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编者学科君小注:
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发,供中等及以上学生使用。
思路设计:重在培优训练,分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题,知识难度层层递进,由中等到压轴,基础差的学生选做每种类型题的前4题;基础中等的学生必做前4题、选做5-8题;尖子生全部题型必做,冲刺压轴题。【出处:21教育名师】
专题07 全等三角形综合问题专练(解析版)
错误率:___________易错题号:___________
一、单选题
1.如图,已知∠1=∠2,要得到△ABD≌△ACD,则错误的选法是( )
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A.AB=AC B.DB=DC C.∠ADB=∠ADC D.∠B=∠C
【标准答案】B
【思路指引】
利用全等三角形的判定方法依次分析即可.
【详解详析】
A、AB=AC,∠1=∠2,AD=AD,利用SAS可判定△ABD≌△ACD;故A不满足题意
B、DB=DC,∠1=∠2,AD=AD,利用SSA不可判定△ABD≌△ACD;故B满足题意;
C、∠ADB=∠ADC,∠1=∠2,AD=AD,利用ASA可判定△ABD≌△ACD;故C不满足题意;
D、∠B=∠C,∠1=∠2,AD=AD,利用AAS可判定△ABD≌△ACD;故D不满足题意;
故答案选:B.
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定.熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS是本题解题的关键.
2.如图,,,,,垂足分别是点、,,,则的长是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
【标准答案】C
【思路指引】
根据AAS即可证明△CEB≌△ADC,再利用全等三角形的性质即可求解.
【详解详析】
解:∵BE⊥CE,AD⊥CE,
∴∠E=∠ADC=90°,
∴∠EBC+∠BCE=90°.
∵∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠EBC=∠DCA.
在△CEB和△ADC中,
,
∴△CEB≌△ADC(AAS),
,,
∴BE=DC=3 cm,CE=AD=7cm,
∴DE=EC CD=7 3=4 cm,
故选:C.
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质,正确寻找全等三角形全等的条件是解题的关键.
3.如图,把一张长方形纸片沿对角线折叠,使点落在点处,与相交于点,下列结论错误的是( )21教育名师原创作品
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A. B.
C. D.
【标准答案】A
【思路指引】
由折叠的性质知,,不一定等于,故选项A结论错误;根据两直线平行内错角相等可得,即可推出,故选项B结论正确;由B知, 所以,故选项结论C正确;通过证明,即可得证,故选项D结论正确.
【详解详析】
解: A、由折叠的性质知,,不一定等于,故选项A错误;
B、由折叠的性质知,,
四边形是长方形
故选项B正确;
C、由B知,
故选项C正确;
D、四边形是长方形
在和中
故选项D正确.
故选:A.
【名师指路】
此题考查了矩形的折叠问题,解题的关键是掌握折叠的性质、长方形的性质、两直线平行内错角相等、全等三角形的性质以及判定定理.
4.下列命题是真命题的是( )
A.两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等
B.两边分别相等的两个直角三角形全等
C.一个锐角和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D.两角分别相等且其中一组等角所对的边相等的两个三角形全等
【标准答案】D
【思路指引】
根据三角形的判定定理依次判定分析即可解答.
【详解详析】
A、两边分别相等且其夹角相等的两个三角形全等,原命题是假命题;
B、两直角边分别相等的两个直角三角形全等,原命题是假命题
C、一个锐角和一条直角边分别相等的两个直角三角形不一定全等,原命题是假命题;
D、两角分别相等且其中一组等角所对的边相等的两个三角形全等,是真命题;
故选:D.
【名师指路】
本题主要考查三角形全等的判定,掌握全等三角形的判定方法,即SSS、SAS、ASA、AAS是解题的关键.
5.如图,已知锐角∠AOB.在射线O ( http: / / www.21cnjy.com )A上取一点C,以点O为圆心,OC的长为半径作弧,交射线OB于点D,连结CD;分别以点C,D为圆心,CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内部交于点P,连结CP,DP;作射线OP,交CD于点Q.根据以上作图过程及所作图形,有下列结论①CP//OB;②∠AOP = ∠BOP;③OP⊥CD.其中正确的结论( )
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A.①②③ B.②③ C.①③ D.③
【标准答案】B
【思路指引】
证明△OCP≌△ODP,得到 ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOP = ∠BOP,故②正确;根据OC=OD,∠AOP = ∠BOP,得到OQ⊥CD,故③正确;根据∠CPO 不一定等于∠BOP,得到CP不一定平行OB,故①不正确,问题得解.
【详解详析】
解:由题意得,OC=OD,PC=PD,
又∵OP=OP,
∴△OCP≌△ODP,
∴∠AOP = ∠BOP,故②正确;
∵OC=OD,∠AOP = ∠BOP,
∴OQ⊥CD,即OP⊥CD,故③正确;
由△OCP≌△ODP,
∴∠AOP = ∠BOP,∠CPO = ∠DPO,
但∠CPO 不一定等于∠BOP,
∴CP不一定平行OB,故①不正确.
故选:B
【名师指路】
本题考查了尺规作图,全等三角形性质,等腰三角形性质等知识,理解尺规作图,得到OC=OD,PC=PD,进而得到△OCP≌△ODP是解题关键.21教育网
6.如图,D为∠BAC的外角平分线上一点,过 ( http: / / www.21cnjy.com )D作DE⊥AC于E,DF⊥AB交BA的延长线于F,且满足∠FDE=∠BDC,则下列结论:①△CDE≌△BDF;②CE=AB+AE;③∠BDC=∠BAC;④∠DAF=∠CBD.其中正确的结论有( )【版权所有:21教育】
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【标准答案】D
【思路指引】
利用AAS证明△CDE≌ ( http: / / www.21cnjy.com )△BDF,可判断①④正确;再利用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF,可判断②正确;由∠BAC=∠EDF,∠FDE=∠BDC,可判断③正确.
【详解详析】
解:∵AD平分∠CAF,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴DE=DF,∠DFB=∠DEC=90°,
∵∠FDE=∠BDC,
∴∠FDB=∠EDC,
在△CDE与△BDF中,
,
∴△CDE≌△BDF(AAS),
故①正确;
∴CE=BF,
在Rt△ADE与Rt△ADF中,
,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF,
∴CE=AB+AF=AB+AE,
故②正确;
∵∠DFA=∠DEA=90°,
∴∠EDF+∠FAE=180°,
∵∠BAC+∠FAE=180°,
∴∠FDE=∠BAC,
∵∠FDE=∠BDC,
∴∠BDC=∠BAC,
故③正确;
∵∠FAE是△ABC的外角,
∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB,
∵Rt△CDE≌Rt△BDF,
∴∠ABD=∠DCE,BD=DC,
∴∠DBC=∠DCB,
∴2∠DAF=∠DCE+∠DBC+∠ACB=∠DBC+∠DCB=2∠DBC,
∴∠DAF=∠CBD,
故④正确
故选:D.
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质,外角的性质等,熟悉掌握全等三角形的判定方法,灵活寻找条件是解题的关键.21·世纪*教育网
7.如图,点为的角平分线上一点,,分别为,边上的点,且.作,垂足为,若,则的长为( )2-1-c-n-j-y
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A.10 B.11 C.12 D.15
【标准答案】A
【思路指引】
过点C作于点M,根据角平分线上的点到角两边的距离相等,得到,再通过证明和,得到.
【详解详析】
如图所示,过点C作于点M,
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∵点为的角平分线上一点,
∴,
在和中,
∵,
∴,
∴,
在和中,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴.
故答案选:A.
【名师指路】
本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质.角平分线上的点到角两边的距离相等.一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等.
8.如图,D为∠BAC的外角平分线上一点,过D作DE⊥AC于E,DF⊥AB交BA的延长线于F,且满足∠FDE=∠BDC,则下列结论:①;②;③若∠BAC=80°,则∠CBD=40°:④∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【标准答案】C
【思路指引】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再证明∠FDB=∠EDC,即可证明;根据全等三角形对应边相等可得CE=BF,利用HL证明△ADE≌△ADF,可得AE=AF,然后求出;利用外角定理得2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB,由可得∠ABD=∠DCE,BD=DC,故∠DBC=∠DCB,于是可证明∠DAF=∠CBD;根据∠FDE与∠BAC都与∠FAE互补,可得∠FDE=∠BAC,于是可证∠BDC=∠BAC.
【详解详析】
解:∵AD平分∠FAC,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴DE=DF,∠DEC=∠DFB=90°,
∵∠FDE=∠BDC,
∴∠FDE-∠BDE=∠BDC-∠BDE,即∠FDB=∠EDC,
∴,故①正确;
∵,
∴CE=BF,
∵DE=DF,AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF,
∴AE=AF,
∵BF=AB+AF,
∴;故②正确;
∵∠FAE是△ABC的外角,
∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=180°-80°=100°,
∵,
∴∠ABD=∠DCE,BD=DC,
∴∠DBC=∠DCB,
∴2∠DAF=∠DCE+∠DBC+∠ACB=∠DBC+∠DCB=2∠DBC,
∴∠DAF=∠CBD=50°,故③错误;
∵∠DFA=∠DEA=90°,
∴∠EDF+∠FAE=180°,
∴∠FDE=∠BAC,
∵∠FDE=∠BDC,
∴∠BDC=∠BAC;故④正确;
正确的有①②④,
故选:C.
【名师指路】
此题考查了角平分线上的点 ( http: / / www.21cnjy.com )到角两边距离相等的性质,全等三角形的判定及性质,等腰三角形的性质,熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键.
二、填空题
9.如图,在中,BE平分,于点E,的面积为2,则的面积是______.
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【标准答案】4
【思路指引】
延长AE交BC于D,由已知条件得到,,根据全等三角形的判定和性质可得,利用等底同高找出面积相等的三角形即可得出结论.
【详解详析】
解:延长AE交BC于D,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BE平分,
∴,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,,
∴
故答案为:4.
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定和性质,角平分线的定义,正确的作出辅助线是解题的关键.
10.如图,在中,,,,,是上一点,交于点,若,则图中阴影部分的面积为__________.
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【标准答案】24
【思路指引】
证明△BAF≌△EDF(ASA),则△BAF面积等于△DEF面积,利用割补法可求得阴影部分面积.
【详解详析】
解:∵AB∥CD,
∴∠BAD=∠D,
在△BAF和△EDF中,
,
∴△BAF≌△EDF(ASA),
∴,
∴图中阴影部分面积为,
故答案为:24.
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质,三角形的面积,熟练掌握全等三角形的判定是解决此题的关键.
11.命题“如果两个三角形全等,那么三角形的面积相等”的逆命题是______命题.(填“真”或“假”)
【标准答案】假
【思路指引】
写出这个命题的逆命题,根据全等三角形的判定判断即可.
【详解详析】
命题“如果两个三角形全等,那么三角形的面积相等”的逆命题是“如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等”,逆命题是假命题;
故答案为:假.
【名师指路】
本题考查的是命题的真假判 ( http: / / www.21cnjy.com )断、逆命题的概念,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
12.如图,在△AOB和△COD ( http: / / www.21cnjy.com )中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=50°,连接AC、BD交于点M,连接OM.下列结论:①AC=BD,②∠AMB=50°;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD.其中正确的结论是 _____.(填序号)
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【标准答案】①②④
【思路指引】
由证明得出,,①正确;
由全等三角形的性质得出,由三角形的外角性质得:,得出,②正确;
作于,于,如图所示:则,利用全等三角形对应边上的高相等,得出,由角平分线的判定方法得出平分,④正确;
假设平分,则,由全等三角形的判定定理可得,得,而,所以,而,故③错误;即可得出结论.
【详解详析】
解:,
,
即,
在和中,
,
,
,,故①正确;
,
由三角形的外角性质得:
,
,故②正确;
作于,于,如图所示,
( http: / / www.21cnjy.com / )
则,
,
,
平分,故④正确;
假设平分,则,
在与中,
,
,
,
,
,
而,故③错误;
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为:①②④.
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识;证明三角形全等是解题的关键.
13.如图,已知的面积为15,AD平分,于点D,则的面积是______.
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【标准答案】##7..5
【思路指引】
延长BD交AC于点E,可证得,即可得BD=ED,故和为同底同高的三角形面积相等,即可推出为的一半.
【详解详析】
延长BD交AC于点E
∵AD平分
∴∠BAD=∠EAD
又∵于点D
∴∠ADB=∠ADE=90°
∵
∴
∴BD=ED
∴=,
∴++
∵,
∴
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故答案为:.
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定,由三角形的面积公式为×底×高得出和为同底同高的三角形面积相等是解题的关键.
14.已知:如图,平分,于,于,且.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)若,,则____.
(2)若的面积是, 的面积是,则的面积等于_____.
【标准答案】(1); (2).
【思路指引】
(1)利用角平分线的性质可得,,又因为,根据等角的补角相等得,利用证出,求出,证明,推出,由可得,即可得,从而求得.
(2)利用全等三角形的面积相等,设的面积为,列出方程可求得结果.
【详解详析】
解:(1)∵平分,于,于,
∴,,
∵,,
∴,
在与中,
,
∴(),
∴,,
在与中,
,
∴(),
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
故答案为:.
(2)∵,
∴,
设的面积为,
∵的面积是, 的面积是,
∴,
∴.
即的面积等于,
故答案为:.
【名师指路】
本题考查了角平分线性质,全等三角形的判定和性质的应用,三角形的面积,全等三角形的对应边相等,对应角相等.直角三角形全等的判定定理是,,,,.本题中利用全等三角形的判定和性质是解题的关键.21世纪教育网版权所有
15.如图,把两块大小相同的含 ( http: / / www.21cnjy.com )45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放,点D在边AC上,点E在边BC上,且∠CFE=13°,∠CFD=32°,则∠DEC的度数为_______.21*cnjy*com
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【标准答案】
【思路指引】
作FH垂直于FE,交AC于点H,可证得,由对应边、对应角相等可得出,进而可求出,则.
【详解详析】
作FH垂直于FE,交AC于点H,
∵
又∵,
∴
∵,FA=CF
∴
∴FH=FE
∵
∵
∴
又∵DF=DF
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
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故答案为:.
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定及其性质,作辅助线HF垂直于FE是解题的关键.
16.如图,在中,,,,点C在直线l上.点P从点A出发,在三角形边上沿的路径向终点B运动;点Q从B点出发,在三角形边上沿的路径向终点A运动.点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动,在运动过程中,若有一点先到达终点时,该点停止运动,另一个点要继续运动,直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止.在某时刻,分别过P和Q作于点E,于点F,则点P的运动时间等于_____秒时,与全等.
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【标准答案】2或或12
【思路指引】
根据全等三角形的性质可得CP=CO,然后分不同情况求解关于t的方程即可.
【详解详析】
解:∵△PEC≌△CFQ
∴PC=CQ
分以下五种情况:
①如图1,P在AC上,Q在BC上,
∵PE⊥l,QF⊥1,
∴∠PEC=∠QFC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠EPC+∠PCE=90°,∠PCE+∠QCF=90°,
∴∠EPC=∠OCF,
要使△PEC≌△CFQ,则需PC=CQ,
∵PC=6-t,CQ=8-2t,
∴6-t =8-2t,解得:t=2;
②如图2,P在BC上,Q在AC上,
∵PC=t-6,CQ=2t-8,
∴t-6 =2t-8,解得:t=2;
③如图3:当P、Q都在AC上时,
∵CP=6-t,CQ=2t-8,
∴6-t=2t-8,解得:t=;
④当Q到A点停止,P在BC上时,PC=AC=6,QC=t-6
∴6=t-6,解得:t=12;
⑤P和2都在BC上的情况不存在
∵P的速度是每秒1个单位每秒,Q的速度是2个单位每秒,
∴P和Q都在BC上的情况不存在.
故答案为: 2或或12.
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【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质,灵活运用全等三角形的判定定理以及分类讨论思想成为解答本题的关键.【来源:21·世纪·教育·网】
三、解答题
17.如图,点B、C、E、F在同一直线上,点A、D在BC的异侧,AB=CD,BF=CE,∠B=∠C.
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(1)求证:△ABE≌△DCF;
(2)若∠A+∠D=144°,∠C=30°,求∠AEC的度数.
【标准答案】(1)见解析;
(2)∠AEC=102°
【思路指引】
(1)由BF=CE,得BE=CF,再利用SAS证明△ABE≌△DCF;
(2)由(1)知,∠A=∠D,∠AEB=∠DFC,可知∠D=72°,再利用三角形外角的性质∠DFB=∠C+∠D=102°,从而得出答案.21*cnjy*com
(1)
解:证明:∵BF=CE,
∴BE=CF,
在△ABE与△DCF中,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
(2)
解:由(1)知,△ABE≌△DCF,
∴∠AEB=∠DFC,∠A=∠D,
∵∠AEB+∠AEC=180°
∠DFC+∠DFB=180°
∴∠AEC=∠DFB,
∵∠A+∠D=144°,
∴∠D=72°,
又∵∠C=30°,
∴∠DFB=∠C+∠D=102°,
∴∠AEC=102°.
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质,三角形外角的性质等知识,熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的根据.【来源:21cnj*y.co*m】
18.已知:如图,ED⊥AB,FC⊥AB,垂足分别为D、C,AEBF,且AE=BF.求证:
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(1)△ADE≌△BCF;
(2)AC=BD.
【标准答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路指引】
(1)根据垂直的定义得到∠ADE=∠BCF=90°根据平行线的性质得到∠A=∠B,进而利用全等三角形的判定解答即可;
(2)根据全等三角形的性质即可得到结论.
(1)
证明:∵ED⊥AB,FC⊥AB,
∴∠ADE=∠BCF=90°,
∵AEBF,
∴∠A=∠B,
在△ADE与△BCF中,
,
∴△ADE≌△BCF(AAS);
(2)
∵△ADE≌△BCF,
∴AD=BC,
∴AC=BD.
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质,解此题的关键是推出△AED≌△BFC,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的对应边相等.
19.尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作,其中用到的主要工具就是直尺和圆规,在数学中,我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形.
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尺规作图起源于古希腊的数学课题,只允许使用圆规和直尺,来解决平面几何作图问题.
【作图原理】在两年的数学学习里中,我们认识了 ( http: / / www.21cnjy.com )尺规作图,并学会用尺规作图完成一些作图问题,请仔细思考回顾,判断以下操作能否通过尺规作图实现,可以实现的画√,不能实现的 画×.
(1)过一点作一条直线.( )
(2)过两点作一条直线.( )
(3)画一条长为3㎝的线段.( )
(4)以一点为圆心,给定线段长为半径作圆.( )
【回顾思考】还记得我们用 ( http: / / www.21cnjy.com )尺规作图完成的第一个问题吗?那就是“作一条线段等于已知线段”,接着,我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线,作角平分线,过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关,下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理,请补全过程.
已知:∠AOB.
求作:使
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作法:(1)如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)画一条射线,以点为圆心,OC长为半径画弧,交于点;
(3)以点为圆心,____________________;
(4)过点画射线,则.
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说理:由作法得已知:
求证:
证明:
( )
所以( )
【小试牛刀】请按照上面的范例,完成尺规作图并说理:过直线外一点作已知直线的平行线.
已知:直线与直线外一点A.
求作:过点A的直线,使得.
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【创新应用】现实生活中许多 ( http: / / www.21cnjy.com )图案设计都蕴含着数学原理,下面是一个常见商标的设计示意图.假设你拥有一家书店,请利用你手中的刻度尺和圆规,为你的书店设计一个图案.要求保留作图痕迹,并写出你的设计意图.www.21-cn-jy.com
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【标准答案】【作图原理】(1)√;(2)√;(3)×;(4)√;【回顾思考】作法:以点为圆心,以CD为半径画弧,与第二步中所画的弧相交于;说理:SSS,全等三角形对应角相等;【小试牛刀】答案见解析;【创新应用】答案见解析.www-2-1-cnjy-com
【思路指引】
[作图原理]根据五种基本作图判断即可;
[回顾思考]利用全等三角形的判定解决问题即可;
[小试牛刀]利用同位角相等两直线平行解决问题即可;
[创新应用]答案不唯一,画出图形,说明设计意图即可.
【详解详析】
解:[作图原理]:(1)过一点作一条直线.可以求作;
(2)过两点作一条直线.可以求作;
(3)画一条长为3cm的线段.不可以求作;
(4)以一点为圆心,给定线段长为半径作圆.可以求作;
故答案为:√,√,×,√;
[回顾思考]:作法:(1)如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)画一条射线OA,以点O为圆心,OC长为半径画弧,交OA于点C;
(3)以点C为圆心,以C′为圆心,CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′;
(4)过点D画射线OB,则∠AOB=∠AOB.
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说理:由作法得已知:OC=OC,OD=OD,CD=CD,
求证:∠AOB=∠AOB.
证明:在△OCD和△OCD中,
∴△OCD≌△OCD(SSS),
∴∠AOB=∠AOB(全等三角形的对应角相等),
故答案为:以C′为圆心,CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′,SSS,全等三角形的对应角相等;
[小试牛刀]:如图,直线l′即为所求(方法不唯一),
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[创新应用]:如图所示(答案不唯一),设计意图:书架中隐藏着无限宝藏,
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【名师指路】
本题考查作图 应用与设计作图,全等三角形的判定和性质,平行线的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
20.问题提出
(1)如图①,在中,、分别是和的中点,连接,则与的数量关系是______,位置关系是______;
问题探究
(2)如图②,在四边形中,,,,为中点,连接,求的最大值;
问题解决
(3)如图③,某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园,其中米,,,,由于受地理位置的影响,.根据要求,现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊,且绿色长廊的入口定为的中点,出口定为点,为了尽可能地提高观赏体验,要求绿色长廊最长,试求绿色长廊最长为多少米?
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【标准答案】(1),;(2);(3)米
【思路指引】
(1)根据中位线定理即可得出答案;
(2)取AC的中点F,连接EF、BF,由图在三角形BEF中,,可得当B、E、F三点共线的时候BE最大,此时,根据中位线可得出EF的长度,在中根据勾股定理可得BF的长度,即可得出BE的最大值;
(3)过C作于M点,在AD上截取DN使,连接BN,取CN中点P,连接DP、OP,可证得为正方形,再证明,易证为等腰直角三角形,从而得出的长度,根据中位线定理可得出OP的长度;利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出,再根据可得,当O、P、D三点共线的时OD最大,即可得出答案.
【详解详析】
解:(1)由题可知,、分别是和的中点,
为的中位线,
且;
故答案为:,.
(2)如图,取AC的中点F,连接EF、BF
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、分别是和的中点,
为的中位线,
且,
在中,,
;
如图在中,,
当B、E、F三点共线的时候BE最大,
即此时.
答:的最大值为.
(3)过C作于M点,在AD上截取DN使,连接BN,取CN中点P,连接DP、OP,
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,,
,
为矩形,
,
为正方形,
,
在与中,
,
,,
,
在中,,
;
在中,点P为CN中点,
,
在中,点P、O分别为CN、CB中点,
为的中位线,
且,
在中,,
当O、P、D三点共线的时OD最大,
即此时,
答:绿色长廊最长为米.
【名师指路】
本题考查中位线定理的综合应用, ( http: / / www.21cnjy.com )结合三角形的全等以及三角形三边长度关系,在做此类题目时注意类比每一问之间的关系,一般下一问都会用到上一问的结论和做题思路.21cnjy.com
21.角平分线的探究
【教材再现】
苏科版八上P25页介绍了用尺规作图作角平分线,作法如下:
①如图1,以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交射线OA、OB于点C、D.
②分别以点C、D为圆心,大于CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内部交于点M.
③作射线OM.则射线OM为∠AOB的平分线.
(1)用尺规作图作∠AOB的平分线原理是证明两个三角形全等,那么证明三角形全等依据是 .
【数学思考】
在学习了这个尺规作图作角的平分线后,小亮同学研究了下面的方法画角的平分线(如图2):
①在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC=OD.
②过C作CE⊥OB,垂足为E.过D作DF⊥OA,垂足为F.CE、DF交于点M.
③作射线OM.
(2)请画出图形,并证明OM平分∠AOB.
【问题解决】
(3)已知:如图3,四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中,∠ABC+∠D=180°,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E.试写出线段AB、AD、AE之间的数量关系,并说明理由.2·1·c·n·j·y
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【标准答案】(1)SSS;(2)见解析;(3)AB+AD=2AE
【思路指引】
(1)利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法得出答案;
(2)利用AAS证明△OCE≌△ODF,再运用HL证明Rt△OME≌Rt△OMF,即可得出答案;
(3)过点C作CF⊥AD于F,利用AAS证明△CAE≌△CAF,再运用AAS证明△CDF≌△CBE,即可得出答案.
【详解详析】
解:(1)用尺规作图作∠AOB的平分线原理是证明两个三角形全等,证明三角形全等依据是SSS;
故答案为:SSS;
(2)所画图形如图所示,OM平分∠AOB,
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证明:∵CE⊥OB,DF⊥OA,
∴∠CEO=∠DFO=90°,
在△OCE和△ODF中,
,
∴△OCE≌△ODF(AAS),
∴OE=OF,
∵OM=OM,
∴Rt△OME≌Rt△OMF(HL),
∴∠MOE=∠MOF,
∴OM平分∠AOB.
(3)AB+AD=2AE.理由如下:
如下图,过点C作CF⊥AD于F,
则∠CFA=∠CFD=90°,
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∵CE⊥AB,
∴∠CEA=90°,
∴∠CFA=∠CEA,
∵AC平分∠BAD,
∴∠CAE=∠CAF,
在△CAE和△CAF中,
,
∴△CAE≌△CAF(AAS),
∴AE=AF,CE=CF,
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠CBE=180°,
∴∠CBE=∠D,
在△CDF和△CBE中,
,
∴△CDF≌△CBE(AAS),
∴DF=BE,
∵AB+BE=AE,AD-DF=AF,
∴AB+BE+AD-DF=AE+AF,
∴AB+AD=2AE.
【名师指路】
本题是四边形综合题,主要考查了基本作图,全等三角形判定和性质,正确掌握全等三角形判定和性质是解题关键.21·cn·jy·com
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注:
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发,供中等及以上学生使用。
思路设计:重在培优训练,分选择 ( http: / / www.21cnjy.com )、填空、解答三种类型题,知识难度层层递进,由中等到压轴,基础差的学生选做每种类型题的前4题;基础中等的学生必做前4题、选做5-8题;尖子生全部题型必做,冲刺压轴题。21·cn·jy·com
专题07 全等三角形综合问题专练(原卷版)
错误率:___________易错题号:___________
一、单选题
1.如图,已知∠1=∠2,要得到△ABD≌△ACD,则错误的选法是( )
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A.AB=AC B.DB=DC C.∠ADB=∠ADC D.∠B=∠C
2.如图,,,,,垂足分别是点、,,,则的长是( )
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A. B. C. D.
3.如图,把一张长方形纸片沿对角线折叠,使点落在点处,与相交于点,下列结论错误的是( )2·1·c·n·j·y
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A. B.
C. D.
4.下列命题是真命题的是( )
A.两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等
B.两边分别相等的两个直角三角形全等
C.一个锐角和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D.两角分别相等且其中一组等角所对的边相等的两个三角形全等
5.如图,已知锐角∠AOB.在射线OA上 ( http: / / www.21cnjy.com )取一点C,以点O为圆心,OC的长为半径作弧,交射线OB于点D,连结CD;分别以点C,D为圆心,CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内部交于点P,连结CP,DP;作射线OP,交CD于点Q.根据以上作图过程及所作图形,有下列结论①CP//OB;②∠AOP = ∠BOP;③OP⊥CD.其中正确的结论( )21世纪教育网版权所有
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A.①②③ B.②③ C.①③ D.③
6.如图,D为∠BAC的外角平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线上一点,过D作DE⊥AC于E,DF⊥AB交BA的延长线于F,且满足∠FDE=∠BDC,则下列结论:①△CDE≌△BDF;②CE=AB+AE;③∠BDC=∠BAC;④∠DAF=∠CBD.其中正确的结论有( )2-1-c-n-j-y
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图,点为的角平分线上一点,,分别为,边上的点,且.作,垂足为,若,则的长为( )21教育网
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A.10 B.11 C.12 D.15
8.如图,D为∠BAC的外角平分线上一点,过D作DE⊥AC于E,DF⊥AB交BA的延长线于F,且满足∠FDE=∠BDC,则下列结论:①;②;③若∠BAC=80°,则∠CBD=40°:④∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有( )21*cnjy*com
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
9.如图,在中,BE平分,于点E,的面积为2,则的面积是______.
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10.如图,在中,,,,,是上一点,交于点,若,则图中阴影部分的面积为__________.【出处:21教育名师】
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11.命题“如果两个三角形全等,那么三角形的面积相等”的逆命题是______命题.(填“真”或“假”)
12.如图,在△AOB和 ( http: / / www.21cnjy.com )△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=50°,连接AC、BD交于点M,连接OM.下列结论:①AC=BD,②∠AMB=50°;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD.其中正确的结论是 _____.(填序号)【版权所有:21教育】
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13.如图,已知的面积为15,AD平分,于点D,则的面积是______.
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14.已知:如图,平分,于,于,且.
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(1)若,,则____.
(2)若的面积是, 的面积是,则的面积等于_____.
15.如图,把两块大小相同的含4 ( http: / / www.21cnjy.com )5°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放,点D在边AC上,点E在边BC上,且∠CFE=13°,∠CFD=32°,则∠DEC的度数为_______.www-2-1-cnjy-com
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16.如图,在中,,,,点C在直线l上.点P从点A出发,在三角形边上沿的路径向终点B运动;点Q从B点出发,在三角形边上沿的路径向终点A运动.点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动,在运动过程中,若有一点先到达终点时,该点停止运动,另一个点要继续运动,直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止.在某时刻,分别过P和Q作于点E,于点F,则点P的运动时间等于_____秒时,与全等.
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三、解答题
17.如图,点B、C、E、F在同一直线上,点A、D在BC的异侧,AB=CD,BF=CE,∠B=∠C.
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(1)求证:△ABE≌△DCF;
(2)若∠A+∠D=144°,∠C=30°,求∠AEC的度数.
18.已知:如图,ED⊥AB,FC⊥AB,垂足分别为D、C,AEBF,且AE=BF.求证:
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(1)△ADE≌△BCF;
(2)AC=BD.
19.尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作,其中用到的主要工具就是直尺和圆规,在数学中,我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形.21·世纪*教育网
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尺规作图起源于古希腊的数学课题,只允许使用圆规和直尺,来解决平面几何作图问题.
【作图原理】在两年的数学学习里中 ( http: / / www.21cnjy.com ),我们认识了尺规作图,并学会用尺规作图完成一些作图问题,请仔细思考回顾,判断以下操作能否通过尺规作图实现,可以实现的画√,不能实现的 画×.
(1)过一点作一条直线.( )
(2)过两点作一条直线.( )
(3)画一条长为3㎝的线段.( )
(4)以一点为圆心,给定线段长为半径作圆.( )
【回顾思考】还记得我们用尺规作 ( http: / / www.21cnjy.com )图完成的第一个问题吗?那就是“作一条线段等于已知线段”,接着,我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线,作角平分线,过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关,下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理,请补全过程.
已知:∠AOB.
求作:使
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作法:(1)如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)画一条射线,以点为圆心,OC长为半径画弧,交于点;
(3)以点为圆心,____________________;
(4)过点画射线,则.
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说理:由作法得已知:
求证:
证明:
( )
所以( )
【小试牛刀】请按照上面的范例,完成尺规作图并说理:过直线外一点作已知直线的平行线.
已知:直线与直线外一点A.
求作:过点A的直线,使得.
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【创新应用】现实生活中许多图案 ( http: / / www.21cnjy.com )设计都蕴含着数学原理,下面是一个常见商标的设计示意图.假设你拥有一家书店,请利用你手中的刻度尺和圆规,为你的书店设计一个图案.要求保留作图痕迹,并写出你的设计意图.【来源:21cnj*y.co*m】
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20.问题提出
(1)如图①,在中,、分别是和的中点,连接,则与的数量关系是______,位置关系是______;21cnjy.com
问题探究
(2)如图②,在四边形中,,,,为中点,连接,求的最大值;
问题解决
(3)如图③,某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园,其中米,,,,由于受地理位置的影响,.根据要求,现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊,且绿色长廊的入口定为的中点,出口定为点,为了尽可能地提高观赏体验,要求绿色长廊最长,试求绿色长廊最长为多少米?www.21-cn-jy.com
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21.角平分线的探究
【教材再现】
苏科版八上P25页介绍了用尺规作图作角平分线,作法如下:
①如图1,以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交射线OA、OB于点C、D.
②分别以点C、D为圆心,大于CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内部交于点M.
③作射线OM.则射线OM为∠AOB的平分线.
(1)用尺规作图作∠AOB的平分线原理是证明两个三角形全等,那么证明三角形全等依据是 .
【数学思考】
在学习了这个尺规作图作角的平分线后,小亮同学研究了下面的方法画角的平分线(如图2):
①在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC=OD.
②过C作CE⊥OB,垂足为E.过D作DF⊥OA,垂足为F.CE、DF交于点M.
③作射线OM.
(2)请画出图形,并证明OM平分∠AOB.
【问题解决】
(3)已知:如图3,四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中,∠ABC+∠D=180°,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E.试写出线段AB、AD、AE之间的数量关系,并说明理由.【来源:21·世纪·教育·网】
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