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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·世纪*教育网
专题04 十字相乘法与分组分解法综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．下列各项分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
利用平方差公式对A、C进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；利用十字相乘法对D进行判断．
【详解详析】
解：A、a2 1＝（a＋1）（a 1），所以A选项错误；
B、a2 4a＋2在实数范围内不能因式分解；
C、 b2＋a2＝a2 b2＝（a＋b）（a b），所以C选项正确；
D、x2 2x 3＝（x 3）（x＋1），所以D选项错误．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了因式分解 十字相 ( http: / / www.21cnjy.com )乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．也考查了公式法因式分解．www-2-1-cnjy-com
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
分别根据因式分解的方法：提公因式法，公式法，十字相乘法逐项运算即可．
【详解详析】
A. ，故该选项不符合题意．
B. ，故该选项符合题意．
C. ，不可以继续分解，故该选项不符合题意．
D. ．故该选项不符合题意．
故选B．
【名师指路】
本题考查因式分解．一个多项式有公因式先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．21教育名师原创作品
3．已知中，，若，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据a2﹣ab﹣2b2＝0，即可判断出a和b的关系，然后再根据勾股定理判断出c和b的关系，求出a：b：c化简即可．
【详解详析】
∵a2﹣ab﹣2b2＝0，
∴（a﹣2b）（a+b）＝0，
∴a＝2b，或a＝﹣b（不符合题意），
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2＝4b2+b2＝5b2，
∴c＝b，
∴a：b：c＝2b：b：b＝2：1：．
故选：B．
【名师指路】
本题考查的是因式分解“十字相乘”以及勾股定理的应用，掌握因式分解的方法和勾股定理是解此题的关键．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C．9－6(m－n)+(n－m)=(3－m+n) D．
【标准答案】C
【思路指引】
各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解详析】
A、原式=（x-2）2，错误；
B、原式不能分解，错误；
C、原式=（3-m+n）2，正确；
D、原式=（x2+y2）（x2-y2）=（x2+y2）（x+y）（x-y），错误.
故选：C．
【名师指路】
此题考查因式分解-十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
5．若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（ ）
A．1 B．7 C．11 D．13
【标准答案】B
【思路指引】
将多项式5x2+17x-12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可．
【详解详析】
解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），
所以a=4，b=5，c=-3，
所以a-c=4-（-3）=7，
故选：B．
【名师指路】
本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值是得出正确答案的关键．2·1·c·n·j·y
6．用分组分解的因式，分组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
分组后应用公式法、提公因式法分解，看是否有公因式可提出或者公式法分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．【出处：21教育名师】
【详解详析】
A. ，不能分解，本选项不合题意；
B. ，不能分解，本选项不合题意；
C. ，不能分解，本选项不合题意；
D. ，本选项符合题意；
故选：D
【名师指路】
本题考查了因式分解－分组分解法、公式法、提公因式法，合理分组后能继续分解是解题关键．
7．已知，，则代数式的值为（ ）
A．4 B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可．
【详解详析】
解：因为，，
∴
，
将，代入得：，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解．
8．已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则三角形ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【标准答案】D
【思路指引】
将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，再利用非负数的性质求解即可．
【详解详析】
∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，
∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0，
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
故选D．
【名师指路】
本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．21世纪教育网版权所有
9．已知实数m，n，p，q满足，，则（ ）
A．48 B．36 C．96 D．无法计算
【标准答案】A
【思路指引】
先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【名师指路】
本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多 ( http: / / www.21cnjy.com )项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．
10．下列多项式不能分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
A、原式展开后，利用分组分解法提公因式分解即可；
B、利用分组分解法，再运用公式法分解即可；
C、先对前三项利用“十字相乘法”分解因式，再次利用“十字相乘法”分解因式即可；
D、不能分解.
【详解详析】
A.
能分解，本选项不合题意；
B.
=
能分解，本选项不合题意；
C.
( http: / / www.21cnjy.com / )且
∴原式
能分解，本选项不合题意；
D. ，不能提公因式，不能用公式，不能用十字相乘法，不能分解，符合题意.
故选：D.
【名师指路】
本题考查了对学习过的几种分解因式的方法的记忆和理解，熟练掌握公式结构特征以及各种分解方法是解本题的关键．
二、填空题
11．分解因式_______________．
【标准答案】
【思路指引】
把前面三项作为一组，正好是完全平方公式，再用平方差公式分解即可．
【详解详析】
，
，
，
．
故答案为：(x-y+1)(x-y-1)
【名师指路】
本题考查了因式分解中的分组分解法和公式法，关键是正确分组，注意分组时要保证下一步能够进行，分组的方法可以是两项一组，也可以是三项一组．
12．分解因式：
（1）( )( )( )( )；
（2）( )( )( )( )( )( )( )．
【标准答案】
【思路指引】
（1）先运用平方差公式分解，再运用提公因式进行分解即可；
（2）运用提公因式和平方差公式进行分解即可．
【详解详析】
解（1）
（2）
故答案为：；；；；；；；；；；．
【名师指路】
本题主要考查了因式分解，熟悉掌握因式分解的公式是解题的关键．
13．把分解因式正确的结果是_____________．
【标准答案】
【思路指引】
由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．
【详解详析】
解：
．
故答案为．
【名师指路】
本题考查分组分解法后再用公式因式分解的方法，掌握因式分解的方法，特别是超过三项以上要进行分组考虑是解题关键．www.21-cn-jy.com
14．若，则_________．
【标准答案】2022
【思路指引】
根据，得，然后局部运用因式分解的方法达到降次的目的，整体代入求解即可．
【详解详析】
∵
∴
∴
故填“2022”．
【名师指路】
本题主要考查了因式分解，善于运用因式分解的方法达到降次的目的，渗透整体代入的思想是解决本题的关键．
15．若二次三项式可以分解成与的积的形式，则m＝________，n＝________．
【标准答案】 1
【思路指引】
利用多项式乘以多项式法则计算（x-3）（x+4），得到结果与已知多项式相等，即可求出m，n的值．
【详解详析】
解：由题意：x2+mx+n=（x-3）（x+4），
而（x-3）（x+4）=x2+4x-3x-12=x2+x-12，
则m=1，n=-12．
故答案为：1，-12．
【名师指路】
此题考查了因式分解-十字相乘法，弄清题意是解本题的关键．
16．如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出个多项式的因式分解：___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
首先用四个图形拼成一个大长方形 ( http: / / www.21cnjy.com )，根据长方形的面积公式分别求出四个图形的面积与拼出的大长方形的面积，则四个图形面积之和等于大长方形的面积，即可得出答案．
【详解详析】
将四个图形平成一个大长方形，如图所示，
则大长方形的长为 ，宽为，
图形①的面积为：，
图形②的面积为：，
图形③的面积为：，
图形④的面积为：，
大长方形的面积为：，
∴，
即，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查的是数形结合思想的应用，根据四个图形的面积和等于大图形的面积，利用几何的方法得到多项式的因式分解的形式．21cnjy.com
17．阅读下面材料：
分解因式：．
因为，
设．
比较系数得，．解得．
所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
【标准答案】
【思路指引】
先用十字相乘法分解因式得到，再设，比较系数得到，解方程组即可求解．
【详解详析】
解：
设
比较系数得，，
解得，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．分解因式：
（1）________；（2）________；
（3）________；（4）________；
（5）________；（6）________；
（7）________；（8）________；
（9）________．
【标准答案】
【思路指引】
（1）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（2）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（3）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（4）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（5）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（6）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（7）先提公因式 再利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（8）先利用十字乘法分解因式，再利用平方差公式分解即可；
（9）先把原式化为：，再利用完全平方公式与平方差公式分解即可.
【详解详析】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）
【名师指路】
本题考查的是十字乘法分解因式，分组分解法，利用完全平方公式分解因式，掌握以上因式分解的方法是解题的关键.21·cn·jy·com
19．（________）（________）；
（________）（________）；
（________）（________）；
（_______）（_______）；
（______）（______）；
（______）（______）．
【标准答案】；；；；；
【思路指引】
利用十字相乘法进行因式分解即可得．
【详解详析】
解：；
；
；
；
；
；
故答案为：；；；；；．
【名师指路】
本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．二次三项式，若存在 ，则．【版权所有：21教育】
20．要使多项式x2﹣ax﹣20在整数范围内可因式分解，给出整数a＝____________．
【标准答案】±1或±19或±8
【思路指引】
把﹣20分成20和﹣1，﹣2和10，5和﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )4，﹣5和4，2和﹣10，﹣20和1，进而得出即原式分解为（x+20）（x﹣1），（x﹣2）（x+10），（x+5）（x﹣4），（x﹣5）（x+4），（x+2）（x﹣10），（x﹣20）（x+1），即可得到答案．
【详解详析】
解：当x2﹣ax﹣20＝（x+20）（x﹣1）时，a＝20+（﹣1）＝19，
当x2﹣ax﹣20＝（x﹣2）（x+10）时，a＝﹣2+10＝8，
当x2﹣ax﹣20＝（x+5）（x﹣4）时，a＝5+（﹣4）＝1，
当x2﹣ax﹣20＝（x﹣5）（x+4）时，a＝﹣5+4＝﹣1，
当x2﹣ax﹣20＝（x+2）（x﹣10）时，a＝2+（﹣10）＝﹣8，
当x2﹣ax﹣20＝（x﹣20）（x+1）时，a＝﹣20+1＝﹣19，
综上所述：整数a的值为±1或±19或±8．
故答案为：±1或±19或±8．
【名师指路】
本题主要考查对因式分解 十字相乘法的理解和掌握，理解x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）是解此题的关键．21*cnjy*com
三、解答题
21．因式分解：（y2﹣y）2﹣14（y2﹣y）+24．
【标准答案】（y﹣2）（y+1）（y﹣4）（y+3）
【思路指引】
将看做整体，再十字相乘法因式分解，注意分解要彻底．
【详解详析】
原式＝（y2﹣y﹣2）（y2﹣y﹣12）
＝（y﹣2）（y+1）（y﹣4）（y+3）．
【名师指路】
本题考查了因式分解，掌握十字分解法是解题的关键．
22．因式分解：
(1)
(2)
【标准答案】(1)
(2)-4(6a+b)( a+6b)
【思路指引】
（1）用因式分解法分解即可；
（2）用平方差公式分解即可；
(1)
解：
=
=
=；
(2)
解：
=
=
=(5a-5b+7a+7b)(5a-5b-7a-7b)
=(12a+2b)( -2a-12b)
=-4(6a+b)( a+6b) ．
【名师指路】
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整 ( http: / / www.21cnjy.com )式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．21*cnjy*com
23．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解：
(1)__________．
(2)__________．
(3)__________．
(4)__________．
【标准答案】(1)(x-y)(x+6y)
(2)(x-3a)(x-a-2)
(3)(x+a-3b)(x-a-2b)
(4)(20182x2+1)(x-1)
【思路指引】
（1）将-6y2改写成-y·6，然后根据例题分解即可；
（2）将3a2+6a改写成，然后根据例题分解即可；
（3）先化简，将改写，然后根据例题分解即可；
（4）将改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；
(1)
解：原式=
=(x-y)(x+6y)；
(2)
解：原式=
=(x-3a)(x-a-2)；
(3)
解：原式=
=
=
=(x+a-3b)(x-a-2b)；
(4)
解：原式=
=
=
=(20182x+1)(x-1) ．
【名师指路】
本题考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握二次三项式可用十字相乘法方法得出是解答本题的关键．
24．先阅读下列材料：我们已经学 ( http: / / www.21cnjy.com )过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．21教育网
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
【标准答案】（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)( a－b)
【思路指引】
（1）仿照例题方法分解因式即可；
（2）仿照例题方法分解因式即可；
【详解详析】
解：（1）x2﹣6x﹣7
= x2﹣6x+9－16
=（x－3）2－42
=（x－3+4）(x－3－4)
=(x+1)(x－7)；
（2）a2＋4ab﹣5b2
= a2＋4ab+4b2﹣9b2
=（a+2b）2－(3b)2
=（a+2b +3b）(a+2b－3b)
=(a+5b)( a－b)．
【名师指路】
本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
25．分解因式：a3﹣a2b﹣4a+4b．
【标准答案】（a﹣b）（a+2）（a﹣2）
【思路指引】
先分组，再提公因式，最后用平方差公式进一步进行因式分解．
【详解详析】
解：a3﹣a2b﹣4a+4b
＝（a3﹣4a）﹣（a2b﹣4b）
＝a（a2﹣4）﹣b（a2﹣4）
＝（a﹣b）（a2﹣4）
＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．
【名师指路】
本题考查了因式分解法中的分组法、提公因式法、平方差公式的综合应用，正确地进行分组，找到公因式，并且注意因式分解要彻底，这是解题的关键．2-1-c-n-j-y
26．阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四 ( http: / / www.21cnjy.com )项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：
＝
＝
＝
（1）利用分组分解法分解因式：
①；
②
（2）因式分解：=_______（直接写出结果）．
【标准答案】（1）① ；②；（2）．
【思路指引】
（1）仿照题目所给例题进行分组分解因式即可；
（2）利用平方差和完全平方公式进行分解因式即可．
【详解详析】
解：（1）①
；
②
=
=；
（2）
，
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式分方法．
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本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空 ( http: / / www.21cnjy.com )、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题04 十字相乘法与分组分解法综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．下列各项分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知中，，若，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C．9－6(m－n)+(n－m)=(3－m+n) D．
5．若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（ ）
A．1 B．7 C．11 D．13
6．用分组分解的因式，分组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，则代数式的值为（ ）
A．4 B． C． D．
8．已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则三角形ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
9．已知实数m，n，p，q满足，，则（ ）
A．48 B．36 C．96 D．无法计算
10．下列多项式不能分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．分解因式_______________．
12．分解因式：
（1）( )( )( )( )；
（2）( )( )( )( )( )( )( )．
13．把分解因式正确的结果是_____________．
14．若，则_________．
15．若二次三项式可以分解成与的积的形式，则m＝________，n＝________．
16．如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出个多项式的因式分解：___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
17．阅读下面材料：
分解因式：．
因为，
设．
比较系数得，．解得．
所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
18．分解因式：
（1）________；（2）________；
（3）________；（4）________；
（5）________；（6）________；
（7）________；（8）________；
（9）________．
19．（________）（________）；
（________）（________）；
（________）（________）；
（_______）（_______）；
（______）（______）；
（______）（______）．
20．要使多项式x2﹣ax﹣20在整数范围内可因式分解，给出整数a＝____________．
三、解答题
21．因式分解：（y2﹣y）2﹣14（y2﹣y）+24．
22．因式分解：
(1)
(2)
23．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解：21世纪教育网版权所有
(1)__________．
(2)__________．
(3)__________．
(4)__________．
24．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项 ( http: / / www.21cnjy.com )式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．21教育网
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
25．分解因式：a3﹣a2b﹣4a+4b．
26．阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式， ( http: / / www.21cnjy.com )当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：21·cn·jy·com
因式分解：
＝
＝
＝
（1）利用分组分解法分解因式：
①；
②
（2）因式分解：=_______（直接写出结果）．
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