中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空 ( http: / / www.21cnjy.com )、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题06 几何模型之倍长中线模型专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3
2．在中，，中线，则边的取值范围（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（ ）
A．1＜AB＜11 B．4＜AB＜13 C．4＜AB＜16 D．11＜AB＜16
4．如图，在中，，是中线，是角平分线，点是上任意一点（不与，重合），连接、．给出以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4
6．如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．7 C．8 D．9
7．如图，己知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8
8．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为 21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．以上都有可能
二、填空题
9．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x的取值范围是_____．
10．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝3cm，AC＝5cm，则AD的取值范围是_______．
11．在中，是边上的中线，若，则长的取值范围是_________．
12．已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=4，AD=5，则边AC的取值范围是______ ．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
15．在中，AB＝6，AC＝10，那么中线AD边的取值范围是 ___．
三、解答题
16．如图，为中边上的中线．
（1）求证：；
（2）若，，求的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com / )
17．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求a，b的值；
(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．
18．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
19．如图，中，，E是的中点，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
20．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．
【理解与应用】
如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com / )
21．如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证；
（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解 ( http: / / www.21cnjy.com )答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育名师原创作品
专题06 几何模型之倍长中线模型专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3【标准答案】B
【思路指引】
延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论．
【详解详析】
解：延长AD到E，使AD=DE，连结BE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE．
∵AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．
∵AB=8，AC=5，
∴1.5＜AD＜6.5．
故选：B
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
2．在中，，中线，则边的取值范围（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
延长AD至E，使DE=AD ( http: / / www.21cnjy.com )，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【详解详析】
解：如图，延长AD至E，使DE=AD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AD=7，
∴AE=7+7=14，
∵14+5=19，14-5=9，
∴9＜CE＜19，
即9＜AB＜19．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
3．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（ ）
A．1＜AB＜11 B．4＜AB＜13 C．4＜AB＜16 D．11＜AB＜16
【标准答案】C
【思路指引】
作出图形，延长AD至E，使DE＝AD， ( http: / / www.21cnjy.com )然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【详解详析】
如图，延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE，
∵AD＝5，
∴AE＝5＋5＝10，
∵10＋6＝16，10 6＝4，
∴4＜CE＜16，
即4＜AB＜16．
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．【出处：21教育名师】
4．如图，在中，，是中线，是角平分线，点是上任意一点（不与，重合），连接、．给出以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．个 B．个 C．个 D．个
【标准答案】B
【思路指引】
①根据面积法可得，，从而可得①正确；②由是中线，无法得出，故可判断②错误；③运用SAS证明得，在中运用三角形三边关系可得结论，从而判断③；④在上截取，连接，运用证明得，在中运用三角形三边关系可得结论，从而判断④．
【详解详析】
解：①过作于，于，过作于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是角平分线，，，
，
，
，
，故①正确；
②
，
平分，
，
是中线，
无法得出，故②错误；
③延长到使，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是中线，
，
在和中，
在中，
，，
，故③正确；
④在上截取，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是角平分线，
，
在和中，
，
，
在中，，
，
即，故④正确；
综上①③④正确．
故选B．
【名师指路】
此题主要考查了三角形的中线，角平分线以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线．
5．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4
【标准答案】B
【思路指引】
先延长到，且，并连接，由于，，利用易证，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，可得，从而易求．
【详解详析】
解：延长到，使，连接，则AE=2AD，
∵，，，
∴，
，
在中，，
即，
∴．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：．
【名师指路】
此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
6．如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．7 C．8 D．9
【标准答案】A
【思路指引】
延长AD到E，使AD=DE，证明△ADC≌△EDB，然后利用三边关系即可得出结论．
【详解详析】
解：延长AD到E，使AD=DE=4，连接BE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵D是BC的中点，
∴BD=CD
又∠BDE=∠CDA
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=3
由三角形三边关系得，
即：
故选：A
【名师指路】
此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
7．如图，己知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8
【标准答案】B
【思路指引】
如图所示，延长AD到E，使，连接CE，先证，得，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围．2·1·c·n·j·y
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图所示，延长AD到E，使，连接CE，
AD是△ABC中BC边上的中线，
，
在与中，
，
，
，
在中，由三角形三边关系得：
，
，，
，
．
【名师指路】
本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为 【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．以上都有可能
【标准答案】C
【思路指引】
如图，延长ED到T，使得DT＝DE ( http: / / www.21cnjy.com )，连接CT，TF，证明△EDB≌△TDC（SAS），推出BE＝CT，由CT＋CF＞FT，可得BE＋CF＞EF．
【详解详析】
解：如图，延长到，使得，连接，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．21·世纪*教育网
二、填空题
9．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x的取值范围是_____．
【标准答案】1＜x＜5．
【思路指引】
由“SAS”可证△BDE≌△CDA，可得BE ( http: / / www.21cnjy.com )＝AC＝6，AE＝2x，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【详解详析】
解：如图所示，AB＝4，AC＝6，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE、EC，设AD＝x，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在△BDE与△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，AE＝2x，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜2x＜6+4，
∴1＜x＜5，
故答案为：1＜x＜5．
【名师指路】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意构造全等三角形及三角形的三边关系．
10．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝3cm，AC＝5cm，则AD的取值范围是_______．
【标准答案】1＜AD＜4
【思路指引】
连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接 ( http: / / www.21cnjy.com )BE，利用SAS证得△BDE≌△CDA，进而得到BE=CA，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE的取值范围，进而求出AD的取值范围．
【详解详析】
如图，连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，
∵在△ABC中，AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴BE=CA=5
在△ABE中，AB+BE>AE，且AB﹣BE＜AE
∵AB=3，AC=5
∴2＜AE＜8
∴1＜AD＜4
故答案为：1＜AD＜4．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考点涉及三角形全等的判定及性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
11．在中，是边上的中线，若，则长的取值范围是_________．
【标准答案】
【思路指引】
利用中线的性质，作辅助线AD=DE，构造全等三角形，再有全等三角形对应边相等的性质，解得，最后由三角形三边关系解题即可．
【详解详析】
如图，AD为BC边上的中线,延长AD至点E，使得AD=DE
( http: / / www.21cnjy.com / )
在△ADB和△EDC中
故答案为：．
【名师指路】
本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．
12．已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=4，AD=5，则边AC的取值范围是______ ．
【标准答案】
【思路指引】
延长AD至点E，使AD=DE，由全等三角形的判定定理得出△ACD≌△EBD，故AC=BE，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【详解详析】
解：延长AD至点E，使AD=DE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在△ACD与△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=BE．
在△ABE中，∵AB=4，AE=2AD=10，
∴10-4＜BE＜10+4，即6＜BE＜14，
∴6＜AC＜14．
故答案为：6＜AC＜14．
【名师指路】
本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】4
【思路指引】
根据垂直的定义得到∠BCD=，延长CD到H使DH=CD，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
∵ DC⊥BC，
∴ ∠BCD=，
∵ ∠ACB=，
∴ ∠ACD=，
如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵ D 为 AB 的中点，
∴ AD=BD，
在 ΔADH 与 ΔBCD 中，
，
∴ ΔADH ΔBCD(SAS)，
∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，
∴点A到CD的距离为4，
故答案为：4．
【名师指路】
本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
14．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
延长AD至点E，使DE=AD，证明,由全等性质求出相关的线段长度，在中，由，代入数值即可得到答案．21*cnjy*com
【详解详析】
解：延长AD至点E，使DE=AD，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在和中：
∴
∴
∵AD=5
∴AE=10
在中，由得：
即：
故答案为：
【名师指路】
本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键．
15．在中，AB＝6，AC＝10，那么中线AD边的取值范围是 ___．
【标准答案】
【思路指引】
延长到点，使，连接，得出，推出，再根据三角形三边关系定理即可得出答案．
【详解详析】
解：如图，延长到点，使，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是中线，
，
在和中，
，
，
，
∵在中，，
∴，
，
，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
三、解答题
16．如图，为中边上的中线．
（1）求证：；
（2）若，，求的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1），（2）
【思路指引】
（1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，利用等量代换可得；21·cn·jy·com
（2）把，代入（1）的结论里，再解不等式即可．
【详解详析】
（1）证明：如图延长至，使，连接，
∵为中边上的中线，
∴，
在和中：
，
∴，
∴（全等三角形的对应边相等），
在中，由三角形的三边关系可得，
即；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）解：∵，，
由（1）可得，
∴，
∴．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键．
17．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求a，b的值；
(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．
【标准答案】(1)，
(2)2【思路指引】
（1）把展开，然后根据多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；21教育网
（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB≌△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)
解：∵
，
根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
∴，解得：；
(2)
解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CD是AB边上的中线，
∴BD=AD，
在△CDB和△HDA中，
∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，
∴△CDB≌△HDA（SAS），
∴BC=AH=a=6，
在△ACH中，AC-AH∴10-6<2CD<10+6，
∴2【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘 ( http: / / www.21cnjy.com )法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．
18．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）①见解析；②；（3）MN=2BD，理由见解析
【思路指引】
（1）①只需要利用SAS证明△CED≌△ABD即可；
②根据△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三边的关系可得即则，再由，可得；
（2），延长BD到E使得DE=B ( http: / / www.21cnjy.com )D，同（1）原理可证△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后证明∠BAE=∠MBN，则可证△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．
【详解详析】
解：（1）①∵BD是三角形ABC的中线，
∴AD=CD，
又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，
∴△CED≌△ABD（SAS）；
②∵△CED≌△ABD，
∴AB=CE，
∵，
∴即，
又∵，
∴；
故答案为：；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）MN=2BD，理由如下：
如图所示，延长BD到E使得DE=BD，
同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS），
∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，
∵BC=BN，
∴AE=BN，
∵∠ABM=∠NBC=90°，
∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAE+∠ABC=180°，
∴∠BAE=∠MBN，
又∵AB=BM，
∴△BAE≌△MBN（SAS），
∴MN=BE，
∵BE=BD+ED=2BD，
∴MN=2BD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等．21cnjy.com
19．如图，中，，E是的中点，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】见解析
【思路指引】
利用中线加倍证（），可得，，由，可得进而可证.，再证（）即可．
【详解详析】
证明：延长到F，使，连结 ，
∵E是中点，
∴ ，
∴在和中，
，
∴（），
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，，
∵，
∴，
又∵，
，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴ ．
【名师指路】
本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．www-2-1-cnjy-com
20．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．
【理解与应用】
如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x＜4
【思路指引】
[探究与发现]由ASA证明△ABC≌△EDC即可；
[理解与应用]（1）延长 ( http: / / www.21cnjy.com )AE到F，使EF=EA，连接DF，证△DEF≌△CEA（SAS），得AC=FD，再证△ABD≌△AFD（AAS），得BD=FD，即可得出结论；21*cnjy*com
（2）由全等三角形的性质得AB=AF=2x，再由三角形的三边关系得AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：[探究与发现]
证明：∵DE∥AB，
∴∠B=∠D，
又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC（ASA）；
[理解与应用]
（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点E是CD的中点，
∴ED=EC，
在△DEF与△CEA中，
，
∴△DEF≌△CEA（SAS），
∴AC=FD，
∴∠AFD=∠CAE，
∵∠CAE=∠B，
∴∠AFD=∠B，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠FAD，
在△ABD与△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（AAS），
∴BD=FD，
∴AC=BD；
（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，
∴AB=AF=2x，
∵BD=3，AD=5，
在△ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，
即5-3＜2x＜5+3，
解得：1＜x＜4，
即x的取值范围是1＜x＜4．
【名师指路】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质、平行线的性质、角平分线定义以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证；
（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
【标准答案】（1）见解析；（2）
【思路指引】
（1）延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案；
（2）如图所示，作，可证，由全等三角形的性质相等角从而得出，进而得出，故可证等量转化即可求出的值．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
（1）如图1所示，延长至点，使，
在与中，
，
，
，
，
，
在与中，
,
，
，
；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图所示，，
，
平分，，
，
，，
，作，
在与中，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
设，
，，
．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)