中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题02 运算能力之公式法分解因式专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．对于两个有理数、，定义一种新的运算：，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据新定义的运算法则得到，求解的值，再按照新定义对进行运算即可.
【详解详析】
解： ，
，
，
解得：
故选D
【名师指路】
本题考查的是新定义运算，完全平方公式的应用，负整数指数幂的含义，理解新定义，按照新定义的运算法则进行运算是解本题的关键.www-2-1-cnjy-com
2．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2+1 B．x2+2x﹣1 C．x2+3x+9 D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：A、x2+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项不符合题意；
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项不符合题意；
C、x2+3x+9不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项不符合题意；
D、，故选项正确；
故选：D
【名师指路】
本题考查了完全平方式的运用分解因式，关键是熟练掌握完全平方式的特点．
3．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长 ( http: / / www.21cnjy.com )，且a2＋b2＋c2＋200＝12a＋16b＋20c，则△ABC三条角平分线的交点到一条边的距离为（ ）21教育名师原创作品
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
先配方求a，b，c的值，再证明 如图，为的三条角平分线的交点，过作垂足分别为 则 再利用等面积法可得答案.
【详解详析】
解：∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c．
∴a2-12a+36+b2-16b+64+c2-20c+100=0．
∴（a-6）2+（b-8）2+（c-10）2=0．
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0．
∴a=6，b=8，c=10．
如图，为的三条角平分线的交点，过作
垂足分别为 则
( http: / / www.21cnjy.com / )
而
又
．
故选：B．
【名师指路】
本题考查完全平方式的应用，非负数的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，角平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，解题关键是正确配方求出a，b，c的值并判断三角形是直角三角形．2·1·c·n·j·y
4．已知a2＋b2＝2a﹣b﹣2，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．3
【标准答案】D
【思路指引】
把a2＋b2＝2a﹣b﹣2化为再利用非负数的性质求解的值，从而可得答案.
【详解详析】
解： a2＋b2＝2a﹣b﹣2，
解得：
故选D
【名师指路】
本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，熟练的运用非负数的性质求解的值是解本题的关键.www.21-cn-jy.com
5．下列变形中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据乘法公式：分别进行判断即可．
【详解详析】
解：A、，故该选项不合题意；
B、不能进行因式分解，故该选项不合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不合题意；
故选：C．
【名师指路】
本题考查用乘法公式进行化简和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式．
6．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
将各自分解因式后即可做出判断．
【详解详析】
解：A、原式=（x+1）（x+2），故本选项错误；
B、原式=（2x+3）（2x3），故本选项错误；
C、原式=（x2）（x3），故本选项正确；
D、原式=（x1）2，故本选项错误；
故选：C．
【名师指路】
此题考查了因式分解——十字相乘法，提公因式法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21·世纪*教育网
7．已知为任意实数，则多项式的值为（ ）
A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．正数或负数或零
【标准答案】B
【思路指引】
利用完全平方公式进行转化即可得出结果．
【详解详析】
解：
∵
∴
故选：
【名师指路】
本题主要考查了因式分解，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键．
8．已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
【标准答案】D
【思路指引】
计算x，y的差，利用完全平方公式将a2﹣6ab+9b2-4a+12b+4转化为，再根据平方的非负性解题．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：x-y= a2﹣6ab+9b2-（4a﹣12b﹣4）
a2﹣6ab+9b2-4a+12b+4
故选：D．
【名师指路】
本题考查整式的加减，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
9．把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣y）（x﹣y） B．（2x﹣4y+y）（x﹣y）
C．（2x﹣4y+y）（x﹣y） D．2（x﹣y）（x﹣y）
【标准答案】D
【思路指引】
把x看做未知数，把y看做常数，令2x2﹣8xy+5y2＝0，解得x的值，即可得出答案．
【详解详析】
解答：解：令2x2﹣8xy+5y2＝0，
解得x1＝y，x2＝y，
∴2x2﹣8xy+5y2＝2（x﹣y）（x﹣y）
故选：D．
【名师指路】
本题考查了实数范围内的因式分解，掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
10．计算的结果是___．
【标准答案】##
【思路指引】
根据分式的加减运算法则计算即可．
【详解详析】
解：
．
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了分式的加减运算，分式的基本性质，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．21教育网
11．在实数范围内分解因式:______________
【标准答案】
【思路指引】
根据完全平方公式，先加4，凑成完全平方公式的形式，再减去4，再利用平方差公式因式分解.
【详解详析】
原式=
=
=.
【名师指路】
本题考查实数内因式分解，掌握公式法分解因式是解题的关键.
12．分解因式__________．
【标准答案】
【思路指引】
先提取公因式2，然后再运用完全平方公式因式分解即可．
【详解详析】
解：
=
=．
故答案为．
【名师指路】
本题考查了运用综合法因式分解，掌握并灵活运用提取公因式、完全平方公式因式分解是解答本题的关键．
13．因式分解：_________．
【标准答案】
【思路指引】
直接运用平方差公式进行分解即可．
【详解详析】
解：
=
=
故答案为：
【名师指路】
此题考查了运用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．若且，则_____．
【标准答案】
【思路指引】
根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解详析】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴==，
故答案为：
【名师指路】
本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
15．分解因式：________．
【标准答案】##
【思路指引】
将原多项式分组变形，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解详析】
解：====，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，灵活运用因式分解的方法是解答的关键．
16．分解因式得______．
【标准答案】
【思路指引】
利用完全平方公式分解即可．
【详解详析】
∵=，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了因式分解，正确理解公式法分解因式是解题的关键．
17．若代数式通过变形可以写成的形式，则m的值是________．
【标准答案】±8
【思路指引】
根据题意，利用完全平方公式配方，进而确定出m的值即可．
【详解详析】
解：根据题意得：x2+mx+16=(x+n)2，
整理得：x2+mx+16=x2+2nx+n2，
∴m=2n，n2=16，
解得：n=±4，m=2n=±8，
故答案为：±8．
【名师指路】
此题考查了完全平方式，利用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．若多项式可化为的形式，则单项式可以是__________．
【标准答案】或或或
【思路指引】
根据完全平方公式展开式的首、末两项是 ( http: / / www.21cnjy.com )平方项，并且首末两项的符号相同；中间项是首末两项的底数的积的2倍，对多项式进行分类讨论，分别求出k即可．21世纪教育网版权所有
【详解详析】
解：①当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为：
，即，
∴；
②当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为：
，即，
∴，解得：；
③当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为：
，即，
∴，解得：；
故答案为：或或或．
【名师指路】
此题考查了运用完全平方公式分解因式．掌握完全平方公式和分类讨论是解此题的关键．
19．若实数a，b满足，则代数式的值为_______________．
【标准答案】6．
【思路指引】
将所求代数式中的因式分解，再把代入，化简即可．
【详解详析】
解：，
把代入得，
再把代入得；
故答案为：6．
【名师指路】
本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值．21·cn·jy·com
三、解答题
20．因式分解：
（1）a2﹣b2＋2a＋2b；
（2）3m（2x﹣y）2﹣3mn2；
（3）16﹣8（x﹣y）＋（x﹣y）2.
【标准答案】（1）；（2）；（3）
【思路指引】
（1）先分组分解因式，然后提取公因式分解因式即可得到答案；
（2）先提取公因式，然后利用平方差公式求解即可；
（3）直接利用完全平方公式分解因式即可．
【详解详析】
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【名师指路】
本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法．
21．已知，．求值：（1）；（2）．
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）把两个等式相减，可得：再移项把等式的左边分解因式，结合 从而可得答案；
（2）由可得：由，可得再把分解因式即可得到答案.
【详解详析】
解：（1） ，，
则
（2）
，
【名师指路】
本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“利用提公因式，平方差公式分解因式及整体代入法求解代数式的值”是解题的关键.【来源：21·世纪·教育·网】
22．在实数范围内因式分解：_________．
【标准答案】
【思路指引】
结合题意，当时，通过求解一元二次方程，得，结合，即可得到答案．
【详解详析】
当时，得
∴
∴
∴
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了因式分解和一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
23．因式分解：
(1)4x4+4x3+x2；
(2)（2m+3）2﹣m2．
【标准答案】(1)
(2)
【思路指引】
（1）先提取公因式，然后再运用完全平方公式法因式分解即可；
（2）运用平方差公式因式分解即可．
(1)
解：4x4+4x3+x2
= x2（4x2+4x+1）
=．
(2)
解：（2m+3）2﹣m2
=（2m+3+m）（2m+3-m）
=（3m+3）（m+3）
=．
【名师指路】
本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法因式分解是解答本题的关键．
24．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：用配方法分解因式：．2-1-c-n-j-y
解原式
．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)用配方法分解因式x2+2xy-3y2
(2)若M=2x2+8x+10，求M的最小值；
(3)已知x2+6y2+z2-4xy-4y+2yz+4=0，求x+y+z的值．
【标准答案】(1)
(2)M的最小值为2；
(3)4
【思路指引】
（1）将原式变形为x2+2xy+y2-y2-3y2，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）原式通过配方，然后根据偶次幂的非负性求其最小值；
（3）将原式整理为（x2+4y2-4xy） ( http: / / www.21cnjy.com )+（y2-4y+4）+（z2+2yz+y2）=0，然后利用完全平方公式进行变形，从而利用偶次幂的非负性求得x，y，z的值，从而代入求值．21*cnjy*com
(1)
解：x2+2xy-3y2
=x2+2xy+y2-y2-3y2
=（x+y）2-4y2
=（x+y+2y）（x+y-2y）
=（x+3y）（x-y）；
(2)
解：M=2x2+8x+10
=2（x2+4x）+10
=2（x2+4x+4）-8+10
=2（x+2）2+2，
∵（x+2）2≥0，
∴M的最小值为2；
(3)
解：x2+6y2+z2-4xy-4y+2yz+4=0，
整理得：（x2+4y2-4xy）+（y2-4y+4）+（z2+2yz+y2）=0，
即（x-2y）2+（y-2）2+（z+y）2=0，
∵（x-2y）2≥0，（y-2）2≥0，（z+y）2≥0，
∴x-2y=0，y-2=0，z+y=0，
解得：x=4，y=2，z=-2，
则x+y+z=2+4+（-2）=4．
【名师指路】
本题考查了整式的运算与因式分解，理解偶次 ( http: / / www.21cnjy.com )幂的非负性，掌握完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2是解题关键．【出处：21教育名师】
25．把下列各式因式分解：
(1)
(2)
【标准答案】(1)
(2)
【思路指引】
（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式即可．
(1)
解：
；
(2)
解：
．
【名师指路】
本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练， ( http: / / www.21cnjy.com )分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题02 运算能力之公式法分解因式专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．对于两个有理数、，定义一种新的运算：，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2+1 B．x2+2x﹣1 C．x2+3x+9 D．
3．若a，b，c是直角三角形ABC的三 ( http: / / www.21cnjy.com )边长，且a2＋b2＋c2＋200＝12a＋16b＋20c，则△ABC三条角平分线的交点到一条边的距离为（ ）21教育网
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知a2＋b2＝2a﹣b﹣2，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．3
5．下列变形中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知为任意实数，则多项式的值为（ ）
A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．正数或负数或零
8．已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
9．把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣y）（x﹣y） B．（2x﹣4y+y）（x﹣y）
C．（2x﹣4y+y）（x﹣y） D．2（x﹣y）（x﹣y）
二、填空题
10．计算的结果是___．
11．在实数范围内分解因式:______________
12．分解因式__________．
13．因式分解：_________．
14．若且，则_____．
15．分解因式：________．
16．分解因式得______．
17．若代数式通过变形可以写成的形式，则m的值是________．
18．若多项式可化为的形式，则单项式可以是__________．
19．若实数a，b满足，则代数式的值为_______________．
三、解答题
20．因式分解：
（1）a2﹣b2＋2a＋2b；
（2）3m（2x﹣y）2﹣3mn2；
（3）16﹣8（x﹣y）＋（x﹣y）2.
21．已知，．求值：（1）；（2）．
22．在实数范围内因式分解：_________．
23．因式分解：
(1)4x4+4x3+x2；
(2)（2m+3）2﹣m2．
24．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：用配方法分解因式：．21cnjy.com
解原式
．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)用配方法分解因式x2+2xy-3y2
(2)若M=2x2+8x+10，求M的最小值；
(3)已知x2+6y2+z2-4xy-4y+2yz+4=0，求x+y+z的值．
25．把下列各式因式分解：
(1)
(2)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
