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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择 ( http: / / www.21cnjy.com )、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21·世纪·教育·网】
专题01 运算能力之提公因式法分解因式专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【标准答案】C
【思路指引】
把变形为，代入a+b=2后，再变形为2（a+b）即可求得最后结果．
【详解详析】
解：∵a+b=2，
∴a2-b2+4b=（a-b）（a+b）+4b，
=2（a-b）+4b，
=2a-2b+4b，
=2（a+b），
=2×2，
=4．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．
2．下列各式中，因式分解错误的是（ ）
A．x2﹣xy＝x（x﹣y） B．4x2﹣1＝（2x＋1）（2x﹣1）
C．x2＋3x＋＝（x＋）2 D．3x2＋6x﹣1＝3x（x＋2）﹣1
【标准答案】D
【思路指引】
根据因式分解的定义，提公因式法和公式法逐个判断即可．把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解．21·世纪*教育网
【详解详析】
解：A．使用提取公因式法，因式分解正确，不符合题意；
B．使用平方差公式，因式分解正确，不符合题意；
C．使用完全平方公式，因式分解正确，不符合题意；
D．因式分解是把一个多项式写成几个整式的积的形式，而这里是差的形式，因式分解错误，符合题意．
故选：D．
【名师指路】
本题考查因式分解的定义，提取公因式法和公式法，熟练掌握以上知识点是解题关键．
3．中，为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据除数=被除数÷商，将两个多项式化简，约分，可求出单项式M．
【详解详析】
故选：C．
【名师指路】
本题考查了被除数、除数、商，三者之间的关系以及多项式除以单项式，涉及因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．【出处：21教育名师】
4．下列关于2300+（﹣2）301的计算结果正确的是（ ）
A．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300
B．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2﹣1
C．2300+（﹣2）301＝（﹣2）300+（﹣2）301＝（﹣2）601
D．2300+（﹣2）301＝2300+2301＝2601
【标准答案】A
【思路指引】
直接利用积的乘方运算法则将原式变形，再利用提取公因式法分解因式计算得出答案．
【详解详析】
2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300．
故选：A．
【名师指路】
此题主要考查了提取公因式法分解因式以及有理数的混合运算，正确将原式变形是解题关键．
5．下列各式的因式分解中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据提公因式法，先提取各个多项式中的公因式，再对余下的多项式进行观察，能分解的继续分解．
【详解详析】
A －a2+ab－ac=－a(a-b+c) ，故本选项错误；
B 9xyz－6x2y2=3xy(3z－2xy)，故本选项错误；
C 3a2x－6bx+3x=3x(a2－2b+1)，故本选项错误；
D ，故本选项正确．
故选：D．
【名师指路】
本题考查提公因式法分解因式，准确确定公因式是求解的关键．
6．如果a、b分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（ ）
A．8 B． C．4 D．
【标准答案】B
【思路指引】
先求得的范围，进而求得的范围即可求得的值，进而代入代数式求值即可
【详解详析】
则
a、b分别是的整数部分和小数部分，则
故选B
【名师指路】
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，求得的值是解题的关键．
7．将分解因式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
直接用提公因式法分解因式即可．
【详解详析】
故选：C
【名师指路】
本题考查提公因式法分解因式，解题等关键是把看成一个整体．
8．已知，，那么的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据完全平方公式求出，再把原式因式分解后可代入求值．
【详解详析】
解：因为，，
所以，
所以
故选：D
【名师指路】
考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键．
9．下列因式分解正确的是（ ）
A．2ab2﹣4ab＝2a（b2﹣2b） B．a2＋b2＝（a＋b）（a﹣b）
C．x2＋2xy﹣4y2＝（x﹣y）2 D．﹣my2＋4my﹣4m＝﹣m（2﹣y）2
【标准答案】D
【思路指引】
将各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解详析】
解：A. 2ab2﹣4ab＝2ab（b﹣2），分解不完整，故错误；
B．a2＋b2不能分解因式，而（a＋b）（a﹣b）＝a2 b2，故错误；
C．x2＋2xy﹣4y2不能分解因式，而（x y）2＝x2 2xy＋y2，故错误；
D．﹣my2＋4my﹣4m＝﹣m（2﹣y）2，故正确．
故选：D．
【名师指路】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1
【标准答案】C
【思路指引】
首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解详析】
解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选：C．
【名师指路】
此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.21cnjy.com
二、填空题
11．把多项式因式分解，结果为________．
【标准答案】
【思路指引】
直接提取公因式x，进而利用十字相乘法分解因式得出答案．
【详解详析】
解：
＝
＝．
故答案为：．
【名师指路】
此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12．因式分解：____________．
【标准答案】
【思路指引】
将y(1-m)变形为-y（m-1），再提取公因式即可．
【详解详析】
∵x（m-1）+ y(1-m)
= x（m-1）-y（m-1），
=（x-y）（m-1），
故答案为：（x-y）（m-1）．
【名师指路】
本题考查了因式分解，熟练进行代数式的变形构造公因式是解题的关键．
13．下列多项式：①；②；③；④，它们的公因式是______．
【标准答案】
【思路指引】
将各多项式分解因式，即可得到它们的公因式．
【详解详析】
解：∵①，
②，
③，
④，
∴它们的公因式是，
故答案为：．
【名师指路】
此题考查多项式的因式分解方法，公因式的定义，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．
14．对任意实数x，点P(x，x2－2x)一定不在第______象限．
【标准答案】三
【思路指引】
根据题意分析，当时，即当横坐标小于0时，纵坐标一定大于0，据此即可求得答案．
【详解详析】
，
当时，
，
，不可能，
所以横坐标小于0，而纵坐标不可能小于0，所以一定不在第三象限．
故答案为：三
【名师指路】
本题考查了不等式的性质，因式分解，平面直角坐标系中各象限点的特征，当时，分析纵坐标的符号是解题的关键．21·cn·jy·com
15．已知方程有一根满足为正整数，则___________．
【标准答案】3
【思路指引】
先根据已知方程有一根，得到，再由为正整数，可以得到，由此即可得到，则，由此进行求解即可．2·1·c·n·j·y
【详解详析】
解：∵，
∴，
∵已知方程有一根，
∴，
∵为正整数，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵为正整数，
∴即，
∴，
故答案为：3．
【名师指路】
本题主要考查了方程的根和解不等式组，解题的关键在于能够根据题意确定出的取值范围．
16．因式分解：2a2-4a-6=________．
【标准答案】2(a-3)(a+1)## 2(a+1)(a-3)
【思路指引】
提取公因式2，再用十字相乘法分解因式即可．
【详解详析】
解：2a2－4a－6＝2（a2－2a－3）＝2(a-3)(a+1)
故答案为：2(a-3)(a+1)
【名师指路】
本题考查了本题考查了提公因 ( http: / / www.21cnjy.com )式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法或十字相乘法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．21教育网
17．因式分解：x2﹣2x=_______．
【标准答案】x（x﹣2）
【详解详析】
原式提取x即可得到结果．原式=x（x﹣2），
考点：因式分解-提公因式法
18．分解因式：a2b-18ab+81b＝_____．
【标准答案】b(a-9) 2．
【思路指引】
先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．
【详解详析】
解：a2b-18ab+81b，
= b(a2-18a+81)
= b(a-9) 2．
故答案为：
【名师指路】
本题考查了因式分解，解题关键是明确因式分解的顺序：先提取公因式，再用公式，并能熟练运用相关知识分解；注意：因式分解要彻底．www-2-1-cnjy-com
19．若实数x满足，则______．
【标准答案】2022
【思路指引】
将x2＝2x+1，x2﹣2x＝1代入计算可求解．
【详解详析】
解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x x2﹣2x2﹣6x+2020
＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020
＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020
＝2x2﹣4x+2020
＝2（x2﹣2x）+2020
＝2×1+2020
＝2022．
故答案为：2022
【名师指路】
本题主要考查因式分解的应用，适当的进行因式分解，整体代入是解题的关键．
20．若a, b, c 满足，则________
【标准答案】
【思路指引】
关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可.
【详解详析】
因为
所以 ，即
因为
所以
因为
所以
因为
所以
即
因为
即
故答案为：
【名师指路】
本题考查的是整式的乘法，熟练掌握乘法法则并会对算式进行变形是关键.
三、解答题
21．先化简再求值：，其中
【标准答案】，
【思路指引】
利用公式法和提取公因式法将第一个式子进行化简，观察化简后的式子，将第二个等式变形求得，在通过整体代入求得原式的结果．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解：原式＝
=
=
=，
∵，
∴，
∴原式=．
【名师指路】
本题考查分式的化简求值，利用提公因式法和公式法因式分解，再通过整体代入求值．熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解答本题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
22．已知是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解．
【标准答案】，，
【思路指引】
由题意可假设多项式x3 x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )ax+b=(x2+2x+1)(x+m)，则将其展开、合并同类项，并与x3 x2+ax+b式子中x的各次项系数对应相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一个因式即可确定．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：设，
则，
所以，，，
解得，，．
所以 ．
【名师指路】
本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好．
23．已知，．
求：（1）的值；
（2）的值．
【标准答案】（1）48；（2）52
【思路指引】
（1）原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解详析】
解：（1）∵，．
∴；
（2）∵，．
∴．
【名师指路】
此题考查了因式分解，完全平方公式变形，代数式求值，熟练掌握因式分解方法，完全平方公式是解本题的关键．www.21-cn-jy.com
24．常见的分解因式的方 ( http: / / www.21cnjy.com )法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2＋2xy＋y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2＋2xy＋y2﹣16＝（x＋y）2﹣42＝（x＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：21*cnjy*com
(1)分解因式：2a2﹣8a＋8；
(2)请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2＋3x﹣3y；
(3)若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．
【标准答案】(1)
(2)
(3)等腰三角形
【思路指引】
（1）先提公因式2，再利用完全平方公式分解；
（2）先分组，再利用分组分解法求解；
（3）把等式左边利用分组分解法因式分解得到，利用三角形三边的关系得到a=c或a=b，从而可判断△ABC的形状．21教育名师原创作品
(1)
解：
=
=；
(2)
=
=；
(3)
=
=
=
=
=0
∴a=c或a=b
∴△ABC为等腰三角形．
【名师指路】
本题考查了利用完全平方公式分解 ( http: / / www.21cnjy.com )因式，提公因式的方法分解因式，分组分解法是，因式分解的应用，等腰三角形的定义，理解题意，掌握“整体法分解因式”是解本题的关键．21世纪教育网版权所有
25．因式分解：
(1)﹣3x3+6x2y﹣3xy2；
(2)3（x+y）（x﹣y）﹣（y﹣x）2．
【标准答案】(1)
(2)
【思路指引】
（1）先提取公因式，然后用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）多次提取公因式，进行因式分解即可．
(1)
解：
．
(2)
解：
．
【名师指路】
本题考查了因式分解．解题的关键在于选用适当的方法进行因式分解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择 ( http: / / www.21cnjy.com )、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题01 运算能力之提公因式法分解因式专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．下列各式中，因式分解错误的是（ ）
A．x2﹣xy＝x（x﹣y） B．4x2﹣1＝（2x＋1）（2x﹣1）
C．x2＋3x＋＝（x＋）2 D．3x2＋6x﹣1＝3x（x＋2）﹣1
3．中，为（ ）
A． B． C． D．
4．下列关于2300+（﹣2）301的计算结果正确的是（ ）
A．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300
B．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2﹣1
C．2300+（﹣2）301＝（﹣2）300+（﹣2）301＝（﹣2）601
D．2300+（﹣2）301＝2300+2301＝2601
5．下列各式的因式分解中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果a、b分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（ ）
A．8 B． C．4 D．
7．将分解因式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，那么的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
9．下列因式分解正确的是（ ）
A．2ab2﹣4ab＝2a（b2﹣2b） B．a2＋b2＝（a＋b）（a﹣b）
C．x2＋2xy﹣4y2＝（x﹣y）2 D．﹣my2＋4my﹣4m＝﹣m（2﹣y）2
10．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1
二、填空题
11．把多项式因式分解，结果为________．
12．因式分解：____________．
13．下列多项式：①；②；③；④，它们的公因式是______．
14．对任意实数x，点P(x，x2－2x)一定不在第______象限．
15．已知方程有一根满足为正整数，则___________．
16．因式分解：2a2-4a-6=________．
17．因式分解：x2﹣2x=_______．
18．分解因式：a2b-18ab+81b＝_____．
19．若实数x满足，则______．
20．若a, b, c 满足，则________
三、解答题
21．先化简再求值：，其中
22．已知是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解．
23．已知，．
求：（1）的值；
（2）的值．
24．常见的分解因式的方法有提公 ( http: / / www.21cnjy.com )因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2＋2xy＋y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2＋2xy＋y2﹣16＝（x＋y）2﹣42＝（x＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：21教育网
(1)分解因式：2a2﹣8a＋8；
(2)请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2＋3x﹣3y；
(3)若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．
25．因式分解：
(1)﹣3x3+6x2y﹣3xy2；
(2)3（x+y）（x﹣y）﹣（y﹣x）2．
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