第六章 第3节万有引力定律

第3节　万有引力定律
1．假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，同样遵从
“____________”的规律，由于月球轨道半径约为地球半径(苹果到地心的距离)的60倍，
所以月球轨道上一个物体受到的引力是地球上的________倍．根据牛顿第二定律，物体
在月球轨道上运动时的加速度(月球______________加速度)是它在地面附近下落时的加
速度(____________加速度)的________．根据牛顿时代测出的月球公转周期和轨道半径，
检验的结果是____________________．
2．自然界中任何两个物体都____________，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与
________________________成正比、与__________________________成反比，用公式表
示即________________．其中G叫____________，数值为________________，它是英国
物理学家______________在实验室利用扭秤实验测得的．
3．万有引力定律适用于________的相互作用．近似地，用于两个物体间的距离远远大于
物体本身的大小时；特殊地，用于两个均匀球体，r是________间的距离．
4．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是(　　)
A．不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看做质点的两物体间的引力才能用F＝计算
C．由F＝知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10－11 N·m2/kg2
5．对于公式F＝G理解正确的是(　　)
A．m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
B．m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对作用力与反作用力
C．当r趋近于零时，F趋向无穷大
D．当r趋近于零时，公式不适用
6．要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不可采用的是(　　)
A．使物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D．使两物体间的距离和质量都减为原来的
【概念规律练】
知识点一　万有引力定律的理解
1．关于万有引力定律的适用范围，下列说法中正确的是(　　)
A．只适用于天体，不适用于地面上的物体
B．只适用于球形物体，不适用于其他形状的物体
C．只适用于质点，不适用于实际物体
D．适用于自然界中任何两个物体之间
2．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小
铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为(　　)
A.F B．4F C.F D．16F
3．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地
球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有
引力的(　　)
A．0.25倍 B．0.5倍 C．2.0倍 D．4.0倍
知识点二　用万有引力公式计算重力加速度
4．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的
作用而产生的加速度为g，则g/g0为(　　)
A．1 B．1/9 C．1/4 D．1/16
5．假设火星和地球都是球体，火星质量M火和地球质量M地之比为＝p，火星半径R
火和地球半径R地之比＝q，那么离火星表面R火高处的重力加速度g火h和离地球表面
R地高处的重力加速度g地h之比＝________.
【方法技巧练】
一、用割补法求解万有引力的技巧
6．有一质量为M、
图1
半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M
中挖去一半径为的球体，如图1所示，求剩下部分对m的万有引力F为多大？
二、万有引力定律与抛体运动知识的综合
7．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在
某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球
表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′.
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之
比M星∶M地．
8．宇航员站在某一星球距离表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经
过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面重力加速度g的大小；
(2)小球落地时的速度大小；
(3)该星球的质量．
1．下列关于万有引力定律的说法中，正确的是(　　)
A．万有引力定律是牛顿发现的
B．F＝G中的G是一个比例常数，是没有单位的
C．万有引力定律适用于任意质点间的相互作用
D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F＝来计算，r是
两球体球心间的距离
2．下列关于万有引力的说法中正确的是(　　)
A．万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用力
B．重力和引力是两种不同性质的力
C．当两物体间有另一质量不可忽略的物体存在时，则这两个物体间的万有引力将增大
D．当两物体间距离为零时，万有引力将无穷大
3．下列关于万有引力定律的说法中，正确的是(　　)
①万有引力定律是卡文迪许在实验室中发现的　②对于相距很远、可以看成质点的两个
物体，万有引力定律F＝G中的r是两质点间的距离　③对于质量分布均匀的球体，
公式中的r是两球心间的距离　④质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物
体对质量大的物体的引力
A．①③ B．②④
C．②③ D．①④
4．苹果自由落向地面时加速度的大小为g，在离地面高度等于地球半径处做匀速圆周运
动的人造卫星的向心加速度为(　　)
A．g B.g
C.g D．无法确定
5．在某次测定引力常量的实验中，两金属球的质量分别为m1和m2，球心间的距离为r，
若测得两金属球间的万有引力大小为F，则此次实验得到的引力常量为(　　)
A. B.
C. D.
6．设想把质量为m的物体放到地球的中心，地球质量为M，半径为R，则物体与地球
间的万有引力是(　　)
A．零 B．无穷大
C．G D．无法确定
7．月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，一个质量为600 kg的飞行器到达
月球后(　　)
A．在月球上的质量仍为600 kg
B．在月球表面上的重力为980 N
C．在月球表面上方的高空中重力小于980 N
D．在月球上的质量将小于600 kg
8．如图2所示，两个半径分别为r1＝0.40 m，r2＝0.60 m，质量分布均匀的实心球质量
分别为m1＝4.0 kg、m2＝1.0 kg，两球间距离r0＝2.0 m，则两球间的相互引力的大小为(G
＝6.67×10－11 N·m2/kg2)(　　)
图2
A．6.67×10－11 N B．大于6.67×10－11 N
C．小于6.67×10－11 N D．不能确定
9．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，
一个在地球表面重力为600 N的人在这个行星表面的重力将变为960 N．由此可推知，
该行星的半径与地球半径之比约为(　　)
A．0.5 B．2 C．3.2 D．4
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答　案
10.火星半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的.一位宇航员连同宇航服在地
球上的质量为100 kg，则在火星上其质量为________kg，重力为________ N．(g取9.8 m/s2)
11．假设地球自转速度达到使赤道上的物体能“飘”起来(完全失重)．试估算一下，此
时地球上的一天等于多少小时？(地球半径取6.4×106 m，g取10 m/s2)
12．如图3所示，
图3
火箭内平台上放有测试仪，火箭从地面启动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某
一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的.已知地球半径为R，求火箭此时离地
面的高度．(g为地面附近的重力加速度)
第3节　万有引力定律
课前预习练
1．平方反比　　公转的向心　自由落体　　遵从相同的规律
2．相互吸引　物体的质量m1和m2的乘积　它们之间距离r的二次方　F＝G　引力常量　6.67×10－11 N·m2/kg2　卡文迪许
3．质点　球心
4．C　[任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；两个质量均匀的球体间的万有引力也能用F＝来计算，B错；物体间的万有引力与它们距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C对；引力常量G是由卡文迪许精确测出的，D错．]
5．BD　[两物体间的万有引力是一对相互作用力，而非平衡力，故A错，B对；万有引力公式F＝G只适用于质点间的万有引力计算，当r→0时，物体便不能再视为质点，公式不适用，故C错，D对．]
6．D
课堂探究练
1．D
2．D　[小铁球间的万有引力F＝G＝
大铁球半径是小铁球半径的2倍，其质量为
小铁球m＝ρV＝ρ·πr3
大铁球M＝ρV′＝ρ·π(2r)3＝8·ρ·πr3＝8m
所以两个大铁球之间的万有引力
F′＝G＝16·＝16F.]
点评　运用万有引力定律时，要准确理解万有引力定律公式中各量的意义并能灵活运用．本题通常容易出现的错误是考虑两球球心距离的变化而忽略球体半径变化而引起的质量变化，从而导致错误．
3．C　[由万有引力定律公式，在地球上引力F＝G，在另一星球上引力F′＝G＝G＝2G＝2F，故C正确．]
点拨　利用万有引力定律分别计算宇航员在地球表面和星球表面所受到的万有引力，然后比较即可得到结果．
4．D　[地球表面：G＝mg0.离地心4R处：G＝mg由以上两式得：＝()2＝.]
点评　(1)切记在地球表面的物体与地心的距离为R.
(2)物体在离地面h高度处，所受的万有引力和重力相等，有mg＝.所以g随高度的增加而减小，不再等于地面附近的重力加速度．
(3)通常情况下，处在地面上的物体，不管这些物体是处于何种状态，都可以认为万有引力和重力相等，但有两种情况必须对两者加以区别：一是从细微之处分析重力与万有引力大小的关系，二是物体离地面高度与地球半径相比不能忽略的情况．
5.
解析　距某一星球表面h高处的物体的重力，可认为等于星球对该物体的万有引力，即mgh＝G，解得距星球表面h高处的重力加速度为gh＝G.故距火星表面R火高处的重力加速度为g火h＝G，距地球表面R地高处的重力加速度为g地h＝G，以上两式相除得＝·＝.
点评　对于星球表面上空某处的重力加速度gh＝G，可理解为gh与星球质量成正比，与该处到星球球心距离的二次方成反比．
6.
解析　一个质量均匀分布的球体与球外的一个质点间的万有引力可以用公式F＝G直接进行计算，但当球体被挖去一部分后，由于质量分布不均匀，万有引力定律就不再适用．此时我们可以用“割补法”进行求解．
设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m的万有引力为F1，可以看做是剩余部分对质点的万有引力F与被挖小球对质点的万有引力F2的合力，即
F1＝F＋F2.
设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′.
由题意知M′＝，r′＝；
由万有引力定律得
F1＝G＝
F2＝G＝G＝
故F＝F1－F2＝.
方法总结　本题易错之处为求F时将球体与质点之间的距离d当做两物体间的距离，直接用公式求解．求解时要注意，挖去球形空穴后的剩余部分已不是一个均匀球体，不能直接运用万有引力定律公式进行计算，只能用割补法．
7．(1)2 m/s2　(2)1∶80
解析　 (1)依据竖直上抛运动规律可知，地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为：t＝
在该星球表面上竖直上抛的物体落回原地所用时间为：5t＝
所以g′＝g＝2 m/s2
(2)星球表面物体所受重力等于其所受星体的万有引力，则有mg＝G
所以M＝
可解得：M星∶M地＝1∶80.
8．(1)　(2)　(3)
解析　(1)由平抛运动的知识知，在竖直方向小球做自由落体运动，h＝gt2
所以g＝.
(2)水平方向速度不变vx＝v0
竖直方向做匀加速运动vy＝gt＝
所以落地速度v＝＝
(3)在星球表面，物体的重力和所受的万有引力相等．故有：
mg＝G
所以M＝＝
课后巩固练
1．ACD　[万有引力定律是牛顿在前人研究的基础上发现的，据F＝G知G的国际单位是N·m2/kg2，适用于任何两个物体之间的相互引力作用．]
2．A　[两物体间万有引力大小只与两物体质量的乘积及两物体间的距离有关，与存不存在另一物体无关，所以C错．若间距为零时，公式不适用，所以D错．]
3．C
4．C　[地面处：mg＝G，则g＝
离地面高为R处：mg′＝G，则g′＝
所以＝，即g′＝g，C正确．]
5．B　[由万有引力定律F＝G得G＝，所以B项正确．]
6．A　[设想把物体放到地球中心，此时F＝G已不适用，地球的各部分对物体的吸引力是对称的，故物体与地球间的万有引力是零，答案为A.]
7．ABC　[物体的质量与物体所处的位置及运动状态无关，故A对，D错；由题意可知，物体在月球表面上受到的重力为地球表面上重力的，即F＝mg＝×600×9.8 N＝980 N，故B对；由F＝知，r增大时，引力F减小．在星球表面，物体的重力可近似认为等于物体所受的万有引力，故C对．]
点评　物体的质量是物体所含物质的多少，与物体所处的位置和物体的运动状态无关；在星球表面，物体的重力可认为等于物体所受的万有引力，与物体和星球的质量及二者的相对位置有关．
8．C　[此题中为两质量分布均匀的球体，r是指两球心间的距离，由万有引力定律公式得F＝＝ N＝2.96×10－11 N<6.67×10－11 N，故选C.
对公式F＝G的各物理量的含义要弄清楚．两物体之间的距离r：当两物体可以看成质点时，r是指两质点间距离；对质量分布均匀的球体，r是指两球心间距离．]
9．B　[设地球质量为m，则“宜居”行星质量为M，则M＝6.4m.
设人的质量为m′，地球的半径为R地，“宜居”行星的半径为R，由万有引力定律得，地球上
G地＝G
“宜居”行星上G′＝G＝G
两式相比得＝＝＝.]
10．100　436
解析　地球表面的重力加速度g地＝ ①
火星表面的重力加速度g火＝ ②
由①②得
g火＝·g地＝22××9.8 m/s2≈4.36 m/s2，物体在火星上的重力mg火＝100×4.36 N＝436 N.
11．1.4 h
解析　物体刚要“飘”起来时，还与地球相对静止，其周期等于地球自转周期，此时物体只受重力作用，物体“飘”起来时，半径为R地，据万有引力定律有
mg＝＝mR地
得T＝＝ s＝5 024 s＝1.4 h.
12.
解析　在地面附近的物体，所受重力近似等于物体受到的万有引力，即mg≈G，物体距地面一定高度时，万有引力定律中的距离为物体到地心的距离，重力和万有引力近似相等，故此时的重力加速度小于地面上的重力加速度．
取测试仪为研究对象，其先后受力如图甲、乙所示．
据物体的平衡条件有FN1＝mg1，g1＝g
所以FN1＝mg
据牛顿第二定律有FN2－mg2＝ma＝m·
所以FN2＝＋mg2
由题意知FN2＝FN1，所以＋mg2＝mg
所以g2＝g，由于mg≈G，设火箭距地面高度为H，所以mg2＝G
又mg＝G
所以g＝，H＝.
习题课
基础练
1．关于做平抛运动的物体，下列说法中正确的是(　　)
A．物体只受重力作用，做的是a＝g的匀变速运动
B．初速度越大，物体在空间的运动时间越长
C．物体在运动过程中，在相等的时间间隔内水平位移相等
D．物体在运动过程中，在相等的时间间隔内竖直位移相等
2．关于平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．从同一高度，以大小不同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定同时着地，但抛
出的水平距离一定不同
B．从不同高度，以相同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定不能同时着地，抛出
的水平距离也一定不同
C．从不同高度，以不同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定不能同时着地，抛出
的水平距离也一定不同
D．从同一高度，以不同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定不能同时着地，抛出
的水平距离也一定不同
3．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是(　　)
A．大小相等，方向相同
B．大小不等，方向不同
C．大小相等，方向不同
D．大小不等，方向相同
4．飞机以150 m/s的水平速度匀速飞行，某时刻让A球落下，相隔1 s又让B球落下，
不计空气阻力，在以后的运动过程中，关于A、B两球相对位置的关系，下列结论中正
确的是(　　)
A．A球在B球的前下方
B．A球在B球的后下方
C．A球在B球的正下方5 m处
D．以上说法都不对
5．在高处以初速度v0水平抛出一粒石子，当它的速度由水平方向变化到与水平方向夹
角为θ的过程中，石子水平位移的大小为(　　)
A. B.
C. D.
6．如图1所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体
与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(　　)
图1
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
7．物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切值tan α随时间t变化
的图象是下列图中的(　　)
提升练
8.
图2
如图2所示，从倾角为θ的斜面上A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，
它落到斜面上B点时所用的时间为(　　)
A.
B.
C.
D.
9.
图3
如图3所示，A、B两质点以相同的水平初速度v0抛出，A在竖直面内运动，落地点为
P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，比较P1、P2在x轴方向上距抛出点的
远近关系及落地时速度的大小关系，正确的是(　　)
A．P2较远
B．P1、P2一样远
C．A落地时速率大
D．A、B落地时速率一样大
10.
图4
平抛运动可以分解为水平和竖直方向上的两个直线运动，在同一坐标系中作出这两个分
运动的v－t图线，如图4所示，若平抛运动的时间大于2t1，下列说法中正确的是(　　)
A．图线2表示竖直分运动的v－t图线
B．t1时刻的速度方向与初速度方向夹角为30°
C．t1时刻的位移方向与初速度方向夹角的正切值为
D．2t1时刻的位移方向与初速度方向夹角为60°
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
11.汽车以16 m/s的速度在地面上匀速行驶，汽车后壁货架上放一书包，架高1.8 m，汽
车突然刹车，刹车的加速度大小是4 m/s2，致使书包从架上落下，忽略书包与架子间的
摩擦及空气阻力，g取10 m/s2，则书包落在车上距车后壁________ m处．
12．为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破．飞机在河道上空高H处以速度v0
水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标，求炸弹从刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平
距离及击中目标时的速度大小．(不计空气阻力)
13.
图5
如图5所示，射击枪水平放置，射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上，
枪口与目标靶之间的距离x＝100 m，子弹射出的水平速度v＝200 m/s，子弹从枪口射出
的瞬间，目标靶由静止开始释放，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)从子弹由枪口射出开始计时，经多长时间子弹击中目标靶？
(2)目标靶由静止开始释放到被子弹击中，下落的距离h为多少？
14．A、B两个小球由柔软的细线相连，线长l＝6 m；将A、B球先后以相同的初速度v0
＝4.5 m/s，从同一点水平抛出(先A后B)，相隔时间Δt＝0.8 s.
(1)A球抛出后经多少时间，细线刚好被拉直？
(2)细线刚被拉直时，A、B球的水平位移(相对于抛出点)各多大？(g取10 m/s2)
习题课
1．AC
2．AB　[根据平抛运动的规律，水平位移x＝v1t，竖直位移y＝gt2，所以落地时间由抛出时的高度决定，水平位移由抛出高度和初速度共同决定，所以A、B正确．]
3．A　4.D　5.C
6．D　[物体从斜面顶端抛出落到斜面上，平抛运动过程位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝＝，而落到斜面上时的速度方向与水平方向的夹角正切值tan φ＝＝，所以tan φ＝2tan θ，D项正确．]
7．B　[由平行四边形定则可知tan α＝，而vy＝gt，所以tan α＝t，tan α与t成正比，所以B正确．]
8．B　[设小球从抛出至落到斜面上的时间为t，在这段时间内水平位移和竖直位移分别为x＝v0t，y＝gt2，如图所示，由几何关系知tan θ＝＝，所以t＝tan θ.]
9．AD
10．AC　[平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故A对；由v－t图象可知，t1时刻，水平和竖直分速度相等，所以t1时刻的速度方向与初速度方向夹角为45°，B错；设t1时刻速度方向与初速度方向夹角为φ，位移方向与初速度方向夹角为θ，则有推论：tan φ＝2tan θ，C对；由v－t图象可知，2t1时刻，vy＝2v0，tan φ＝2，故tan θ＝1，即2t1时刻的位移方向与初速度方向夹角为45°.]
11．0.72
解析　书包从架上落下后，书包所做的是平抛运动，其下落时间为t＝＝0.6 s，它在水平方向上的位移x1＝v0t＝16×0.6 m＝9.6 m．对汽车来说它刹车后经t2＝＝4 s停下来，所以在0.6 s内汽车的位移x2＝v0t－at2＝8.88 m，所以书包应落在距汽车后壁Δx＝x1－x2＝0.72 m处．
12．v0　
解析　设炸弹从刚脱离飞机到击中目标所用时间为t，水平运动的距离为x，由平抛运动的规律
H＝gt2 ①
x＝v0t ②
联立①和②，得
x＝v0 ③
设炸弹击中目标时的速度为v，竖直方向的速度分量为vy
vy＝gt ④
v＝ ⑤
联立①④⑤，得
v＝
13．(1)0.5 s　(2)1.25 m
解析　(1)子弹做平抛运动，它在水平方向的分运动是匀速直线运动，设子弹经t时间击中目标靶，则
t＝
代入数据得t＝0.5 s
(2)目标靶做自由落体运动，则h＝gt2
代入数据得h＝1.25 m
14．(1)1 s　(2)A球的水平位移为4.5 m，B球的水平位移为0.9 m
解析　(1)两球水平方向位移之差恒为4.5×0.8 m＝3.6 m，AB竖直方向的位移差随时间变化，当竖直方向位移差与水平方向位移差的合位移差等于6 m时绳被拉直．
由水平方向位移差3.6 m，绳子长6 m，可以求得竖直方向位移差为h时绳绷紧．
h＝ m＝4.8 m，有
gt2－g(t－0.8 s)2＝4.8 m，得t＝1 s.
(2)细线刚被拉直时，A球的水平位移为4.5×1 m＝4.5 m，B球的水平位移为4.5×(1－0.8) m＝0.9 m.