(共28张PPT)
6.4.3余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
甲乙两位同学均住在世博园的附近，已知甲同学家距离世博园入口处300米，乙同学家距离世博园入口处400米，某天，甲乙两位同学相约一同参观世博园，请问，你能求出甲乙两同学家相距多少米吗？
利用余弦定理解决实际问题培养学生的数学建模，数学运算以及逻辑推理能力。
1. 掌握余弦定理的两种表示形式； （重点）
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(难点)
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
进
走
课
堂
探究1 余弦定理及其推论
如图，在△ABC中，三个角A,B,C设BC=a, AC=b, AB=c.已知a, b和C，求边c.
提示:
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题.
A
B
C
A
B
C
余弦定理
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
用途：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角形的第三条边.
【即时练习】
这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
提示:
式子中共有4个量.已知其中三个量，可以求出第四个量，称之为“知三求一”当然能由三边求出一角.
余弦定理的推论：
用途: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求出三角形的三个角.
【即时练习】
B
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
提示:
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.
余弦定理及其推论的基本作用
①已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出角；
③已知三角形两边及其一边对角，可求其他的角和第三条边.
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
【解析】 根据余弦定理，
a =b +c -2bccosA
=60 +34 -2×60×34×cos41o
≈1 677，
所以a≈41(cm).
由余弦定理的推论得
所以利用计算器可得C≈33°，
B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.
【变式练习】
【变式练习】
C
余弦定理
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
1.余弦定理
2.推论：
3.利用余弦定理解三角形
注意“大边对大角、大角对大边”．
数学抽象：余弦定理及其推论.
逻辑推理：余弦定理在边角互化中的应用.
数学运算：解三角形.
(1)已知三角形三边求角，直接利用余弦定理.
(2)若已知三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，
从而转化为已知三边求角．
(3)已知三角形的任意两边及它们的夹角可以先求出第三边，
然后再求解其他量.
B
B
黎明的曙光对暗夜是彻底的决裂，对彩霞是伟大的奠基。
停止前进的脚步，江河就会沦为一潭死水。(共33张PPT)
第2课时 正弦定理
为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A,C两点的距离呢？
.A
.C
.B
利用正弦定理解三角形以及有关三角形问题培养学生的数学建模能力以及数学运算、直观想象能力。
1. 掌握正弦定理的内容；（重点）
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题． （难点）
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
进
走
课
堂
微课1 正弦定理
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面首先来探讨直角三角形中边与角的等式关系.
C
A
B
思考：对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
提示：(1)锐角三角形
C
a
b
A
B
D
(2)钝角三角形
如图，类比锐角三角形，请同学们自己推导.
提示:
A
C
a
b
B
D
其他推导方法
（1）因为涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究此问题.
提示:
C
b
a
A
B
（2）外接圆法
提示：
A
B
C
C ′
a
b
c
O
·
B`
A
B
C
b
O
C
A
B
b
O
A`
a
a
c
c
正弦定理概述：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
注意：(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角
的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的
单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形
中边与角的一种数量关系.
【即时训练】
例.在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，
a＝ ，解这三角形.
【变式练习】
C
微课2 正弦定理的基本作用
【即时训练】
微课3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.
2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做解三角形.
3.已知边a,b和角Ａ，求其他边和角的讨论．
(1)Ａ为锐角
Ａ
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b
B1
Ａ
B2
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b
a
无解
一解
a=bsinA
bsinA两解
a≥b
一解
(2)Ａ为钝角
Ａ
Ｂ
Ｃ
b
a
Ａ
Ｃ
b
a
a>b
一解
a≤b
无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解； a≤b时，无解.
【即时练习】
核心素养
易错提醒
方法总结
核心
知识
1.正弦定理
2 推论.
3.利用正弦定理解三角形.
已知两角及一边解三角形
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
已知两边及一边的对角解三角形
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由正弦值可求锐角即为另一边所对的角．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，要分类讨论．
已知两边和其中一边所对角解三角形时可能会出现无解、一解、两解的情况.
注意“大边对大角、大角对大边”．
1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式.
2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题.
3.数学运算：解三角形.
D
C
D
B
5.(2019·浙江高考)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,∠BDC=45°,BD= ,cos∠ABD= .
答案:
【解析】在△ABD中,由正弦定理有:
而AB=4,∠ADB= ,AC= =5,
sin∠BAC= ,cos∠BAC= ,所以BD= .
cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cos cos∠BAC+sin sin∠BAC= .
黎明的曙光对暗夜是彻底的决裂，对彩霞是伟大的奠基。
停止前进的脚步，江河就会沦为一潭死水。(共20张PPT)
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题
有这样一个问题:遥不可及的月球离地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等不同的方法来解决，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法却不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性. 上面介绍的问题就是用以前的方法所不能解决的.
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离.
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.(重点、难点)
利用正弦定理、余弦定理解决实际生活中的距离问题, 培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用数学建模解决实际问题的能力。
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
进
走
课
堂
关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题
例1.设A,B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51°， ∠ACB＝75°，求A，B两点间的距离（精确到0.1m）.
【解题关键】已知两角一边，可以用正弦定理解三角形.
【解析】根据正弦定理，得
答：A,B两点间的距离为65.7米.
关于测量两个都不可到达的点之间的距离的问题
例2 如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A，B两点间距离的方法.
A
B
【解题关键】这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.
首先需要构造三角形，所以需要确定C，D两点.
用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A，B两点间的距离.
A
B
D
C
【解析】测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在ΔADC和ΔBDC中，应用正弦定理得
计算出AC和BC后，再在ΔABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
【变式训练】
为了测定河对岸两点A，B间的距离,在岸边选定1千米长的基线CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A，B两点的距离.
A
B
D
C
余弦定理、正弦定理应用举例
——距离问题
1.数学抽象：常用的测量相关术语；
2.逻辑推理：将实际问题转化为数学问题；
3.数学运算：利用余弦定理、正弦定理求距离；
4.数学模型：在适当的三角形中解距离。
核心知识
核心素养
方法总结
易错提醒
核心素养
1 解决应用题的思想方法
把实际问题转化为数学问题
2.求解三角形应用题的一般步骤
（1）审题（分析题意，根据题意，画出示意图）
（2）建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）
（3）求模（正确运用正、余弦定理求解）
（4）还原。
分析转化
实际问题
解三角形问题
数学结论
检验
数学问题
1.选定或确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解
2.若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解
A
75°
4.一艘船以32.2 n mile / h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
黎明的曙光对暗夜是彻底的决裂，对彩霞是伟大的奠基。
停止前进的脚步，江河就会沦为一潭死水。(共26张PPT)
第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例--高度、角度问题
1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？
2.在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？
今天我们就来共同探讨这些方面的问题.
通过建立模型把实际生活中的角度、长度、距离问题转换成解三角形问题，然后利用正弦定理余弦定理解决问题。
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题. (重点)
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.(难点)
3.分清仰角、俯角、方向角、方位角和视角等概念.
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
进
走
课
堂
测量底部不可到达的建筑物的高度
例1 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.
【解题关键】如图，求AB长的关键是先求AE，在 △ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长.
【解析】选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得
【变式练习】
20nmile
B
A
C
7nmile
【变式练习】
我舰在敌岛A南偏西50°的方向上，且与敌岛A相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？(精确到1°）
【解析】如图，在△ABC中，由余弦定理得：
A
C
B
40°
50°
10°
所以我舰的追击速度为14海里/小时.
答：我舰需以14海里/小时的速度，沿北偏东12°方向航行才能用2小时追上敌舰.
余弦定理、正弦
定理应用举例
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
有关概念
实际应用
解决实际测量中的角度问题时
(1)找准观测点以及参照物,根据“上北下南,左西右东”确定正北方向.
(2)分析图中的已知量和未知量,标出有关角和线段的大小.
(3)利用正弦定理或余弦定理解三角形,求出未知量.
高度问题
角度问题
1.数学抽象：常用的测量相关术语.
2.逻辑推理：将实际问题转化为数学问题.
3.数学运算：利用余弦定理、正弦定理求高度、角度.
4.数学模型：在适当的三角形中求解高度、角度.
解决测量高度问题的一般步骤是
C
B
7
5.3.5 m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2 m的地面上，另一端在沿堤上2.8 m的地方，求堤对地面的倾斜角α. (精确到0.01°）
答：堤对地面的倾斜角α为63.77°.
6.如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离AA0）（精确到1mm）.
【解题关键】此题可转化为“已知在△ABC中，BC＝85 mm，AB＝340 mm，∠ACB＝80°，求AA0 ．”
【解析】如图,在△ABC中，由正弦定理可得：
又由正弦定理：
答：活塞移动的距离约为81 mm．
黎明的曙光对暗夜是彻底的决裂，对彩霞是伟大的奠基。
停止前进的脚步，江河就会沦为一潭死水。