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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题03 数形思想之三角形的内角和定理综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，已知直线1交直线a，b于A，B两点，且a∥b，E是a上的点，F是b上的点，满足∠DAE=∠BAE，∠DBF=∠ABF，则∠ADB的度数是（ ）【出处：21教育名师】
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A．45° B．50° C．60° D．无法确定
【标准答案】A
【思路指引】
根据平行线的性质可得∠BAE+∠ABF=180°，然后结合已知条件可求出∠DAB+∠DBA，再利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解详析】
解：∵a∥b，
∴∠BAE+∠ABF=180°，
∵∠DAE=∠BAE，∠DBF=∠ABF，
∴∠DAB=∠BAE，∠DBA=∠ABF，
∴∠DAB+∠DBA=(∠BAE+∠ABF)=×180°=135°，
∴∠ADB=180°－（∠DAB+∠DBA）=45°．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
2．如图，已知，平分，，则为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据平角的性质可得出∠ABC的度数，再根 ( http: / / www.21cnjy.com )据平行线的性质两直线平行内错角相等，可得出∠BCD等于∠ABC，由CE平分∠ACD，可得出∠ACD的度数，再由平行线的性质两直线平行同旁内角互补，即可得出答案．
【详解详析】
解：∵∠ABE=150°，
∴∠ABC=30°，
又∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=30°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠BCD=60°，
又∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD=180°，
∴∠A=180°-∠ACD=180°-60°=120°．
故选：B．
【名师指路】
主要考查了平行线的性质及角平分线，合理利用平行线的性质进行计算是解决本题的关键．
3．如图所示，将正六边形与正五边形按此方式 ( http: / / www.21cnjy.com )摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠COF的度数是（ ）
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A．86° B．84° C．76° D．74°
【标准答案】B
【思路指引】
利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题．
【详解详析】
解：由题意：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故选：B．
【名师指路】
本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
4．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
首先根据对顶角相等得到∠β=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )DGB，则∠α+∠β=∠α+∠DGB，在四边形DHBG中根据四边形内角和为360°，分别求出∠D、∠B的度数，最后进行计算即可得到答案．2·1·c·n·j·y
【详解详析】
解：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D=30°
∴∠B=∠C-∠A=45°
在四边形DHBG中，∠D+∠α+∠B+∠BGD=360°
又∵∠β=∠DGB
∴∠D+∠α+∠B+ ∠β=360°
∴∠α+∠β=360°-∠D-∠B=285°
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故选：B
【名师指路】
本题主要考查了三角形的内角和，四边形的内角和，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点．21教育名师原创作品
5．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（ ）
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A．114° B．142° C．147° D．156°
【标准答案】C
【思路指引】
根据平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理计算即可；
【详解详析】
∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，
∴，
∵a∥b，
∴，
又∵BC平分∠ABD，
∴，
∴；
故答案选C．
【名师指路】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
6．如图，把△ABC纸片沿DE折叠 ( http: / / www.21cnjy.com )，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
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A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2 C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2（∠1＋∠2）
【标准答案】B
【思路指引】
在△ABC、四边形BCDE和△A′DE中，分别根据内角和列式，三式联立再结合折叠的性质可得2∠A′＝∠1＋∠2，则知结果．
【详解详析】
解：如图，连接DE，
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在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A′＋∠B＋∠C＝180°①．
在△A′DE中∠A′＋∠A′DE＋∠A′ED＝180°②；
在四边形BCDE中∠B＋∠C＋∠1＋∠2＋∠A′DE＋∠A′ED＝360°③；
①＋②﹣③得2∠A′＝∠1＋∠2，
即2∠A＝∠1＋∠2．
故答案为：B．
【名师指路】
本题考查了三角形内角和定理，多边形内角和，折叠问题的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
7．如图，中，，将沿DE折叠，点A落在F处，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
由折叠得到∠A与∠F的关系， ( http: / / www.21cnjy.com )利用四边形的内角和得到∠ADF+∠AEF = 360°-∠A - ∠F = 300°，再利用平角得到∠FDB+ ∠FEC = 180°-∠ADF+180°-∠AEF，可得到最终结果．
【详解详析】
△DEF是由△DEA折叠而成的，
∠A = ∠F = 30°，
∠A+∠ADF+∠AEF+∠F = 360°，
∠ADF+∠AEF = 360°-∠A - ∠F = 300°，
∠BDF = 180°-∠ADF，
∠FEC= 180°-∠AEF，
∠FDB+ ∠FEC = 180°-∠ADF+180°-∠AEF
= 360°-(∠ADF+∠AEF)
= 360°- 300°
= 60°．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了四边形的内角和，掌握折叠的性质及三角形的内角和定理是解决本题的关键．
8．具备下列条件是△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．∠A：∠B：∠C＝1：3：4 D．∠A＝2∠B＝3∠C
【标准答案】D
【思路指引】
分别求出各个选项中，三角形的最大的内角，即可判断．
【详解详析】
解：A、由，可以推出，本选项不符合题意．
B、由，可以推出，本选项不符合题意．
C、由，可以推出，本选项不符合题意，
D、由，推出，是钝角三角形，本选项符合题意．
故选：D．
【名师指路】
本题考查三角形内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键．
9．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）21·cn·jy·com
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A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】D
【思路指引】
由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的定义可判断②，如图，延长交于 先求解 从而可判断③④，于是可得答案.www.21-cn-jy.com
【详解详析】
解：由题意得：
故①符合题意；
故②符合题意；
如图，延长交于
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故③④符合题意；
综上：符合题意的有①②③④
故选D
【名师指路】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的两个锐角都为，掌握以上基础知识是解本题的关键.【版权所有：21教育】
10．下列结论：①一个三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，则相应的3个内角度数之比为；②在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；③在图形的平移中，连接对应点的线段互相平行且相等；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加；⑤一个五边形最多有3个内角是直角；⑥两条直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．其中错误结论有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【标准答案】B
【思路指引】
①根据三角形的外角和定理及内角和定理分别求出各对应角的度数即可解答；②根据三角形的内角和定理解答即可；③根据平移的性质解答即可；④根据多边形的内角和定理解答即可；⑤由五边形的内角和为540°及多边形的每个内角不等于解答；⑥由角平分线的性质及三角形内角和定理解答即可 ．
【详解详析】
解：①错误，设三角形的 3 个外角的度数分别为，，，
∴，解得
个外角的度数分别为，，，
其对应的内角分别为、、，
个内角度数之比为；
②错误， 设，则，，，解得，
；
③错误， 根据平移的性质可知， 在图形的平移中， 连接对应点的线段互相平行或在一条直线上；
④正确，多边形的内角和为，边数每增加一条， 这个多边形的内角和就增加；
⑤正确，五边形的内角和为，假设有四个角为直角， 则另外一个角的度数为，故有四个直角不成立，一个五边形最多有 3 个内角是直角；
⑥错误， 两条平行直线被第三条直线所截， 同旁内角的角平分线互相垂直 ．
综上所述：错误的个数为4个．
故选：B．
【点评】
此题比较复杂， 涉及到多边形及三角形的内角和定理， 平行线的性质， 涉及面较广， 但难易适中 ．
二、填空题
11．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是_____．21*cnjy*com
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【标准答案】60
【思路指引】
根据五边形的内角和求出∠BCD和∠CDE的和，再根据角平分线及三角形内角和求出∠CPD．
【详解详析】
解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝120°，
∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°．
故答案是：60．
【名师指路】
本题解题的关键是知道多边形内角和定理以及角平分线的性质．
12．将正三角形、正方形、正五边形，按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点都在另一个图形的一条边上，则__________度．
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【标准答案】102°
【思路指引】
根据领补角的定义、正多边形的内角和及三角形内角和进行求解即可．
【详解详析】
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意得，如图所示，正五边形的每个内角为108°，正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°，
所以，，，
因为，所以可得．
故答案为102°．
【名师指路】
本题主要考查三角形内角和、正多边形的内角，关键是根据图形得到角之间的等量关系，然后利用三角形内角和进行求解即可．
13．如图，在△ABC，AD 是角平分线， ( http: / / www.21cnjy.com )AE 是中线，AF 是高．如果BC＝10cm，那么 BE＝_____；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠DAF＝_____°．
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【标准答案】 5 cm 10
【思路指引】
熟悉三角形的角平分线、中线、高 ( http: / / www.21cnjy.com )的概念：三角形的一个角的平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；连接顶点和对边中点的线段叫三角形的中线；
三角形的高即从顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念，运用几何式子表示．
【详解详析】
解：∵在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，BC＝10cm，
∴BE＝5cm，
∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝180° 40° 60°＝80°，
∴∠CAD＝40°，
∵AF是高，
∴∠CAF＝90° 60°＝30°，
∴∠DAF＝40° 30°＝10°，
故答案为：5cm；10°．
【名师指路】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高．此题是一道基础题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．
14．如图，如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=________．
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【标准答案】
【思路指引】
连接BC、AD．根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和是180°进行分析求解．
【详解详析】
解：如图，连接BC、AD．
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在四边形BCEG中，得∠E+∠G+∠ECB+∠GBC=360°，
又因为∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠F=180°，
∠4+∠5+∠3+∠6=∠CAF+∠BDF，即∠1+∠2+∠5+∠6=∠CAF+∠BDF，
所以∠CAF+∠B+∠C+∠BDF+∠E+∠F+∠G=540°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．
故答案为：540°．
【名师指路】
本题考查了四边形内角和定理以及三角形内角和定理，解题的关键是能够巧妙构造四边形，根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理进行求解．
15．如图，在△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的有 ___．
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．
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【标准答案】①②③
【思路指引】
根据三角形中线的性质可证明①；根据 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的高线可得∠ABC=∠CAD，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AFC=∠AGF，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【详解详析】
解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠ABC=∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF=∠BCF=∠ACB，
∵∠AFC=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC=∠AGF=∠AFG，
故②正确；
∵∠BAD+∠CAD=∠ACB+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠BAD=2∠ACF，
即∠FAG=2∠ACF，故③正确；
因为CF是∠ACB的角平分线，只有AC=BC时，才能得到AF=FB，
由已知∠BAC=90°，则有AC＜BC，所以AF≠FB
根据已知条件无法证明AF=FB，故④错误，
故答案为：①②③．
【名师指路】
本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．
16．如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，给出下列结论：①是的余角；②图中互余的角共有3对；③的补角只有；④与互补的角共有3个，其中正确结论有______（把你认为正确的结论的序号都填上）．
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【标准答案】①④##④①
【思路指引】
根据垂直定义可得∠BAC=90°，∠ADC=∠ADB=∠CAE=90°，结合三角形的内角和，然后再根据余角定义和补角定义逐一进行分析即可．
【详解详析】
解： ，
是的余角；故①符合题意；
，
互为余角，互为余角，
，
互为余角，
所以图中互余的角共有4对，故②不符合题意；
与互补；
∵∠1+∠DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠DAE=180°，
∴∠1+∠DAE=180°，
∴∠1与∠DAE互补， 故③不符合题意；
，
所以与互补的角有 共3个，故④符合题意；
所以正确的结论有：①④
故答案为：①④
【名师指路】
本题考查的是垂直的定义，互余，互补的含义，三角形的内角和定理，掌握“互为余角的两个角之和为 互为补角是两个角之和为”是解本题的关键.
17．如图，将ABC沿着DE对折，点A落到处，若，则∠A＝______度．
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【标准答案】40
【思路指引】
根据折叠的性质得∠ADE=∠A'DE，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )ED=∠A'ED，再根据平角的定义得∠BDA'+∠CEA'+2∠ADE+2∠AED=360°，从而有∠ADE+∠AED=140°，再利用三角形内角和定理求出∠A的度数．
【详解详析】
解：∵将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，
∴∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，
∵∠BDA'+∠A'DE+∠ADE=180°，∠AED+∠A'ED+∠CEA'=180°，
∴∠BDA'+∠CEA'+2∠ADE+2∠AED=360°，
∵∠BDA'+∠CEA'=80°，
∴2（∠ADE+∠AED）=360°-80°=280°，
∴∠ADE+∠AED=140°，
∴∠A=180°-（∠ADE+∠AED）=180°-140°=40°，
故答案为：40．
【名师指路】
本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，运用整体思想求出∠ADE+∠AED=140°，是解题的关键．
18．如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝40°，则∠ACD等于 _____°．
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【标准答案】
【思路指引】
根据可得，再根据两直线平行内错角相等可得，再根据三角形内角和定理即可求出∠ACD的度数．
【详解详析】
解：
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了平行线的计算问题，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等和三角形内角和定理．
19．如图，BE、CE分别为的内、外角平分线，BF、CF分别为的内、外角平分线，若，则_______度．
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【标准答案】13
【思路指引】
根据BF，CF分别为△EBC的内、外角平分线分别设，，再根据BE，CE分别为△ABC的内，外角平分线，得到和 ，最后根据 和 求出 即可．
【详解详析】
BF，CF分别为的内、外角平分线，
，，
设，，
，，
又BE，CE分别为的内，外角平分线，
，，
，，
又，
，
又，
，
，
故答案为：13．
【名师指路】
此题考查了三角形内角和外角角平分线的相关知识，涉及到三角形外角等于与其不相邻的两内角和的知识，有一定难度．【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
20．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在直线BC上（不与B、C重合），点E在直线AC上（不与A、C重合），且∠ADE＝∠AED．
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（1）如图1，若∠ABC＝50°，∠AED＝80°，则∠CDE＝ °，此时，＝ ．
（2）若点D在BC边上（点B、C除外）运动（如图1），试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由；
（3）若点D在线段BC的延长线上，点E在线段AC的延长线上（如图2），其余条件不变，请直接写出∠BAD与∠CDE的数量关系： ．
（4）若点D在线段CB的延长线上 ( http: / / www.21cnjy.com )（如图3），点E在直线AC上，∠BAD＝26°，其余条件不变，则∠CDE＝ （友情提醒：可利用图3画图分析）．
【标准答案】（1）30，2；（2）∠BAD＝2∠CDE，理由见解析；（3）∠BAD＝2∠CDE；（4）77°或13°．
【思路指引】
（1）利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可；
（2）结论：∠BAD=2∠CDE．设∠B=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，则∠BAC=180°-2x，∠CDE=yx，∠DAE=180°-2y，推出∠BAD=∠BAC-∠DAE=2y-2x=2（y-x），由此可得结论．
（3）如图②中，结论：∠BAD=2∠CDE．解决方法类似（2）．
（4）分两种情形：①当点E ( http: / / www.21cnjy.com )在CA的延长线上，设∠ABC=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，则∠BAC=180°-2x，∠CDE=180°-（y+x），∠DAE=180°-2y，由题意，∠BAD=180°-∠BAC-∠DAE=2x+2y-180°=22°，推出x+y=101°，可得结论．②如图④中，当点E在AC的延长线上时，同法可求．
【详解详析】
解：（1）如图①中，
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∵∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠AED＝∠CDE+∠C，
∴∠CDE＝80°﹣50°＝30°，
∵∠ADE＝∠AED＝80°，
∴∠DAE＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝80°﹣20°＝60°，
∴＝2．
故答案为30，2；
（2）结论：∠BAD＝2∠CDE．
理由：设∠B＝∠C＝x，∠AED＝∠ADE＝y，
则∠BAC＝180°﹣2x，∠CDE＝y﹣x，∠DAE＝180°﹣2y，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝2y﹣2x＝2（y﹣x），
∴∠BAD＝2∠CDE；
（3）如图②中，结论：∠BAD＝2∠CDE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
理由：设∠B＝∠ACB＝x，∠AED＝∠ADE＝y，
则∠BAC＝180°﹣2x，∠CDE＝180°﹣（y+x），∠DAE＝180°﹣2y，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝360°﹣2（x+y），
∴∠BAD＝2∠CDE．
故答案为：∠BAD＝2∠CDE；
（4）如图③中，
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设∠ABC＝∠C＝x，∠AED＝∠ADE＝y，
则∠BAC＝180°﹣2x，∠CDE＝180°﹣（y+x），∠DAE＝180°﹣2y，
∴∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝2x+2y﹣180°＝26°，
∴x+y＝103°
∴∠CDE＝180°﹣103°＝77°．
如图④中，当点E在AC的延长线上时，设∠ABC＝∠ACB＝x，∠AED＝∠ADE＝y，
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则∠ADB＝x﹣26°，∠CDE＝y﹣（x﹣26°），
∵∠ACB＝∠CDE+∠AED，
∴x＝y+y﹣（x﹣26°），
∴x﹣y＝13°，
∴∠CDE＝x﹣y＝13°
故答案为：77°或13°．
【名师指路】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．21*cnjy*com
21．如图，在中，，为边上一点（不与点，重合），连接，在的延长线上取点，连接．的邻补角的角平分线和的邻补角的角平分线交于点．
（1）当时，求证：①；②；
（2）判断与的数量关系，并说明理由．
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【标准答案】（1）①见解析；②见解析；（2），见解析
【思路指引】
（1）①由三角形的内角和定理结合对顶角的性质可证得∠ABE＝∠DCE；
②记AB，DC的延长线上分别有 ( http: / / www.21cnjy.com )M，N点，由邻补角的定义及角平分线的定义可得∠MBP＝∠PCE，再利用四边形的内角和定理可求解∠P的度数，进而证明结论；
（2）设∠PBE＝x，∠PCE＝y，则∠DB ( http: / / www.21cnjy.com )M＝2x，∠ACN＝2y，易得∠ABE＝180° 2x，∠DCE＝180° 2y，由∠ABE＋∠A＝∠DCE＋∠D，可求得∠D＝90° 2x＋2y，由∠A＋∠ABP＋∠P＋∠ACP＝360°，可得∠ABP，即可求得∠P＝90°＋x y，进而可求解∠D与∠P的关系．
【详解详析】
（1）证明：①∵分别是和的外角，
∴，，
∴．
∵，
∴．
②记，的延长线上分别有点，．
∵的角平分线与的角平分线交于点，
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∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在四边形中，
，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）．
理由如下：由（1）②设，，则，，
∴，．
由（1）①得，
∴．
由（1）②得，
且，
∴，
∴．
【名师指路】
本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，邻补角的定义，对顶角的性质，灵活运用相关定义与性质是解题的关键．21教育网
22．如图1，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，D为AC边上一点，分别过点A、D作BC、AB的平行线交于点E．21·世纪*教育网
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（1）求∠E的度数．
（2）点P为直线AC上的一个动点，过点P作PF∥AE，且PF＝AE，连DF．
①如图2，当点P在点C的右侧，且∠PFD＝25°时，判断DE与DF的位置关系，并说明理由．
②在整个运动中，是否存在点P，使得∠PFD＝2∠EDF？若存在，请求出∠PFD的度数，若不存在，请说明理由．2-1-c-n-j-y
【标准答案】（1）65°；（2）①DE⊥DF，理由见解析；②（）°或130°
【思路指引】
（1）利用平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可．
（2）①如图2中，结论：DE⊥DF．过点D作DT∥AE．首先证明∠EDF=∠AED+∠DFP，推出∠EDF=90°即可．
②存在，当点P在点D的左 ( http: / / www.21cnjy.com )侧时存在．分两种情形：如图3-1中，当点P在线段AD上时，设DE交PF于J．如图3-2中，当点P在线段DA的延长线上时，设AE交DF于Q．分别利用平行线的性质，三角形的外角的性质求解即可．
【详解详析】
解：（1）如图1中，
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∵AB∥DE，AE∥BC，
∴∠ADE=∠BAC=75°，∠DAE=∠ACB，
∵∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-65°-75°=40°，
∴∠DAE=∠ACB=40°，
∴∠E=180°-∠ADE-∠EAD=180°-40°-75°=65°．
（2）①如图2中，结论：DE⊥DF．
理由：过点D作DT∥AE．
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∵AE∥PF，DT∥AE，
∴AE∥DT∥PF，
∴∠AED=∠TDE，∠TDF=∠DFP，
∴∠EDF=∠TDE+∠TDF=65°+25°=90°，
∴DE⊥DF．
②存在，当点P在点D的左侧时存在．
如图3-1中，当点P在线段AD上时，设DE交PF于J．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PF∥AE，
∴∠PJD=∠AED=65°，
∵∠PJD=∠PFD+∠JDF，∠PFD=2∠EDF，
∴65°=3∠EDF，
∴∠EDF=（）°，
∴∠PFD=（）°．
如图3-2中，当点P在线段DA的延长线上时，设AE交DF于Q．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PF∥AE，
∴∠PFD=∠AQD，
∵∠AQD=∠AED+∠EDF，∠PFD=2∠EDF，
∴2∠EDF=65°+∠EDF，
∴∠EDF=65°，
∴∠PFD=130°，
综上所述，∠PFD=（）°或130°．
【名师指路】
本题属于三角形综合题，考查了平行线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加平行线，利用平行线的性质解决问题．
23．如图1，点E是直线AB，CD内部一点，AB//CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠EAB＝22°，∠EDC＝61°，则∠AED的度数为________；
②若∠EAB＝32°，∠EDC＝45°，则∠AED的度数为________；
③猜想图1中∠AED、∠EAB、∠EDC之间的关系并说明理由．
（2）EF隔开的两个区域(不含边界），点P ( http: / / www.21cnjy.com )是位于以上两个区域内的点，连接PE，PF，猜想∠PEB、∠PFC、∠EPF之间的关系(不要求写出过程)．【来源：21·世纪·教育·网】
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图2www-2-1-cnjy-com
【标准答案】（1）①83°；②77°；③∠ ( http: / / www.21cnjy.com )AED＝∠EAB＋∠EDC，理由见解析；（2）点P在区域①时，∠EPF＝360°﹣（∠PEB+∠PFC）；点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB+∠PFC；点P在区域③时，∠EPF＝∠PEB﹣∠PFC；点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC﹣∠PEB．
【思路指引】
（1）①根据图1，过点E ( http: / / www.21cnjy.com )作EF∥AB，利用内错角相等，得到∠AED、∠EAB、∠EDC之间的关系，代入∠EAB，∠EDC的度数，计算出∠AED的度数．同理可得②，③的答案；21cnjy.com
（2）利用三角形的外角和内角的关系以及平行线所形成的同位角、内错角间关系，得结论．
【详解详析】
解：（1）①如图，过点E作EF∥AB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠EAB＝22°，∠EDC＝61°，
∴∠1＝∠EAB＝22°，∠2＝∠EDC＝61°，
∴∠AED＝∠1+∠2＝83°；
②过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠EAB＝32°，∠EDC＝45°，
∴∠1＝∠EAB＝32°，∠2＝∠EDC＝45°，
∴∠AED＝∠1+∠2＝77°；；
③猜想：∠AED＝∠EAB+∠EDC．
理由：过点E作EF∥CD，
∵AB∥DC，∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∴∠AED＝∠1+∠2＝∠EAB+∠EDC（等量代换）．
（2）根据题意得：
如图1，当点P在①区域时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠CFE＝180°，
∴∠PEF＋∠PFE＝（∠PEB＋∠PFC） 180°．
∵∠PEF＋∠PFE＋∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝180° （∠PEF＋∠PFE）＝180° （∠PEB＋∠PFC）＋180°＝360° （∠PEB＋∠PFC）；
当点P在区域②时，如图2所示，
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∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠CFE＝180°，
∵∠EPF＋∠FEP＋∠PFE＝180°，
∴∠EPF＝∠PEB＋∠PFC．
点P在区域③时，如图3所示：
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∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠CFE＝180°，
∵∠EPF＋∠FEP＋∠PFE＝180°，
∴∠EPF＝∠PEB﹣∠PFC；
点P在区域④时，如图4所示：
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∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠CFE＝180°，
∵∠EPF＋∠FEP＋∠PFE＝180°，
∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEB；
综上所述，点P在区域①时，∠EPF＝360°﹣（∠PEB+∠PFC）；
点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB+∠PFC；
点P在区域③时，∠EPF＝∠PEB﹣∠PFC；
点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC﹣∠PEB．
【名师指路】
本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题03 数形思想之三角形的内角和定理综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，已知直线1交直线a，b于A，B两点，且a∥b，E是a上的点，F是b上的点，满足∠DAE=∠BAE，∠DBF=∠ABF，则∠ADB的度数是（ ）21·cn·jy·com
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A．45° B．50° C．60° D．无法确定
2．如图，已知，平分，，则为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3．如图所示，将正六边形与正五边形按此方 ( http: / / www.21cnjy.com )式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠COF的度数是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．86° B．84° C．76° D．74°
4．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
5．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（ ）
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A．114° B．142° C．147° D．156°
6．如图，把△ABC纸片沿DE折 ( http: / / www.21cnjy.com )叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2 C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2（∠1＋∠2）
7．如图，中，，将沿DE折叠，点A落在F处，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
8．具备下列条件是△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．∠A：∠B：∠C＝1：3：4 D．∠A＝2∠B＝3∠C
9．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列结论：①一个三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，则相应的3个内角度数之比为；②在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；③在图形的平移中，连接对应点的线段互相平行且相等；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加；⑤一个五边形最多有3个内角是直角；⑥两条直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．其中错误结论有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题
11．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是_____．21·世纪*教育网
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12．将正三角形、正方形、正五边形，按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点都在另一个图形的一条边上，则__________度．www-2-1-cnjy-com
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13．如图，在△ABC，AD ( http: / / www.21cnjy.com )是角平分线，AE 是中线，AF 是高．如果BC＝10cm，那么 BE＝_____；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠DAF＝_____°．【来源：21cnj*y.co*m】
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14．如图，如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=________．
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15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， ( http: / / www.21cnjy.com )AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的有 ___．【出处：21教育名师】
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．
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16．如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，给出下列结论：①是的余角；②图中互余的角共有3对；③的补角只有；④与互补的角共有3个，其中正确结论有______（把你认为正确的结论的序号都填上）．21*cnjy*com
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17．如图，将ABC沿着DE对折，点A落到处，若，则∠A＝______度．
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18．如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝40°，则∠ACD等于 _____°．
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19．如图，BE、CE分别为的内、外角平分线，BF、CF分别为的内、外角平分线，若，则_______度．【版权所有：21教育】
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三、解答题
20．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在直线BC上（不与B、C重合），点E在直线AC上（不与A、C重合），且∠ADE＝∠AED．21*cnjy*com
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（1）如图1，若∠ABC＝50°，∠AED＝80°，则∠CDE＝ °，此时，＝ ．
（2）若点D在BC边上（点B、C除外）运动（如图1），试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由；21世纪教育网版权所有
（3）若点D在线段BC的延长线上，点E在线段AC的延长线上（如图2），其余条件不变，请直接写出∠BAD与∠CDE的数量关系： ．
（4）若点D在线段CB的 ( http: / / www.21cnjy.com )延长线上（如图3），点E在直线AC上，∠BAD＝26°，其余条件不变，则∠CDE＝ （友情提醒：可利用图3画图分析）．
21．如图，在中，，为边上一点（不与点，重合），连接，在的延长线上取点，连接．的邻补角的角平分线和的邻补角的角平分线交于点．
（1）当时，求证：①；②；
（2）判断与的数量关系，并说明理由．
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22．如图1，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，D为AC边上一点，分别过点A、D作BC、AB的平行线交于点E．21教育网
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（1）求∠E的度数．
（2）点P为直线AC上的一个动点，过点P作PF∥AE，且PF＝AE，连DF．
①如图2，当点P在点C的右侧，且∠PFD＝25°时，判断DE与DF的位置关系，并说明理由．
②在整个运动中，是否存在点P，使得∠PFD＝2∠EDF？若存在，请求出∠PFD的度数，若不存在，请说明理由．
23．如图1，点E是直线AB，CD内部一点，AB//CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠EAB＝22°，∠EDC＝61°，则∠AED的度数为________；
②若∠EAB＝32°，∠EDC＝45°，则∠AED的度数为________；
③猜想图1中∠AED、∠EAB、∠EDC之间的关系并说明理由．
（2）EF隔开的两个区域 ( http: / / www.21cnjy.com )(不含边界），点P是位于以上两个区域内的点，连接PE，PF，猜想∠PEB、∠PFC、∠EPF之间的关系(不要求写出过程)．2-1-c-n-j-y
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图221教育名师原创作品
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