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4.3.1 平方差公式
北师版 八年级下册
新知导入
【思考】
1.因式分解的定义
把一个多项式分解成几个整式的积的形式
2.怎样用提公因式法分解因式？
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
新知导入
填空.
(1)(x+5)(x-5)= ;
(2)(3x+y)(3x-y)= ;
(3)(3m+2n)(3m-2n)= .
它们的结果有什么共同特征
x2-25
9x2-y2
9m2-4n2
新知导入
你能尝试将下面式子的结果分别写成两个因式的乘积的形式吗？
(1)x2-25= ;
(2)9x2-y2= ;
(3)9m2-4n2= .
(x+5)(x-5)
(3x+y)(3x-y)
(3m+2n)(3m-2n)
新知讲解
请看乘法公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2. (1)
a2-b2=(a+b)(a-b). (2)
大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否为因式分解
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是:
左边是一个多项式，右边是整式的乘积.
新知讲解
等式(1)是整式乘法中的平方差公式，等式(2)可以看做是因式分解中的平方差公式.
a2-b2是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.
如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差的形式，那么就可以用平方差公式分解因式，将多项式分解成两个整式的和与差的积.
新知讲解
x2-16
=x2-42
=(x+4)(x-4)
9m2-4n2
=(3m)2-(2n)2
=(3m+2n)·(3m-2n).
二项式
两个整式的平方差
两个整式的和与差的积
a2-b2=(a+b)(a-b)
例如：
平方差公式分解因式
新知讲解
【例1】把下列各式因式分解:
(1)25-16x2;
(2)9a2- b2.
解:(1)25-16x2
=52-(4x)2
=(5+4x)(5-4x).
(2)9a2- b2.
=（3a)2-（ b)2
=(3a+ )( 3a- )
新知讲解
利用平方差公式分解两项式的一般步骤：
1. 找出公式中的a、b;
2. 转化成a2－b2的形式；
3. 根据公式a2－b2＝(a＋b) (a－b) 写出结果.
【总结归纳】
新知讲解
【例2】把下列各式因式分解:
(1)9(m+n)2-(m-n)2; (2)2x3-8x.
解:9(m+n)2-(m-n)2
=[3(m+n)]2-(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n)
解：2x3-8x
=2x(x2-4)
=2x(x+2)(x-2).
新知讲解
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解
【总结归纳】
课堂练习
1.判断正误：
（1）x2+y 2= (x+y) (x-y)； ( )
（2） x2-y 2= (x+y) (x-y)； ( )
（3）-x2+y 2= (-x+y) (-x-y)； ( )
（4）-x2-y 2=- (x+y) (x-y). ( )
×
√
×
×
课堂练习
2.把下列各式因式分解：
（1）a2b2-m 2； （2）(m-a)2-(n+b) 2；
（3）x2- (a+b-c) 2； （4）-16x4+81y 4.
解：（1） a2b2-m 2 = (ab)2 - m2=(ab+m) (ab-m)；
（2）(m-a)2-(n+b) 2
=[(m-a) + (n+b)][(m-a) - (n+b)]
=(m-a+ n+b)(m-a - n - b)；
课堂练习
解：（3）x2- (a+b-c) 2=[x+(a+b-c)][x- (a+b-c)]
= (x+a+b-c)(x- a-b+c)；
（4）-16x4+81y 4= (9y 2)2 - (4x 2)2
=(9y 2+4x 2) (9y 2-4x 2)
=(9y 2+4x 2) (3y+2x) (3y-2x).
2.把下列各式因式分解：
（1）a2b2-m 2； （2）(m-a)2-(n+b) 2；
（3）x2- (a+b-c) 2； （4）-16x4+81y 4.
课堂练习
3.如图，在一块边长为a cm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b cm的正方形，求剩余部分的面积.如果a=3.6，b=0.8呢？
解： S剩余=a2-4 b2= (a+2b) (a-2b).
当a=3.6，b=0.8时，
S剩余= (3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8)
=5.2×2
=10.4（cm2）.
答：剩余部分的面积为10.4 cm2 .
课堂练习
4.如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的长是多少？
拼成的长方形的面积
＝(a＋3)2－32＝(a＋3＋3)(a＋3－3)＝a(a＋6)．
∵拼成的长方形的宽为a，
∴长是a＋6.
拓展提高
5.(1)利用因式分解求证：257－512能被250整除；
证明：∵257－512
＝(52)7－(56)2
＝(57)2－(56)2
＝(57＋56)×(57－56)
＝(57＋56)×62 500
＝(57＋56)×2502，
∴257－512能被250整除．
拓展提高
5.(2)233－2能被11至20之间的两个数整除，求这两个数．
解：233－2
＝2×(232－1)
＝2×(216＋1)×(216－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(28－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(24＋1)×(24－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×17×15.
∴这两个数分别是17，15.
中考链接
6.【中考·仙桃】将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－1)
B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1)
D．(a－2)(a＋1)
B
中考链接
7.【中考·泸州】把2a2－8分解因式，结果正确的是( )
A．2(a2－4)
B．2(a－2)2
C．2(a＋2)(a－2)
D．2(a＋2)2
C
课堂总结
本节课你学到了什么？
我们已经学过的因式分解的方法有提公因式法和运用平方差公式法.
如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.
第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.
板书设计
课题：4.3.1 平方差公式
教师板演区
学生展示区
一、用平方差公式分解因式
二、例题讲解
作业布置
课本 P100 练习题
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北师版八年级下册数学4.3.1 平方差公式教学设计
课题 4.3.1 平方差公式 单元 第四单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.理解平方差公式的本质:结构的不变性,字母的可变性.2.会用平方差公式进行因式分解.3.使学生了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法,再考虑用公式法分解.4.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,渗透数学的互逆、换元、整体的思想,感受数学知识的完整性.
重点 掌握运用平方差公式分解因式的方法
难点 用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【思考】1.因式分解的定义把一个多项式分解成几个整式的积的形式2.怎样用提公因式法分解因式？如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.填空.(1)(x+5)(x-5)= ; (2)(3x+y)(3x-y)= ; (3)(3m+2n)(3m-2n)= . 它们的结果有什么共同特征 你能尝试将下面式子的结果分别写成两个因式的乘积的形式吗？(1)x2-25= ; (2)9x2-y2= ; (3)9m2-4n2= . 学生回忆所学知识，回答问题。学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向应用, 复习之前学过的知识后,提出疑问,直接引入新课,开门见山,激发学生的学习兴趣.发展学生的观察能力与逆向思维能力.
讲授新课 请看乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. (1)左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是:a2-b2=(a+b)(a-b). (2)左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否为因式分解 等式(1)是整式乘法中的平方差公式，等式(2)可以看做是因式分解中的平方差公式.a2-b2是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差的形式，那么就可以用平方差公式分解因式，将多项式分解成两个整式的和与差的积.例如：x2-16 → 二项式 ← 9m2-4n2=x2-42 → 两个整式的平方差 ← =(3m)2-(2n)2=(x+4)(x-4) =(3m+2n)·(3m-2n).两个整式的和与差的积a2-b2=(a+b)(a-b)平方差公式分解因式【例1】把下列各式因式分解:(1)25-16x2; 解:(1)25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).(2)9a2- b2.=（3a)2-（b)2=(3a+b)( 3a-b)【总结归纳】利用平方差公式分解两项式的一般步骤：1. 找出公式中的a、b;2. 转化成a2－b2的形式；3. 根据公式a2－b2＝(a＋b) (a－b) 写出结果. 【例2】把下列各式因式分解:(1)9(m+n)2-(m-n)2; (2)2x3-8x.解:(1)9(m+n)2-(m-n)2=[3(m+n)]2-(m-n)2=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n)解：(2)2x3-8x =2x(x2-4) =2x(x+2)(x-2).【总结归纳】当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解 让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习.学生根据所学知识，解决问题，教师讲解例题,明确思维方法,给出书写范例. 通过设问，学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题的能力，符合新课程标准。通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂练习 1.判断正误：（1）x2+y 2= (x+y) (x-y)； （ × ） （2） x2-y 2= (x+y) (x-y)； （ √ ） （3）-x2+y 2= (-x+y) (-x-y)； （ × ） （4）-x2-y 2=- (x+y) (x-y). （ × ） 2.把下列各式因式分解：（1）a2b2-m2； （2）(m-a)2-(n+b) 2； （3）x2- (a+b-c) 2； （4）-16x4+81y 4. 解：（1） a2b2-m 2 = (ab)2- m2=(ab+m) (ab-m)；（2）(m-a)2-(n+b) 2=[(m-a) + (n+b)][(m-a) - (n+b)]=(m-a+ n+b)(m-a - n - b)；解：（3）x2- (a+b-c) 2=[x+ (a+b-c)][x- (a+b-c)]= (x+ a+b-c)(x- a-b+c)；（4）-16x4+81y 4= (9y 2)2 - (4x2)2 =(9y 2+4x 2) (9y 2-4x 2)=(9y 2+4x2) (3y+2x) (3y-2x).3.如图，在一块边长为a cm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b cm的正方形，求剩余部分的面积.如果a=3.6，b=0.8呢？解： S剩余=a2-4 b2= (a+2b) (a-2b).当a=3.6，b=0.8时，S剩余= (3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8)=5.2×2=10.4（cm2）.答：剩余部分的面积为10.4 cm2 .4.如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的长是多少？拼成的长方形的面积＝(a＋3)2－32＝(a＋3＋3)(a＋3－3)＝a(a＋6)．∵拼成的长方形的宽为a，∴长是a＋6.5.(1)利用因式分解求证：257－512能被250整除；证明：∵257－512＝(52)7－(56)2＝(57)2－(56)2＝(57＋56)×(57－56)＝(57＋56)×62 500＝(57＋56)×2502，∴257－512能被250整除．5.(2)233－2能被11至20之间的两个数整除，求这两个数．解： 233－2＝2×(232－1)＝2×(216＋1)×(216－1)＝2×(216＋1)×(28＋1)×(28－1)＝2×(216＋1)×(28＋1)×(24＋1)×(24－1)＝2×(216＋1)×(28＋1)×17×15.∴这两个数分别是17，15.6.【中考·仙桃】将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( B )A．a(a－1) B．a(a－2)C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)7.【中考·泸州】把2a2－8分解因式，结果正确的是( C )A．2(a2－4) B．2(a－2)2C．2(a＋2)(a－2) D．2(a＋2)2 学习做练习，小组内总结答案。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？我们已经学过的因式分解的方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.
板书 课题：4.3.1 平方差公式一、用平方差公式分解因式二、例题讲解
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