1－0.8) m＝0.9 m.