5.1.2垂线课件2021--2022学年人教版七年级数学下册(共35张ppt)

(共35张PPT)
5.1.2 垂 线
1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线．
2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离．
3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．
学习目标
重点：垂线的定义及性质.
难点：垂线的画法.
重难点
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
新课导入
1.垂线的定义
2.垂线的性质
3.点到直线的距离
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
课前预习
1. 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是( )
(A)有一个角为90° (B)有两个角相等 (C) 有三个角相等
(D)有四个角相等 (E)有四对邻补角 (F)有一对对顶角互补
(G)有一对邻补角相等 (H)有两组角相等
ACDFG
1
2
3
4
预习检测
2. 如图，点M、N分别在直线AB、CD上，用三角板画图，
(1)过M点画CD的垂线交CD于F点,
(2)M点和N点的距离是线段____的长，
(3)M点到CD的距离是线段____的长.
MN
MF
预习检测
A
B
C
D
M
N
F
在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角α也会发生变化.
α
a
b
b
b
b
b
α
新知讲解
如图，当∠AOC＝90° 时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 的度数是多少？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质可知，
当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
新知讲解
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
垂直定义
A
B
C
D
O
新知讲解
D
A
B
C
O
l
m
垂直的表示法
注意：两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况.
如果直线AB与直线CD垂直，那么可记作：AB⊥CD(或CD⊥AB).
如果用l、m表示这两条直线，那么直线l与直线m垂直，
可记作：l⊥m(或m ⊥ l).
把互相垂直的两条直线的交点叫作垂足(如图中的O点).
新知讲解
A
B
C
D
O
符号语言
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
①判定：∵∠AOD=90°, (已知)
∴AB⊥CD. (垂直的定义)
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，则∠AOD=90°.
②性质：∵ AB⊥CD ，(已知)
∴ ∠AOD=90°. (垂直的定义)
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
垂线的基本性质与判定
新知讲解
如图，AO⊥CO，直线 BD 经过点 O，且∠1 =20°，则∠COD 的度数为( )
A.70° B.110° C.140° D.160°
∠AOC =90°
∠COB =90°-20°=70°
∠COD =180°- 70°= 110°
B
巩固新知
探 究
(1)画已知直线l的垂线能画几条？
(2)过直线 l 上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条？
(3)过直线 l 外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条？
A
l
B
l
新知讲解
1.落.
l
O
如图，已知直线l，作l的垂线.
A
2.画.
新知讲解
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
无数条.
l
A
B
1.落.
如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 作 l 的垂线.
2.移.
3.画.
新知讲解
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
无数条.
1.落.
如图，已知直线l和l外一点 A，过点A作l的垂线.
l
A
B
2.移.
3.画.
无数条.
新知讲解
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.
经过一点画已知直线的垂线
用三角尺画：
让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合.
沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点.
落
移
画
归纳总结
1.不能忽略“在同一平面内”这个条件，因为如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直；
2.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
3.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
垂线的性质
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意
新知讲解
①在同一平面内，已知直线的垂线有无数条，但过一点画已知直线的垂线只能画出一条.
②画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可能在这条线段或射线上，也可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上.
归纳总结
如图，分别过点 P 作线段 MN 的垂线.
M
N
P
M
N
P
Q
P
M
N
Q
P
M
N
Q
练一练
C
D
E
l
再从点 A 向已知直线 l 画几条不垂直的线段.
B
如图，点 A 为直线 l 外一点，AD⊥l，垂足为D，称 AD为点 A到直线 l 的垂线段.
A
新知讲解
线段 AB，AC，AD，AE 中谁最短？你能用一句话
表示这个结论吗？
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
如图，线段 AD 的长度是点 A 到直线 l 的距离.
C
D
E
l
B
A
简单说成：垂线段最短.
垂线段的性质
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
归纳总结
①连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条.
②垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量.
③垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量.
归纳总结
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖渠能使渠道最短？请在图中画出来，并说明理由.
m
想一想
垂线段最短
如图所示，在直角三角形 ABC 中，AB⊥AC，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，已知 AB = 6 cm，AD = 5 cm.
(1)点 B 到 AC 的距离为_____，点 A 到 BC 的距离为 .
(2)CD AC(填“>”“<”或“=”)，依据是 .
线段 AB 的长度
线段 AD 的长度
6 cm
5 cm
点 C 到直线 AD 的垂线段
<
垂线段最短
练一练
1．如图所示，点O在直线AB上，∠EOD＝90°，∠COB＝90°，那么下列说法错误的是(　　)
A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余
C．∠AOE与∠COD互余 D．∠AOC与∠COB互补
∴∠AOE＝∠COD．
C
跟踪训练
解：∵∠EOD＝90°，∠COB＝90°，
∴∠1+∠DOC＝∠2+∠DOC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠AOE＝∠1+∠COD，
∴∠AOE+∠2＝90°，
如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是______________．
垂线段最短
练一练
1．如图，三条直线相交于点，CO⊥AB于点，， 则( )
A． B． C． D．
解：∵CO⊥AB，
∴∠1=90°－ =90°－56°=34°
∵对顶角相等
∴ =∠1=34°
B
随堂检测
A
B
C
O
1
2．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA=3 cm，PB=4 cm，PC=5 cm，那么点P到直线l的距离是( )
A．3 cm B．小于3 cm
C．不大于3 cm D．大于3 cm，且小于8 cm
C
随堂检测
3．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由( )
A．垂线段最短 B ．过两点有且只有一条直线
C．过一点可以作无数条直线 D．两点之间线段最短
垂线段最短.
A
随堂检测
4．(1)如图①，O为直线AB上一点，且OC⊥OD，若∠1＝25°，则∠2的度数为_______；
65°
(2)如图②，直线AB，CD相交于点O，OE为射线，若∠1＝30°，∠2＝120°，则OE与AB的位置关系是_______，可记作__________．
垂直
OE⊥AB
随堂检测
5. 如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线，若∠AOB=40°，求∠EOF、∠COE的度数．
A
F
D
O
B
C
E
解：∵AO⊥OD且∠AOB=40°，
∴∠COE=180°-50°-50°=80°．
∴∠DOC=∠BOD=50°，
又∵OD平分∠BOC，
∴∠EOF=50°.
∴∠BOD=90°-40°=50°，
随堂检测
课堂小结
垂线
垂线的定义
①
垂线的画法
②
垂线的性质
③
点到直线的距离
④
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)垂线段最短.