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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题01 数形思想之三角形的三边关系易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如果a、b、c分别是三角形的三条边，那么化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，6cm B．3cm，4cm，8cm
C．5cm，6cm，10cm D．5cm，6cm，11cm
3．若一个三角形的三边长分别为3，7，x，则x的值可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．11
4．已知线段，下面有四个说法： ①线段长可能为；②线段长可能为；③线段长不可能为；④线段长可能为．所有正确说法的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
5．现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．5cm，8cm，2cm D．4cm，5cm，6cm
7．已知线段AB＝9cm，AC＝5cm，下面 ( http: / / www.21cnjy.com )有四个说法：①线段BC长可能为4cm；②线段BC长可能为14cm；③线段BC长不可能为3cm；④线段BC长可能为9cm．所有正确说法的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
8．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
9．在一次数学课上，老师让学生进行画图，你觉得学生可能会发现的结论是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．三条线段首尾顺次相接能构成三角形
B．三角形的内角和是180°
C．三角形的任意一个外角大于和它不相邻的内角
D．三角形任意两边之和大于第三边
10．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的 ( http: / / www.21cnjy.com )木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10 B．8 C．7 D．5
二、填空题
11．如图，已知空间站A与星球B距离 ( http: / / www.21cnjy.com )为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是_________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是________
13．设a、b、c是△ABC的三边，化简：│a＋b－c│－│a－c－b│＋│c－a－b│＝____．
14．现有长为100cm的铁丝，要截成n（ ( http: / / www.21cnjy.com )n＞2）小段，每小段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，则n的最大值为 ___．21·cn·jy·com
15．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|＋|b﹣c＋a|﹣|c﹣a﹣b|＝___．
16．已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足，且a为方程 的解，则△ABC的周长为___________．【来源：21·世纪·教育·网】
17．现有两根长分别为和的木棒，小明想将其中一根分成两段，做成一个三角形，且三角形的三边均为整数，则可采用的方案有________种．21·世纪*教育网
18．一个三角形的两边分别是3和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是___．
三、解答题
19．给出三个多项式．
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）分别比较A与B、A与C的大小，并说明理由；
（4）若时，A、B、C能否作为同一个三角形的三边长？请说明理由．
20．如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D．
（1）图中有几个三角形；
（2）求证：AB+AC＞PB+PC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
21．已知a，b，c是的三边长，a、b满足，且的周长为偶数，则边长c的值为多少？
22．如图，在同一平面内，点D、E是△ABC外的两点，请按要求完成下列问题．（此题作图不要求写出画法）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)请你判断线段与AC的数量关系是_________，理由是_________________．
(2)连接线段CD，作射线BE、直线DE，在 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形BCDE的边BC、CD、DE、EB上任取一点，分别为点K、L、M、N并顺次连接它们，则四边形KLMN的周长与四边形BCDE周长哪一个大，直接写出结果（不用说出理由）．www.21-cn-jy.com
(3)在四边形KLMN内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离之和最小（作图找到点即可）．
23．如图，直线a∥b，点A，点D在直线b上 ( http: / / www.21cnjy.com )，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点开始沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．www-2-1-cnjy-com
（1）当t＝m为何值时，PC+PD有最小值，求m的值；
（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；
（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．
( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练， ( http: / / www.21cnjy.com )分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题01 数形思想之三角形的三边关系易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如果a、b、c分别是三角形的三条边，那么化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据三角形的三边关系可得，，从而得出，，然后根据绝对值的性质化简即可．
【详解详析】
解：∵a、b、c分别是三角形的三条边，
∴，，
∴，，
∴
=
=
故选B．
【名师指路】
此题考查的是三角形三边关系的应用和化简绝对值，掌握三角形的三边关系和绝对值的性质是解题关键．
2．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，6cm B．3cm，4cm，8cm
C．5cm，6cm，10cm D．5cm，6cm，11cm
【标准答案】C
【思路指引】
根据三角形三边关系解答．
【详解详析】
A、∵2+3<6，∴以此三条线段不能组成三角形；
B、3+4<8，∴以此三条线段不能组成三角形；
C、∵5+6>10，∴以此三条线段能组成三角形；
D、∵5+6=11，∴以此三条线段不能组成三角形；
故选：C．
【名师指路】
此题考查三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．
3．若一个三角形的三边长分别为3，7，x，则x的值可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．11
【标准答案】A
【思路指引】
根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围，得到答案．
【详解详析】
解：∵三角形的三边长分别为3，7，x，
∴7-3＜x＜7+3，
即4＜x＜10，
四个选项中，A中，4＜6＜10，符合题意．
故选：A．
【名师指路】
本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．已知线段，下面有四个说法： ①线段长可能为；②线段长可能为；③线段长不可能为；④线段长可能为．所有正确说法的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【标准答案】C
【思路指引】
直接利用当A，B，C在一条直线上，以及当A，B，C不在一条直线上，分别分析得出答案．
【详解详析】
解：∵线段AB＝8cm，AC＝6cm，
∴如图1，A，B，C在一条直线上，
∴BC＝AB AC＝8 6＝2（cm），故①正确；
如图2，当A，B，C在一条直线上，
∴BC＝AB＋AC＝8＋6＝14（cm），故②正确；
如图3，当A，B，C不在一条直线上，
( http: / / www.21cnjy.com / )
8 6＜BC＜8＋6，
故线段BC可能为5或9，故③错误，④正确．
故选：C．
【名师指路】
此题主要考查了三角形三边关系，正确分类讨论是解题关键．
5．现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解详析】
解：根据三角形三边关系，
∴三角形的第三边x满足：，即，
故选：B．
【名师指路】
本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．5cm，8cm，2cm D．4cm，5cm，6cm
【标准答案】D
【思路指引】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐一判断即可得答案．
【详解详析】
A.，故该选项不能组成三角形；
B.，故该选项不能够组成三角形；
C.，故该选项不能组成三角形；
D.，故该选项能组成三角形．
故选D．
【名师指路】
本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．2·1·c·n·j·y
7．已知线段AB＝9cm， ( http: / / www.21cnjy.com )AC＝5cm，下面有四个说法：①线段BC长可能为4cm；②线段BC长可能为14cm；③线段BC长不可能为3cm；④线段BC长可能为9cm．所有正确说法的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【标准答案】D
【思路指引】
分三种情况： C在线段AB上，C在线段BA的延长线上以及C不在直线AB上结合线段的和差以及三角形三边的关系分别求解即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
解：∵线段AB＝9cm，AC＝5cm，
∴如图1，A，B，C在一条直线上，
∴BC＝AB AC＝9 5＝4（cm），故①正确；
如图2，当A，B，C在一条直线上，
∴BC＝AB＋AC＝9＋5＝14（cm），故②正确；
如图3，当A，B，C不在一条直线上，
( http: / / www.21cnjy.com / )
9 5=4cm＜BC＜9＋5=14cm，
故线段BC可能为9cm，不可能为3cm，故③，④正确．
故选D．
【名师指路】
此题主要考查了三角形三边关系，线段之间的关系，正确分类讨论是解题关键．
8．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【标准答案】D
【思路指引】
先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．21·世纪*教育网
【详解详析】
解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：5-2＜a＜5+2，
即3＜a＜7，
∵a为整数，
∴a的最大值为6，
则三角形的最大周长为6+2+5=13．
故选：D．
【名师指路】
此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
9．在一次数学课上，老师让学生进行画图，你觉得学生可能会发现的结论是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．三条线段首尾顺次相接能构成三角形
B．三角形的内角和是180°
C．三角形的任意一个外角大于和它不相邻的内角
D．三角形任意两边之和大于第三边
【标准答案】D
【思路指引】
根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
【详解详析】
解：①∵a＝8，b＝5，c＝1，
∴a＞b+c，
∴三条线段不能组成三角形；
②∵a＝8，b＝6，c＝2，
∴a＝b+c，
∴三条线段不能组成三角形；
③∵a＝8，b＝6，c＝3，
∴a＜b+c，
∴三条线段能组成三角形；
∴学生可能会发现的结论是三角形任意两边之和大于第三边，
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查了三角形三边关系的应用，准确判断是解题的关键．
10．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲 ( http: / / www.21cnjy.com )的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10 B．8 C．7 D．5
【标准答案】C
【思路指引】
若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；
①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；www-2-1-cnjy-com
②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；【出处：21教育名师】
③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．
故选：C．
【名师指路】
此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．
二、填空题
11．如图，已知空间站A与星球B距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是_________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
根据三角形两边之和等于第三边可得，当A,B,C在同一直线上时，AB+BC=AC，此时S最大.
【详解详析】
当A,B,C不在同一直线上时，AB+BC>AC,当A,B,C在同一直线上时，AB+BC=AC，此时S最大：
故答案为：
【名师指路】
考核知识点：三角形三边关系的应用.理解问题的实质是关键.
12．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是________
【标准答案】10【思路指引】
根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据不等式的性质求出答案．
【详解详析】
设第三边长为x，
∵有两条边分别为3和5，
∴5-3解得2∴2+3+5∵周长L=x+3+5,
∴10故答案为: 10【名师指路】
此题考查三角形三边关系，不等式的性质，熟记三角形的三边关系确定出第三条边长是解题的关键．
13．设a、b、c是△ABC的三边，化简：│a＋b－c│－│a－c－b│＋│c－a－b│＝____．
【标准答案】3a＋b－3c
【思路指引】
直接利用三角形三边关系结合绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解详析】
解：∵a，b，c分别为△ABC的三边，
．
故答案为：．
【名师指路】
此题主要考查了三角形的三边关系以及绝对值，正确去绝对值是解题关键．
14．现有长为100cm的铁丝，要截成 ( http: / / www.21cnjy.com )n（n＞2）小段，每小段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，则n的最大值为 ___．21世纪教育网版权所有
【标准答案】9
【思路指引】
根据三角形的三边关系；三角形两边之和 ( http: / / www.21cnjy.com )大于第三边，由于每段的长为不小于1的整数，所以设最小的是1，又由于其中任意三段都不能拼成三角形，所以每段长是；1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，然后依此类推，最后每段的总和要不大于100即可．21教育名师原创作品
【详解详析】
解：因为n段之和为定值100cm，故 ( http: / / www.21cnjy.com )欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1cm，且任意3段都不能拼成三角形，因此这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，21*cnjy*com
但1+1+2+3+5+8+13+21+34＝88＜100，1+1+2+3+5+8+13+21+34+55＝143＞100，
所以n的最大值为9．
故答案为9．
【名师指路】
本题考查了三角形三边关系，解答本题的关键是保证前两项最短的情况下，使第三项等于前两项之和，这样便不能构成三角形．
15．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|＋|b﹣c＋a|﹣|c﹣a﹣b|＝___．
【标准答案】
【思路指引】
首先根据三角形的三边关系确定a﹣b﹣c<0，b﹣c＋a>0，c﹣a﹣b<0，然后去绝对值，化简即可求得．
【详解详析】
解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴b+c＞a，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c<0，b﹣c＋a>0，c﹣a﹣b<0，
∴|a﹣b﹣c|＋|b﹣c＋a|﹣|c﹣a﹣b||
=
=
=
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了三角形三边关系与绝对值的性质．解此题的关键是要注意符号．
16．已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足，且a为方程 的解，则△ABC的周长为___________．
【标准答案】7
【思路指引】
利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长即可．
【详解详析】
解：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴或，
∵，
∴，
∴△ABC的周长为，
故答案为：7．
【名师指路】
本题主要考查三角形三边关系及绝对值和偶次方的性质，解题关键是熟练掌握三角形三边关系．
17．现有两根长分别为和的木棒，小明想将其中一根分成两段，做成一个三角形，且三角形的三边均为整数，则可采用的方案有________种．21*cnjy*com
【标准答案】2
【思路指引】
根据三角形的任意两边之和大于第三边可得6cm的木棒被分成了两段，再根据三角形的三边均为整数逐个进行讨论即可求得答案．
【详解详析】
解：若4cm的木棒被分成两段，假设长度为a，b，
则a+b＝4，
∵4＜6，
∴a+b＜6，
∴以a，b，6为边长无法构成三角形，
∴6cm的木棒被分成两段，
∵三角形的三边均为整数，
∴当6分为1和5时，
∵1＋4＝5，
∴1，4，5无法构成三角形，
当6分为2和4时，
∵2＋4＞4，
∴2，4，4可以构成三角形，
当6分为3和3时，
∵3＋3＞4，
∴3，3，4可以构成三角形，
综上所述，可以构成三角形的方案有2种，分别为2，4，4和3，3，4，
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系以及分类讨论思想是解决本题的关键．
18．一个三角形的两边分别是3和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是___．
【标准答案】9
【思路指引】
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．
【详解详析】
解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7，
即4＜a＜10，
∵a为整数，
∴a的最大值为9．
故答案为：9．
【名师指路】
此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件．
三、解答题
19．给出三个多项式．
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）分别比较A与B、A与C的大小，并说明理由；
（4）若时，A、B、C能否作为同一个三角形的三边长？请说明理由．
【标准答案】（1）；（2）；（3）；，理由见解析；（4）不能；证明见解析
【思路指引】
（1）计算A-B，去括号，合并同类项即可；
（2）将A，B，C代入，利用整式的混合运算法则计算即可；
（3）分别计算A-B和A-C，根据结果比较即可；
（4）计算B+C，将A利用完全平方公式变形，比较B+C和A的结果可得．
【详解详析】
解：（1）
；
（2）
；
（3）与，
，
∴，
与，
，
∵，
∴，
故；
（4）不能作为同一个三角形的三边长，
∵=B+C，，
∴，
故、、不能同时作为同一个三角形的三边长．
【名师指路】
本题考查了整式的混合运算，三角形的三边关系，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是掌握整式的大小比较方法的使用．【版权所有：21教育】
20．如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D．
（1）图中有几个三角形；
（2）求证：AB+AC＞PB+PC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）5个；（2）证明见解析．
【思路指引】
（1）直接找出图中的三角形即可，注意要不重不漏；
（2）利用三角形的三边关系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，再把两个式子相加进行变形即可．
【详解详析】
（1）图中三角形有△ABC，△ABD，△BPC，△PDC，△BDC，共5个．
（2）证明：∵AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，
∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC，
∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+PC，
∴AB+AC＞PB+PC．
【名师指路】
本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边．
21．已知a，b，c是的三边长，a、b满足，且的周长为偶数，则边长c的值为多少？
【标准答案】7
【思路指引】
根据非负数的性质列式求出a、b ( http: / / www.21cnjy.com )的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据△ABC的周长为偶数求出c的值．
【详解详析】
解：∵a，b满足|a 7|＋（b 2）2＝0，
∴a 7＝0，b 2＝0，
解得a＝7，b＝2，
根据三角形的三边关系，
得7 2＜c＜7＋2，
即：5＜c＜9，
又∵三角形的周长为偶数，a＋b＝9，
∴c＝7．
【名师指路】
本题考查三角形三边关系，非负数的性质：绝对值和偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
22．如图，在同一平面内，点D、E是△ABC外的两点，请按要求完成下列问题．（此题作图不要求写出画法）
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(1)请你判断线段与AC的数量关系是_________，理由是_________________．
(2)连接线段CD，作射线BE、 ( http: / / www.21cnjy.com )直线DE，在四边形BCDE的边BC、CD、DE、EB上任取一点，分别为点K、L、M、N并顺次连接它们，则四边形KLMN的周长与四边形BCDE周长哪一个大，直接写出结果（不用说出理由）．
(3)在四边形KLMN内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离之和最小（作图找到点即可）．
【标准答案】(1)AB+BC＞AC，三角形的两边之和之和大于第三边
(2)作图见解析，四边形KLMN的周长小于四边形BCDE周长
(3)见解析
【思路指引】
（1）根据三角形的两边之和大于等三边判断即可；
（2）根据直线，射线，线段的大于以及题目要求作出图形即可；
（3）连接KM，LN交于点O，点O即为所求．
【小题1】
解：AB+BC＞AC（三角形的两边之和之和大于第三边），
故答案为：AB+BC＞AC，三角形的两边之和之和大于第三边；
【小题2】
如图，线段CD，射线BE，直线DE，四边形KLMN即为所求．四边形KLMN的周长小于四边形BCDE周长．www.21-cn-jy.com
理由是：在△EMN和△BNK和△DLM和△CLK中，
EM+EN＞MN，BN+BK＞KN，DM+DL＞ML，CK+CL＞KL，
∴EN+EM+DM+DL+BN+BK+CL+CK＞MN+NK+ML+KL，
即四边形KLMN的周长小于四边形BCDE周长．
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【小题3】
如图，连接NL，MK，交于点O，点O即为所求，
根据两点之间，线段最短可得：NL≥ON+OL，MK≥MO+KO，
∴点O到四个顶点的距离最短．
【名师指路】
本题考查作图-复杂作图，三角形的两边之和大于等三边等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，灵活应用所学知识解决问题．
23．如图，直线a∥b，点A，点D在直线b ( http: / / www.21cnjy.com )上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点开始沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当t＝m为何值时，PC+PD有最小值，求m的值；
（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；
（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．
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【标准答案】（1）m＝4时，PC+PD ( http: / / www.21cnjy.com )有最小值；（2）当t＜4时，∠PCM+∠PDA＝∠CPD，理由见解析；（3）当t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．
【思路指引】
（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；
（2）当t＜m时，点P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论；
（3）当t＞m时，点P在BE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论．
【详解详析】
解：（1）在△PCD中，PC+PD≥CD，
当取等号时，P，C，D在同一条直线上，即点P与点E重合，
此时PC+PD最小，
∴AP＝AE，
∵AE：BE＝1：2，AB＝12cm，
∴AE＝AB＝4cm，
∴t＝＝4s，
故m＝4时，PC+PD有最小值；
（2）当t＜m即t＜4时，点P在AE上，过点P作PH//a，如图：
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又∵a//b，
∴PH//a//b，
∴∠PCM＝∠CPH，∠PDA＝∠DPH，
∴∠PCM+∠PDA＝∠CPH+∠DPH，
∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，
∴∠PCM+∠PDA＝∠CPD，
∴当t＜4时，∠PCM+∠PDA＝∠CPD；
（3）当t＞m即t＞4时，点P在BE上，过点P作PH//a，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
又∵a//b，
∴PH//a//b，
∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，
∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，
又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，
∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，
即当t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．
【名师指路】
本题主要考查平行线的性质和平行公理的推理，熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线，构造平行线是解题的关键．21·cn·jy·com
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