7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
运算是“数”的最主要的功能，复数不同于实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简单的复数运算——复数的加、减法．
随着生产发展的需要，我们将数的范围扩展到了复数
实部
虚部
1.复数的加、减运算法则；2.复数的加、减运算律；3.复数的加、减运算的几何意义.
1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;
2.数学运算：复数加、减运算及其几何意义求相关问题;
3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.
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我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：
a+b=b+a ab=ba (a+b)+c=a+(b+c)
(ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac
那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
探究点1 复数的加法
【复数的加法】
我们规定，复数的加法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i.
说明:
（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致;
（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i.
（1）因为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)
=(a1+a2)+(b1+b2)i,
z2+z1= (a2+b2i) + (a1+b1i)
=(a1+a2)+(b1+b2)i,
所以 z1+z2=z2+z1
探究点2 复数的加法满足交换律、结合律
（2）因为 (z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)
=(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i,
z1+ (z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]
=(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i,
所以 (z1+ z2)+ z3=z1+ (z2+ z3)
所以，对任意z1, z2, z3 C,有
z1+ z2=z2+ z1
（z1+z2）+ z3 = z1+（z2+ z3）
探究点3 复数与复平面内的向量有一一对应关系
我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
O
z1(a,b)
z2(c,d)
z
x
y
设 , ，分别与复数a+bi,c+di对应
=（a,b）
=(c,d)
+
=（a+c,b+d）
与复数(a+c)+(b+d)i对应
复数的加法可以按照向量的加法来进行
x
o
y
z1(a,b)
z2(c,d)
z(a+c,b+d)
z1+ z2=Oz1 +Oz2 = Oz
符合向量加法的平行四边形法则.
【复数加法运算的几何意义】
探究点4 复数的减法
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足
(c+di)+(x+yi)=a+bi
的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作
(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有
c+x=a, d+y=b,
因此 x=a-c, y=b-d
所以 x+yi=(a-c)+(b-d)i
即 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i
【复数的减法 】 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i
说明：两个复数的差是一个确定的复数 .
x
o
y
z1(a,b)
z2(c,d)
复数z2－z1
向量z1z2
符合向量减法的三角形法则.
探究点5.复数减法运算的几何意义
|z1-z2|表示什么
表示复平面上两点z1 ,z2的距离
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
=（5-2-3）+（-6-1-4）i
=-11i
例2 计算(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i)
解： 原式=（1+2-4）+（-3+5+9）i=-1+11i
例3 根据复数及其运算的几何意义.求复平面内的两点Z1(x1,y1),
Z2(x2,y2)之间的距离.
分析：由于复平面的点Z1(x1,y1), Z2(x2,y2)对应的复数分别为z1=x1+y1i, z2=x2+y2i，由复数减法的几何意义知，复数z2－z1对应的向量z1z2，从而点Z1，Z2之间的距离为|z1z2 |= |z1-z2|.
解：因为复平面的点Z1(x1,y1), Z2(x2,y2)对应的复数分别为z1=x1+y1i, z2=x2+y2i，所以Z1，Z2之间的距离为
|Z1Z2| = |z1z2| = |z1-z2|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|
=|(x2-x1)+(y2-y1) i|
= .
核心素养
易错提醒
方法总结
核心
知识
1.复数的加法法则
2.加法的几何意义
3.复数的减法法则
4.减法的几何意义
1.复数代数形式的加、减法运算：将实部与实部，虚部与虚部分别相加减之后分别作为结果的实部与虚部
2.复数加、减运算几何意义：复数的加减运算可转化为向量的坐标运算．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.
(1) 实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立
(2)复数的加、减运算结果仍是复数
1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;
2.数学运算：复数加、减运算及其几何意义求相关问题;
3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.
A.一条直线 B.两条直线 C.圆 D.其他
C
D
3.|z1|= |z2|
平行四边形OABC是 .
4.| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是 .
菱形
矩形
5. 已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－1|
(2)|z+2i|
点A到点(1,0)的距离
点A到点(0,－2)的距离
人类的幸福和欢乐在于奋斗，而最有价值的是为理想而奋斗。