(共34张PPT)
8.6.3 平面与平面垂直(一)
建筑施工时，为了保证墙面是竖直的，常使用铅锤来检测，这是什么道理呢？
在铁路公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？
公路
1.使学生正确理解和掌握 “二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念.2.掌握两个平面垂直的判定定理并能进行简单应用.
1.逻辑推理：面面垂直的证明问题涉及逻辑推理及其转化思想
2.直观想象：求解二面角的问题
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
进
走
课
堂
提示：
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
探究点1 二面角
半平面
半平面
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
记为：二面角
简记：
二面角的定义
①平卧式：
②直立式：
l
l
A
B
二面角的画法和记法：
面1－棱－面2
点1－棱－点2
二面角 － l－
二面角 －AB－
二面角C－AB－ D
A
B
C
D
我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些？
你认为应该怎么刻画二面角的大小？
β
2.二面角θ的取值范围为0°≤θ≤180°
二面角的平面角
说明:
1.平面角的两边分别在二面角的两个面内，分别垂直于二面角的棱.
∠AOB即为二面角α-l-β的平面角
β
平面角的大小与棱上点的选取无关.
∠AOB的大小与点O在l上的位置有关系吗？
D
端点
中点
【寻找二面角的一般规律】
中点
E
G
F
自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所
成的角与二面角的平面角的关系是 ( )
A.相等 B.互补
C.互余 D.无法确定
B
【即时训练】
观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成
这些二面角的面、棱、平面角及其度数。
三个
探究点2 平面与平面垂直
二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。
质疑:在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么∠AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？
等角定理：如果一个角的两边和另
一个角的两边分别平行，并且方向相
同，那么这两个角相等。）
A
B
A’
B’
结论：二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。
.
二面角的范围：[ 0o, 180o ]．
① 二面角的两个面重合： 0o；
② 二面角的两个面合成一个平面：180o；
③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
O
A
B
β
α
α
β
图形表示
平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
记作α⊥β
建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？
铅垂线→直线
墙面→平面
水平面→平面
B
A
C
平面与平面垂直的判定定理
定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
α
β
a
A
简记：线面垂直，则面面垂直
面面垂直
线面垂直
线线垂直
例1 如图，在正方体 ABCD-A′B′C′D′ 中，
求证：平面A′BD⊥ACC′A′.
分析：要证平面A′BD⊥ACC′A′，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面A′BD经过平面ACC′A′的一条垂线即可，这需要利用AC，BD是正方形ABCD的对角线.
证明：
∵ABCD-A′B′C′D′是正方形，
∴AA′⊥平面ABCD，
∴AA′⊥BD，
又BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACC′A′，
所以平面A′BD⊥平面ACC′A′.
【变式练习】
空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则给出下列四
种关系,正确的是 ( )
A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面BDC
D
例2 如图,AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，
求证：平面PAC⊥平面PBC.
分析：找出在一个面内与另一个面垂直的直线.
BC⊥平面PAC
证明：∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ，∴PA⊥BC，
∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，
AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°， 即BC⊥CA.
又 PA∩AC=A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
∴ BC⊥平面PAC，
又BC 平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
如图所示：在Rt△ABC中，∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
P
A
B
C
【变式练习】
P
A
B
C
易错提醒
核心知识
方法总结
核心素养
直观想象：求解二面角的问题
求二面角时注意是锐角还是钝角
平面与
平面垂直
（一）
面面垂直的判断方法：
（1）利用定义：作二面角的平面角→证明为直角
（2）判定定理：转化为证线面垂直，即在一个面内找一条直线与另一个平面垂直
二面角的求法：作出二面角的平面角并证明，将作出的角放在三角形中求解
逻辑推理：面面垂直的证明问题涉及逻辑推理及其转化思想
在证明面面垂直时注意满足的条件
二面角
定义
判定定理
应用
D
D
不如意的时候不要尽往悲伤里钻，想想有笑声的日子吧！(共25张PPT)
8.6.3 平面与平面垂直（二）
墙面与地面垂直，墙角线与地面有何位置关系？
迷宫的所有面都是与地面垂直的，每个拐角所在直线与地面什么关系？
1.掌握平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.
逻辑推理：在面面垂直的性质定理中得以体现
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
进
走
课
堂
探究点1 平面与平面垂直的性质
黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直
提示：作与墙脚线垂直的交线.
α
β
E
F
如图，在长方体中，α⊥β,
(1)α里的直线都和β垂直吗？
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
与AD垂直
不一定
垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？
为什么？
α
β
A
B
D
C
E
提示：垂直
证明:在平面 内作BE⊥CD,
∵ , ∴AB⊥BE.
又由题意知AB⊥CD,
且BE CD=B，
垂足为B.
∴AB⊥
则∠ABE就是二面角
的平面角.
α
β
A
B
D
C
E
平面与平面垂直的性质定理
符号表示:
D
C
A
B
定理： 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
面面垂直
线面垂直
作用： ①它能判定线面垂直.
②它能在一个平面内作与另一个平面垂
直的垂线.
关键点：
①线在平面内.
②线垂直于交线.
D
C
A
B
【提升总结】
下列命题中，正确的是（ ）
A.过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直
B.若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直
C.过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直
D.a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都垂直
C
【即时训练】
探究点2 平面与平面垂直的性质有关的结论
设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系
a
a
提示：直线a在平面 内
β
α
P
β
α
P
两个平面垂直，则过某个平面内一点垂直于另一个平面的直线在该平面内.
结论：
α
β
A
b
a
l
B
提示：垂直
A
【即时训练】
α
β
A
b
a
l
分析：寻找平面α内与a平行的直线.
在α内作垂直于 交线的直线b，
∵ ∴
又
∴a∥b.
又
∴a∥α.
即直线a与平面α平行.
结论：垂直于同一平面(β)的直线(a)和平面(α)平行（ ）.
α
β
A
b
a
l
解：
例2.如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，
求证：BC⊥平面PAB.
E
P
A
B
C
分析：要证明BC⊥平面PAB，需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线.由已知条件易得BC⊥PA.再利用平面PAB⊥平面PBC，过点A作PB的垂线AE，由两个平面垂直的性质可得BC⊥AE.
E
P
A
B
C
E
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC,
∴PA⊥BC.又PA∩AE=A,
∴BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC.
∵BC 平面PBC,∴AE⊥BC
线线垂直
线面垂直
面面垂直
判定
判定
性质
【提升总结】
核心知识
面面垂直的性质定理
应用
易错提醒
利用性质定理时要注意直线在平面内
核心素养
逻辑推理：在面面垂直的性质定理中得以体现
方法总结
平行关系的相互转化
判定定理
性质定理
判定定理
判定
性质
性质
平面与平面垂直（二）
1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
解： 因为α∩β＝l，所以l β，又n⊥β，所以n⊥l.
C
2.在空间中，下列命题正确的是( )
A.垂直于同一条直线的两直线平行
B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
解：A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.
D
不是境况造就人，而是人造就境况。
