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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题03 因式分解在有理数简算中的应用专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．计算（－2）2004+（－2）2003的结果是（ ）
A．－1 B．－2 C．22003 D．－22004
2．计算：101×1022﹣101×982=（ ）
A．404 B．808 C．40400 D．80800
3．计算：1252-50×125+252=( )
A．100 B．150 C．10000 D．22500
4．能被（ ）整除
A．76 B．78 C．79 D．82
5．已知，那么的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021．
6．计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．-1
8．已知，，则的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为________．
10．我们知道a(b＋c)＝ab＋ac ( http: / / www.21cnjy.com )，反过来则有ab＋ac＝a(b＋c)，前一个式子是整式乘法，后一个式子是因式分解．请你根据上述结论计算：20202－2020×2019＝________．21世纪教育网版权所有
11．若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=________．
12．简便计算：101×99=_________.
13．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝_____．
14．计算：__．
15．=_______．
16．计算：2020×512－2020×492的结果是________．
17．若，，则＝_____．
18．小明将（2020x+2021）2展开后 ( http: / / www.21cnjy.com )得到a1x2+b1x+c1；小红将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值是__________．21cnjy.com
三、解答题
19．（1）计算：；
（2）解方程：．
20．【阅读材料】
在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如：等．
【问题解决】
利用上述材料中的方法，解决下列问题：
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
21．计算题：
（1）解不等式组，并写出它的整数解．
（2）利用因式分解计算：
①；
②；
③．
22．计算：（1）(π﹣0)0﹣(﹣)﹣1﹣()2017×()2018；
（2）(2x3y)2 (﹣2xy)+(﹣2x3y)3÷(2x2)；
（3）[(2x﹣y)2﹣(2x+y)(2x﹣y)+4xy]÷2y；
（4）832+34×83+172．（用简便方法计算）
23．先化简，再求值：，其中．
24．用简便方法进行计算．
（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．
（2）．
（3）（）×…×（）．
（4）1952+195×10+52．
25．（1）按下表已填的完成表中的空白处代数式的值：
， 1
， 46
，
（2）比较两代数式计算结果，请写出你发现的与有什么关系？
（3）利用你发现的结论，求：的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择 ( http: / / www.21cnjy.com )、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题03 因式分解在有理数简算中的应用专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．计算（－2）2004+（－2）2003的结果是（ ）
A．－1 B．－2 C．22003 D．－22004
【标准答案】C
【详解详析】
此题考查指数幂的运算
思路：先化为同类项，再加减
答案 C
点评：一定要会转化式子．
2．计算：101×1022﹣101×982=（ ）
A．404 B．808 C．40400 D．80800
【标准答案】D
【思路指引】
先提取公因式，再运用平方差公式分解因式，然后计算即可．
【详解详析】
解：101×1022﹣101×982=101（1022﹣982）=101（102+98）（102﹣98）=101×200×4=80800；
故选D．
【名师指路】
本题考查了应用因式分解进行简化计算，解答关键是先进行因式分解再进行计算．
3．计算：1252-50×125+252=( )
A．100 B．150 C．10000 D．22500
【标准答案】C
【详解详析】
试题分析：原式＝1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000．
故选C．
点睛：本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解决此题的关键．
4．能被（ ）整除
A．76 B．78 C．79 D．82
【标准答案】C
【详解详析】
分析：先提取公因数80，再用平方差公式运算.
详解：因为803－80＝80(802－1)＝80(80＋1)(80－1)＝80×81×79，所以803－80能被80，81，79整除.
故选C.
点睛：本题考查了用提公因 ( http: / / www.21cnjy.com )式法和平方差公式因式分解，在进行实数的运算时，如果能提取公因式数，且提取公因数后能用乘法公式因式分解，则可参照因式分解的方法运算.【来源：21·世纪·教育·网】
5．已知，那么的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021．
【标准答案】B
【思路指引】
将进行因式分解为，因为左右两边相等，故可以求出x得值．
【详解详析】
解：
∴
∴x=2019
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键．
6．计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．
【详解详析】
解：原式=
=
=
=．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
7．已知，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．-1
【标准答案】D
【思路指引】
先对进行变形，可以解出a，b的关系，然后在对进行因式分解即可．
【详解详析】
∵，
∴，
，
，
∴，，
∴
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键．
8．已知，，则的结果为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
将代数式因式分解，再代数求值即可.
【详解详析】
故选B
【名师指路】
本题考查知识点涉及因式分解以及代数式求值，熟练掌握因式分解，简化计算是解答本题的关键.
二、填空题
9．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为________．
【标准答案】12
【详解详析】
原式=2（m2+2mn+n2）-6，
=2（m+n）2-6，
=2×9-6，
=12．
10．我们知道a(b＋c)＝ab＋ac ( http: / / www.21cnjy.com )，反过来则有ab＋ac＝a(b＋c)，前一个式子是整式乘法，后一个式子是因式分解．请你根据上述结论计算：20202－2020×2019＝________．21·世纪*教育网
【标准答案】2020
【思路指引】
根据式子ab＋ac＝a(b＋c)的计算方法仿照进行计算即可得.
【详解详析】
20202－2020×2019
=2020×（2020-2019）
=2020，
故答案为2020.
【名师指路】
本题考查了提公因式法在计算中的应用，正确理解是解题的关键.
11．若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=________．
【标准答案】4
【思路指引】
分析式子的特点，分解成含已知式的形式，再整体代入．
【详解详析】
解：a2b+ab2=ab(a+b)=1×4=4．
故答案为4.
【名师指路】
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．www-2-1-cnjy-com
12．简便计算：101×99=_________.
【标准答案】9999
【思路指引】
将101化成100+1,利用乘法分配律即可解题.
【详解详析】
解：101×99=（100+1）×99=9900+99=9999.
【名师指路】
本题考查了整式的乘法,属于简单题,找到简单方法,对101进行分解是解题关键.
13．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝_____．
【标准答案】2020
【思路指引】
将a3+2a2+2019化成a3+a2+a2+2019，再取前两项因式分解，再将a2+a＝１代入计算后，再继续代入计算即可.2-1-c-n-j-y
【详解详析】
a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019=a(a2+a)+a2+2019=a+a2+2019=2020.21*cnjy*com
【名师指路】
考查了求代数式的值，解题关键是将a3+2a2+2019化成a2+a的形式.
14．计算：__．
【标准答案】2
【思路指引】
把分成，利用完全平方公式展开，计算即可．
【详解详析】
．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了利用因式分解对有理数进行简便运算，熟练应用完全平方公式是解题关键．
15．=_______．
【标准答案】
【思路指引】
先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．
【详解详析】
解：
=
=
=
=
故答案为：．
【名师指路】
本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键．
16．计算：2020×512－2020×492的结果是________．
【标准答案】404000
【思路指引】
先提取公因式2020，再根据平方差公式分解后计算可得答案．
【详解详析】
2020×512－2020×492
=2020×（512－492）
=2020×（51+49）×(51-49)
=2020×100×2
=404000,
故答案为：404000．
【名师指路】
此题考查提公因式法，平方差公式，熟练掌握计算公式及因式分解的方法是解题的关键．
17．若，，则＝_____．
【标准答案】
【思路指引】
先将原式因式分解得，再整体代入即可求出结果．
【详解详析】
解：，
∵，，
∴原式．
故答案是：．
【名师指路】
本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值．
18．小明将（2020x+2021）2展 ( http: / / www.21cnjy.com )开后得到a1x2+b1x+c1；小红将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值是__________．【来源：21cnj*y.co*m】
【标准答案】4041
【思路指引】
根据（2020x+202 ( http: / / www.21cnjy.com )1）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212得到c1＝20212，同理可得 c2＝20202，所以c1-c2=20212-20202，进而得出结论．【出处：21教育名师】
【详解详析】
解：∵（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212，
∴c1=20212，
∵（2021x-2020）2=（2021x）2-2×2020×2021x+20202，
∴c2=20202，
∴c1-c2=20212-20202=（2021+2020）×（2021-2020）=4041，
故答案为：4041．
【名师指路】
本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，解决本题的关键是要熟悉公式的结构特点．
三、解答题
19．（1）计算：；
（2）解方程：．
【标准答案】（1）446；（2），
【思路指引】
（1）逆用乘法分配律进行计算即可得到答案；
（2）运用因式分解法解方程即可．
【详解详析】
解：（1）
；
（2）
，
∴，．
【名师指路】
此题主要考查了有理数的混合运算以及运用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．【版权所有：21教育】
20．【阅读材料】
在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如：等．
【问题解决】
利用上述材料中的方法，解决下列问题：
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【标准答案】（1）；（2）；（3）．
【思路指引】
（1）根据题目中的式子特点，先分解，然后裂项，再计算即可解答本题；
（2）先提出，然后裂项计算即可解答本题；
（3）根据题目中式子的特点，先裂项，然后计算即可解答本题．
【详解详析】
解：（1）
＝++…+
＝1﹣+…+
＝1﹣
＝；
（2）
＝×[+…+]
＝×[++…+]
＝×（1﹣+…+）
＝×（1﹣）
＝×
＝；
（3）
＝++…+
＝×（1﹣+…+）
＝×（1﹣）
＝×
＝．
【名师指路】
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．2·1·c·n·j·y
21．计算题：
（1）解不等式组，并写出它的整数解．
（2）利用因式分解计算：
①；
②；
③．
【标准答案】（1）不等式组的解集为，整数解为2、3；（2）①；②；③．
【思路指引】
（1）分别解两个不等式得到不等式组的解集，然后确定不等式组的整数解．
（2）①提取公因式20.16，再简便计算即可；②利用平方差公式简便计算即可；③利用完全平方公式简便计算即可．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
解：（1）解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式组的解集为，
不等式组的整数解为2、3；
（2）①
；
②
；
③
．
【名师指路】
本题考查了求一元一次不等式组的 ( http: / / www.21cnjy.com )整数解，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算．
22．计算：（1）(π﹣0)0﹣(﹣)﹣1﹣()2017×()2018；
（2）(2x3y)2 (﹣2xy)+(﹣2x3y)3÷(2x2)；
（3）[(2x﹣y)2﹣(2x+y)(2x﹣y)+4xy]÷2y；
（4）832+34×83+172．（用简便方法计算）
【标准答案】（1）；（2）；（3）；（4）10000
【思路指引】
（1）利用零指数幂，负整数指数幂，积的乘方的逆运算求解即可；
（2）根据单项式与单项式混合运算法则求解即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式先对中括号内的整式进行计算，最后计算单项式除以单项式即可；
（4）利用完全平方公式求解即可.
【详解详析】
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
【名师指路】
本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，积的乘 ( http: / / www.21cnjy.com )方的逆运算，整式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.21世纪教育网版权所有
23．先化简，再求值：，其中．
【标准答案】；．
【思路指引】
先进行因式分解，计算括号内的运算然后计算除法运算，得到最简分式，再把代入计算，即可得到答案．
【详解详析】
解：原式
；
∵
∴原式．
【名师指路】
本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行化简．21·cn·jy·com
24．用简便方法进行计算．
（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．
（2）．
（3）（）×…×（）．
（4）1952+195×10+52．
【标准答案】（1）214；（2）2；（3）；（4）40000
【思路指引】
（1）把2.14×27、214×0.5化为21.4×2.7、21.4×5的形式，逆运用乘法的分配律比较简便；
（2）把分母因式分解后，再约分；
（3）先把每个括号利用平方差公式写成积的形式，再约分；
（4）把195×10写成2×195×5，再利用完全平方公式求解．
【详解详析】
解：（1）原式＝21.4×2.3+21.4×2.7+21.4×5，
＝21.4×（2.3+2.7+5），
＝21.4×10，
＝214；
（2）原式＝，
＝，
＝2；
（3）原式＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×...×（1+）×（1﹣），
＝，
＝，
＝；
（4）原式＝1952+2×195×5+52，
＝（195+5）2，
＝2002，
＝40000．
【名师指路】
本题主要考查了因式分解的应用，准确分析计算是解题的关键．
25．（1）按下表已填的完成表中的空白处代数式的值：
， 1
， 46
，
（2）比较两代数式计算结果，请写出你发现的与有什么关系？
（3）利用你发现的结论，求：的值．
【标准答案】（1）见解析；（2）；（3）1
【思路指引】
（1）把每组的值分别代入与进行计算，再填表即可；
（2）观察计算结果，再归纳出结论即可；
（3）利用结论可得 再代入进行简便运算即可.
【详解详析】
解：（1）填表如下：
， 1 1
， 16 16
， 9 9
（2）观察上表的计算结果归纳可得：
（3）
=
==1
【名师指路】
本题考查的是代数式的求值，运算规律的探究，完全平方公式的应用，熟练的利用完全平方公式进行简便运算是解本题的关键.21cnjy.com
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