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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题04 几何思想之全等三角形的性质重点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积相等 D．所有等边三角形是全等三角形
2．如图，已知≌，是的平分线，已知，，则的度数是（ ）．
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A． B． C． D．
3．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（ ）
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A． B． C． D．
4．如图，已知，若，，，则下列结论不一定正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
5．下列说法：（1）周长相等的两个三角形是全等三角形；（2）周长相等的两个圆是全等图形；（3）如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等；（4）所有的正方形是全等图形；（5）在中，当时，这个三角形是直角三角形．正确的有（ ）21cnjy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列四个图形中，全等的图形是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④
7．如图，ΔABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．75° B．70° C．65° D．60°
8．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
9．如图，，，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使与全等，则AG的长为______．2·1·c·n·j·y
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10．如图，∠A＝∠B＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AB＝80，点E和点F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，点E和点F运动速度之比为2：3，运动到某时刻点E和点F同时停止运动，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为________．
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11．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于_______．
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12．如图，在△ACD与△B ( http: / / www.21cnjy.com )CE中，AD与BE相交于点P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝55°，则∠APB的度数为 ______．【来源：21·世纪·教育·网】
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13．如图，AB＝AC，∠BAC＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝2，CE＝3，则四边形CBDE的面积是 _________________．21·世纪*教育网
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14．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠α＝_____°．
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15．如图，，，，点D恰好落在线段AB上，则的度数为________度．
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16．一个三角形的三边为3、5、，另一个三角形的三边为、3、6，若这两个三角形全等，则__________．21·cn·jy·com
17．如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．如图，∠A＝∠B＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为_____．www-2-1-cnjy-com
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三、解答题
19．如图，ABC和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且ABC和关于直线m成轴对称．
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（1）直接写出ABC的面积 ；
（2）请在如图所示的网格中作出对称轴m．
（3）请在线段BC的上方找一点D，画出DCB，使ABC≌DCB．
20．如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：2-1-c-n-j-y
①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；
②沿河岸直走有一树，继续前行到达处；
③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处时停止行走；
④测得的长为米．
根据他们的做法，回答下列问题：
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(1)河的宽度是多少米？
(2)请你证明他们做法的正确性．
21．如图，已知四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒，21教育网
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（1）BQ＝ ；BP＝ ；（用含a或t的代数式表示）
（2）运动过程中，连接PQ、DQ，△BPQ与△CDQ是否全等？若能，请求出相应的t和a的值；若不能，请说明理由．21*cnjy*com
22．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，4），点C在第四象限，AC⊥AB，AC＝AB．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）求点C的坐标及∠COA的度数；
（2）若直线BC与x轴的交点为M，点P在经过点C与x轴平行的直线上，求出S△POM+S△BOM的值．
23．如图，，其中点在同一条直线上．.
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（1）若，，求的大小；
（2）若，，求的长．
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本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
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专题04 几何思想之全等三角形的性质重点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积相等 D．所有等边三角形是全等三角形
【标准答案】C
【思路指引】
能够完全重合的两个图形叫做全等形．做题时严格按定义逐个验证．全等形的面积和周长相等．
【详解详析】
A、全等三角形不仅仅形状相同而且大小相同，错；
B、全等三角形不仅仅面积相等而且要边、角完全相同，错；
C、全等则重合，重合则周长与面积分别相等，正确．
D、完全相同的等边三角形才是全等三角形，错．
故选C．
【名师指路】
本题考查了全等三角形，关键是掌握全等三角形形状和大小都相等．
2．如图，已知≌，是的平分线，已知，，则的度数是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质求出∠BCD，再求出∠B，然后利用全等三角形的性质求∠E即可．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝22°，
∵∠CGD=92°，
∴∠CGF＝180°－92°=88°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝88°－22°=66°，
∴∠BCA＝66°×2=132°，
∴∠B＝180°﹣22°﹣132°＝26°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝26°，
故选：A．
【名师指路】
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，三角形的外角，角平分线的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
3．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
先利用“HL”证明△AED≌△A ( http: / / www.21cnjy.com )FD得到AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，从而可以利用“SAS”证明△AEG≌△AFG，△DEG≌△DFG，由此求解即可.21*cnjy*com
【详解详析】
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°
∵AD=AD，
∴△AED≌△AFD（HL），故B不符合题意；
∴AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，
∵AG=AG，DG=DG
∴△AEG≌△AFG（SAS），△DEG≌△DFG（SAS），故A和C不符合题意；
根据现有条件无法证明△BDE≌△CDF，故D符合题意；
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．如图，已知，若，，，则下列结论不一定正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据全等三角形的性质可得OA=OC=4，BO=DO，∠AOB=∠COD，再利用三角形内角和以及等边对等角分别计算即可判断．
【详解详析】
解：∵△OAB≌△OCD，
∴OA=OC=4，故C不符合；
BO=DO，∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD，即∠AOC=∠BOD，
∴∠OCA=∠OAC=62°，
∴∠AOC=∠BOD=180°-2×62°=56°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=56°-35°=21°，故B不符合；
∴∠BDO=∠DBO=（180°-∠BOD）=62°，故A不符合；
由于缺少条件求出∠OCD，故无法得出∠OCD和∠AOC的关系，
故无法判断CD和OA是否平行，故D符合，
故选D．
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和以及等边对等角，解题的关键是由全等三角形得到等边和等角．
5．下列说法：（1）周长相等的两个三角形是全等三角形；（2）周长相等的两个圆是全等图形；（3）如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等；（4）所有的正方形是全等图形；（5）在中，当时，这个三角形是直角三角形．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】B
【思路指引】
根据全等的图形判定和性质及直角三角形的判定方法即可判断求解．
【详解详析】
解：（1）周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，故（1）错误；
（2）周长相等的两个圆是全等图形，故（2）正确；
（3）如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等，故（3）正确；
（4）所有的正方形是相似图形，故（4）错误；
（5）在中，当时，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠C＋∠C＋∠C＝180°
∴∠C＝°≠90°，
∴这个三角形不是直角三角形，故（5）错误，
故选B．
【名师指路】
本题考查全等的图形判定和性质及直角三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握所学知识．
6．下列四个图形中，全等的图形是（ ）
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A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④
【标准答案】D
【详解详析】
试题分析：根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
解：③和④可以完全重合，因此全等的图形是③和④．
故选D．
点评：此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．
7．如图，ΔABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF的度数是（ ）
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A．75° B．70° C．65° D．60°
【标准答案】C
【思路指引】
首先证明△DBE≌△ECF，进而得到∠EFC ( http: / / www.21cnjy.com )=∠DEB，再根据三角形内角和计算出∠CFE+∠FEC的度数，进而得到∠DEB+∠FEC的度数，然后可算出∠DEF的度数．
【详解详析】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴∠EFC=∠DEB，
∵∠A=50°，
∴∠C=（180°-50°）÷2=65°，
∴∠CFE+∠FEC=180°-65°=115°，
∴∠DEB+∠FEC=115°，
∴∠DEF=180°-115°=65°，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和的定理，解题关键是熟练掌握三角形内角和是180°．
8．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【标准答案】B
【思路指引】
①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得
【详解详析】
解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC
同理可得
又
故①正确
②如图，延长至，使，连接
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
如图，取的中点，连接并延长至，使得，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是的中点，
，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
又
③如图，由①可知，故不一定等于
故③不正确
( http: / / www.21cnjy.com / )
④如图，由②可知，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故④正确
综上所述，故正确的有①②④
故选B
【名师指路】
本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
二、填空题
9．如图，，，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使与全等，则AG的长为______．
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【标准答案】40或75
【思路指引】
设BE＝2t，则BF＝3t，使△AEG与△ ( http: / / www.21cnjy.com )BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．
【详解详析】
解：设BE＝2t，则BF＝3t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，
∵BF＝AE，AB＝100，
∴3t＝100 2t，
解得：t＝20，
∴AG＝BE＝2t＝2×20＝40；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，
∵BE＝AE，AB＝100，
∴2t＝100 2t，
解得：t＝25，
∴AG＝BF＝3t＝3×25＝75，
综上所述，AG＝40或AG＝75．
故答案为：40或75．
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
10．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )80，点E和点F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，点E和点F运动速度之比为2：3，运动到某时刻点E和点F同时停止运动，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为________．
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【标准答案】60或32
【思路指引】
分两种情况进行讨论：①，②，然后根据全等三角形的性质和题目中的数据，即可计算出的长．
【详解详析】
解：由题意，设，则，
分以下两种情况：
①当时，则，
∵，即，
∴，
∴；
②当时，，
∵，即，
∴，
∴；
综上，的长为60或32，
故答案为：60或32．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．
11．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于_______．
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【标准答案】180°
【思路指引】
直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个三角形全等，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180°．
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【名师指路】
此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
12．如图，在△ACD与△ ( http: / / www.21cnjy.com )BCE中，AD与BE相交于点P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝55°，则∠APB的度数为 ______．21*cnjy*com
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【标准答案】55°
【思路指引】
先证明△ACD≌△BCD得到∠D＝∠E，再利用三角形内角和得到∠DPE＝∠DCE＝55°，然后根据对顶角相等得到∠APB的度数．
【详解详析】
解：如图：
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在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠D＝∠E，
∵∠DPE+∠1+∠E＝∠DCE+∠2+∠D，
而∠1＝∠2，
∴∠DPE＝∠DCE＝55°，
∴∠APB＝∠DPE＝55°．
故答案为：55°．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【版权所有：21教育】
13．如图，AB＝AC，∠BAC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝2，CE＝3，则四边形CBDE的面积是 _________________．
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【标准答案】
【思路指引】
证明△ABD≌△CAE得到AD＝CE＝3，BD＝AE＝2，然后根据梯形的面积公式计算．
【详解详析】
解：∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠D＝∠E＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE＝3，BD＝AE＝2，
∴四边形CBDE的面积＝×（2+3）×（2+3）＝．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与 ( http: / / www.21cnjy.com )性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【出处：21教育名师】
14．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠α＝_____°．
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【标准答案】60
【思路指引】
根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，可知道∠α＝60°，做题时要找准对应角．
【详解详析】
解：如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
左边的三角形中，b所对的角为180°﹣65°﹣55°＝60°，
两个三角形全等中，相等的边是对应边，两三角形中，长度为b的边是对应边，它们对的角是对应角，
∴∠α＝60°
故答案为：60．
【名师指路】
本题利用了全等三角形的性质、三角形内角和定理，找准对应边是做题的关键．
15．如图，，，，点D恰好落在线段AB上，则的度数为________度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】70
【思路指引】
根据全等三角形对应角相等可得，，求出，根据三角形内角和定理求出即可.
【详解详析】
解：∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：70．
【名师指路】
本题考查了全等三角形对应角相等，对应边相等的性质，也考查了三角形内角和定理等于，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
16．一个三角形的三边为3、5、，另一个三角形的三边为、3、6，若这两个三角形全等，则__________．21教育网
【标准答案】1
【思路指引】
根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可．
【详解详析】
解：∵两个三角形全等，
∴x=6，y=5，
∴x-y=6-5=1，
故答案为：1．
【名师指路】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
17．如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．
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【标准答案】180°.
【思路指引】
仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．
【详解详析】
解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．
故答案为：180．
【名师指路】
此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
18．如图，∠A＝∠B＝90°，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为_____．21·cn·jy·com
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【标准答案】18或70
【思路指引】
设BE=3t，则BF=7 ( http: / / www.21cnjy.com )t，使△AEG与△BEF全等，由∠A=∠B=90°可知，分两种情况：情况一：当BE=AG，BF=AE时，列方程解得t，可得AG；情况二：当BE=AE，BF=AG时，列方程解得t，可得AG．
【详解详析】
解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70．
故答案为：18或70．
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
三、解答题
19．如图，ABC和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且ABC和关于直线m成轴对称．
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（1）直接写出ABC的面积 ；
（2）请在如图所示的网格中作出对称轴m．
（3）请在线段BC的上方找一点D，画出DCB，使ABC≌DCB．
【标准答案】（1）5；（2）见解析；（3）见解析
【思路指引】
（1）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积计算即可；
（2）利用网格特点作，的垂直平分线即可得解；
（3）平移AB使B点与C点重合，则A点的对应点为D点；
【详解详析】
（1）的面积；
故答案是：5．
（2）如图，直线m为所作；
（3）如图，为所作；
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【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定和轴对称变换作图，准确分析作图是解题的关键．
20．如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：21cnjy.com
①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；
②沿河岸直走有一树，继续前行到达处；
③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处时停止行走；
④测得的长为米．
根据他们的做法，回答下列问题：
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)河的宽度是多少米？
(2)请你证明他们做法的正确性．
【标准答案】(1)5
(2)证明见解析
【思路指引】
（1）由数学兴趣小组的做法可知河宽为5米．
（2）由角边角即可证得和全等，再由对应边相等可知AB=DE．
(1)
由数学兴趣小组的做法可知，AB=DE，故河宽为5米
(2)
由题意知，BC=CD=20米
又∵光沿直线传播
∴∠ACB=∠ECD
又∵在和中有
∴
∴AB=DE
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定及性质，由数学兴趣小组的第三步：从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处时停止行走，得出∠ACB=∠ECD是解题的关键．21·世纪*教育网
21．如图，已知四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒，【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）BQ＝ ；BP＝ ；（用含a或t的代数式表示）
（2）运动过程中，连接PQ、DQ，△BPQ与△CDQ是否全等？若能，请求出相应的t和a的值；若不能，请说明理由．21教育名师原创作品
【标准答案】（1）2tcm，（8﹣at）cm；（2）a＝2，t＝3或a＝1，t＝2
【思路指引】
（1）根据路程=速度×时间求解；
（2）分2种情况，根据全等三角形的性质列方程求解；
【详解详析】
解：（1）由题意得，AP＝atcm，BP＝(8﹣at)cm，BQ＝2tcm，
故答案为：2tcm，(8﹣at)cm；
（2）△BPQ与△CDQ能全等；
∵∠B＝∠C，
∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况：
①当△PBQ≌△QCD时，PB＝CQ，BQ＝CD，
∴2t＝6，8﹣at＝8﹣2t，
∴a＝2，t＝3；
②当△PBQ≌△DCQ时，PB＝DC，BQ＝CQ，
∴8﹣at＝6，2t＝8﹣2t，
∴a＝1，t＝2；
综上，△BPQ与△CDQ能全等，此时a＝2，t＝3或a＝1，t＝2．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键．
22．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，4），点C在第四象限，AC⊥AB，AC＝AB．2·1·c·n·j·y
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（1）求点C的坐标及∠COA的度数；
（2）若直线BC与x轴的交点为M，点P在经过点C与x轴平行的直线上，求出S△POM+S△BOM的值．
【标准答案】（1）C（2，﹣2），∠COA＝135°；（2）S△POM+S△BOM＝4．
【思路指引】
（1）作CD⊥x轴于点D，根据条件 ( http: / / www.21cnjy.com )证明△AOB≌△CDA就可以得出AO=CD，连接OC根据OD=OC就可以求出∠COD=45°，从而得出结论；2-1-c-n-j-y
（2）根据等底等高的两三角形的面积相等就可以得出S△POM+S△BOM=S△COM+S△BOM=S△BOC．从而得出结论．
【详解详析】
解：（1）作CD⊥x轴于点D，
∴∠CDA＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠CDA．
∴∠DAC+∠DCA＝90°．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD．
在△AOB和△CDA中
，
∴△AOB≌△CDA（AAS），
∴AO＝CD，OB＝DA．
∵A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∴CD＝2，DA＝4，
∴OD＝2，
∴OD＝CD．
∵点C在第四象限，
∴C（2，﹣2）．
∵∠CDO＝90°，
∴∠COD＝45°．
∴∠COA＝180°﹣45°＝135°．
（2）∵PC∥x轴，
∴点P、C到x轴的距离相等，
∴S△POM＝S△COM．
∴S△POM+S△BOM＝S△COM+S△BOM＝S△BOC．
∴S△POM+S△BOM＝S△BOC＝＝4．
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【名师指路】
本题考查了坐标与图形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．
23．如图，，其中点在同一条直线上．.
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（1）若，，求的大小；
（2）若，，求的长．
【标准答案】（1）；（2）3cm．
【思路指引】
（1）根据垂直的定义及全等三角形的性质得到，即可求出的大小；
（2）利用推出AB=CD，再根据已知得出，即可求出答案.
【详解详析】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）∵，
∴，
∴，即.
∵，，
∴，
∴.
【名师指路】
此题考查三角形全等的性质，垂直的定义，正确理解图形中的对应关系是解题的关键.
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