第六章 第4节万有引力理论的成就

第4节　万有引力理论的成就
1．若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于______对物
体的________，即mg＝________，式中M是地球的质量，R是地球的半径，也就是物
体到地心的距离．由此可得出地球的质量M＝________.
2．将行星绕太阳的运动近似看成____________运动，行星做圆周运动的向心力由
__________________________提供，则有________________，式中M是______的质量，
m是________的质量，r是________________________________，也就是行星和太阳中
心的距离，T是________________________．由此可得出太阳的质量为：
________________________.
3．同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的________和卫星与行星之间的________，也
可以计算出行星的质量．
4．太阳系中，观测行星的运动，可以计算________的质量；观测卫星的运动，可以计算
________的质量．
5．18世纪，人们发现太阳系的第七个行星——天王星的运动轨道有些古怪：根据
________________计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差．据此，人们推测，在
天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的________使其轨道产生了偏离．
________________和________________________确立了万有引力定律的地位．
6．应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是：(1)把天体(行星或卫星)的运动近
似看成是____________运动，向心力由它们之间的____________提供，即F万＝F向，可
以用来计算天体的质量，讨论行星(或卫星)的线速度、角速度、周期等问题．基本公式：
________＝m＝mrω2＝mr.
(2)地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球间的____________，即F万＝G＝mg，
主要用于计算涉及重力加速度的问题．基本公式：mg＝________(m在M的表面上)，即
GM＝gR2.
7．利用下列数据，可以计算出地球质量的是(　　)
A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
8．下列说法正确的是(　　)
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨
道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星
【概念规律练】
知识点一　计算天体的质量
1．已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是(　　)
A．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离
B．月球绕地球运行的周期及月球离地球的距离
C．人造地球卫星在地面附近绕行的速度及运行周期
D．若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度
2．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106
m，则可知地球质量的数量级是(　　)
A．1018 kg B．1020 kg
C．1022 kg D．1024 kg
知识点二　天体密度的计算
3．一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，若认为行星是密度均匀的球体，那
么要确定该行星的密度，只需要测量(　　)
A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度
C．飞船的运行周期 D．行星的质量
4．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若卫星贴近该天体的表面做匀
速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星
距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多
少？
知识点三　发现未知天体
5．科学家们推测，太阳系的第九大行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳
的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信
息我们可以推知(　　)
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的自转周期与地球相等
C．这颗行星的质量与地球相等
D．这颗行星的密度与地球相等
【方法技巧练】
应用万有引力定律分析天体运动问题的方法
6．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2，设在卫星1、卫
星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则(　　)
A.＝()4/3 B.＝()4/3
C.＝()2 D.＝()2
7．已知地球半径R＝6.4×106 m，地面附近重力加速度g＝9.8 m/s2.计算在距离地面高为
h＝2×106 m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T.
1．若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则
可求得(　　)
A．该行星的质量
B．太阳的质量
C．该行星的平均密度
D．太阳的平均密度
2．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面表面处重力加速
度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(　　)
A. B．4倍
C．16倍 D．64倍
3．火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道
半径约为地球绕太阳公转半径的1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是(　　)
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面小
B．火星公转的周期比地球的长
C．火星公转的线速度比地球的大
D．火星公转的向心加速度比地球的大
4．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，
那么该行星的平均密度为(　　)
A. B.
C. D.
5．为了对火星及其周围的空间环境进行监测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星
探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，
周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常
量为G.仅利用以上数据，可以计算出(　　)
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
6．设地球半径为R，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为一颗近地绕地球做匀速圆
周运动的人造卫星，c为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r.下列说法中正确的是(　　)
A．a与c的线速度大小之比为
B．a与c的线速度大小之比为
C．b与c的周期之比为
D．b与c的周期之比为
7．2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太
空行走标志着中国航天事业全新时代的到来．“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动，
其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为2r，则可以确定
(　　)
A．卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为1∶4
B．卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为1∶
C．翟志刚出舱后不再受地球引力
D．翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如不小心实验样品脱手，则它将做
自由落体运动
8．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为(　　)
A. B. C. D.
9．如图1所示，
图1
a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为
地球半径)．下列说法中正确的是(　　)
A．a、b的线速度大小之比是∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度大小之比是3∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4
10．英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在
XTEJ1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约为45 km，
质量M和半径R的关系满足＝(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力
加速度的数量级为(　　)
A．108 m/s2 B．1010 m/s2
C．1012 m/s2 D．1014 m/s2
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
11.土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个
岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA＝8.0×104 km和rB＝1.2×105 km，忽略所
有岩石颗粒间的相互作用．(结果可用根式表示)
(1)求岩石颗粒A和B的线速度之比．
(2)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出它在距土星中心3.2×105 km处
受到土星的引力为0.38 N．已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的
多少倍？
12．中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观测到
它的自转周期为T＝ s．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不
致因自转而瓦解？(计算时星体可视为均匀球体，万有引力常量G＝6.67×10－11m3/(kg·s2))
第4节　万有引力理论的成就
课前预习练
1．地球　引力　　
2．匀速圆周　太阳对行星的万有引力　＝mr()2　太阳　行星　行星绕太阳运动的轨道半径　行星绕太阳运动的公转周期　M＝
3．周期　距离
4．太阳　行星
5．万有引力定律　吸引　海王星的发现　哈雷彗星的“按时回归”
6．(1)匀速圆周　万有引力　　(2)万有引力　
7．ABCD　[设相对地面静止的某一物体的质量为m，则有G＝mg得M＝，所以A选项正确．设卫星质量为m，则万有引力提供向心力，G＝m得M＝，所以B选项正确．设卫星质量为m，由万有引力提供向心力，G＝m，得M＝，所以C选项正确．设卫星质量为m，由万有引力提供向心力，G＝mω2r＝mvω＝mv，由v＝rω＝r，消去r得M＝，所以D选项正确．]
8．D
课堂探究练
1．BCD
2．D
点评　天体质量的计算仅适用于计算被环绕的中心天体的质量，无法计算围绕中心天体做圆周运动的天体的质量，常见的天体质量的计算有如下两种：
(1)已知行星的运动情况，计算太阳质量．
(2)已知卫星的运动情况，计算行星质量．
3．C　[因为＝mR，所以M＝，又因为V＝πR3，ρ＝，所以ρ＝，选项C正确．]
点评　利用飞船受到行星的万有引力提供飞船做圆周运动的向心力进行分析．
4.　
解析　设卫星的质量为m，天体的质量为M.卫星贴近天体表面做匀速圆周运动时有
G＝mR，则M＝
根据数学知识可知星球的体积V＝πR3
故该星球密度ρ1＝＝＝
卫星距天体表面距离为h时有
G＝m(R＋h)
M＝
ρ2＝＝＝
点评　利用公式M＝计算出天体的质量，再利用ρ＝计算天体的密度，注意r指绕天体运动的轨道半径，而R指中心天体的半径，只有贴近中心天体运动时才有r＝R.
5．A
6．B　[卫星绕天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有＝m()2R，可得＝K为常数，由重力等于万有引力有＝mg，联立解得g＝＝，则g与T成反比．]
7．6.9×103 m/s　7.6×103 s
解析　根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有
G＝m
知v＝ ①
由地球表面附近万有引力近似等于重力，即G＝mg得GM＝gR2②
由①②两式可得
v＝ ＝6.4×106×  m/s
＝6.9×103 m/s
运动周期T＝
＝ s＝7.6×103 s
方法总结　解决天体问题的两条思路
(1)所有做圆周运动的天体，所需要的向心力都来自万有引力．因此，向心力等于万有引力是我们研究天体运动建立方程的基本关系式，即G＝ma，式中的a是向心加速度．
(2)物体在地球(天体)表面时受到的万有引力近似等于物体的重力，即：G＝mg，式中的R为地球(天体)的半径，g为地球(天体)表面物体的重力加速度．
课后巩固练
1．B
2．D　[由G＝mg得M＝，
ρ＝＝＝
所以R＝，则＝＝4
根据M＝＝＝＝64M地，所以D项正确．]
3．AB　[由G＝mg得g＝G，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的，A正确；由G＝m()2r得T＝2π，公转轨道半径大的周期长，B对；周期长的线速度小(或由v＝判断轨道半径大的线速度小)，C错；公转向心加速度a＝G，D错．]
4．B　[设飞船的质量为m，它做匀速圆周运动的半径为行星半径R，则G＝m()2R，所以行星的质量M＝，行星的平均密度ρ＝＝＝，B项正确．]
5．A　[设火星质量为M，半径为R，“萤火一号”的质量为m，则有
G＝m2(R＋h1) ①
G＝m2(R＋h2) ②
联立①②两式可求得M、R，由此可进一步求火星密度，由于mg＝，则g＝，显然火星表面的重力加速度也可求出，正确答案为A.]
6．D　[物体a与同步卫星c角速度相等，由v＝rω可得，二者线速度之比为，选项A、B均错误；而b、c均为卫星，由T＝2π可得，二者周期之比为，选项C错误，D正确．]
7．AB　[根据a＝，可知a1∶a2＝1∶4，故A正确；根据v＝ ，可知v1∶v2＝1∶，故B正确；根据万有引力定律，翟志刚不论是在舱里还是在舱外，都受地球引力的作用，故C错；样品脱手时具有和人同样的初速度，并不会做自由落体运动，故D错．]
8．D　[物体随天体一起自转，当万有引力全部提供向心力使之转动时，物体对天体的压力恰好为零，则G＝mR，又ρ＝，所以T＝，D正确．]
9．CD　[根据G＝m得
v＝，＝＝ .
根据＝mr，得
T＝，
＝ ＝
＝＝3 ∶4.
根据an＝＝，得
＝()2＝.]
10．C　[可认为黑洞表面物体的重力等于万有引力，即mg＝，即g＝，将＝代入上式得g＝＝ m/s2＝1×1012 m/s2.]
11．(1)　(2)95
解析　(1)万有引力提供岩石颗粒做圆周运动的向心力，所以有G＝mv2/r.故v＝所以＝＝＝.
(2)设物体在地球上重为G地，在土星上重为G土，则由万有引力定律知：
G地＝G，G土＝G
又F万＝G，故G土R＝F万r2
所以＝＝＝＝95.
12．1.27×1014 kg/m3
解析　考虑中子星赤道处一小块物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解．
设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小块物体质量为m，则有
＝mω2R，ω＝，M＝πR3ρ
由以上各式得ρ＝
代入数据解得ρ＝1.27×1014 kg/m3
点评　因中子星自转的角速度处处相同，据G＝mω2R知，只要赤道上的物体不做离心运动，其他位置上的物体就会处于稳定状态，中子星就不会瓦解．
习题课
基础练
1．关于做平抛运动的物体，下列说法中正确的是(　　)
A．物体只受重力作用，做的是a＝g的匀变速运动
B．初速度越大，物体在空间的运动时间越长
C．物体在运动过程中，在相等的时间间隔内水平位移相等
D．物体在运动过程中，在相等的时间间隔内竖直位移相等
2．关于平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．从同一高度，以大小不同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定同时着地，但抛
出的水平距离一定不同
B．从不同高度，以相同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定不能同时着地，抛出
的水平距离也一定不同
C．从不同高度，以不同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定不能同时着地，抛出
的水平距离也一定不同
D．从同一高度，以不同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定不能同时着地，抛出
的水平距离也一定不同
3．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是(　　)
A．大小相等，方向相同
B．大小不等，方向不同
C．大小相等，方向不同
D．大小不等，方向相同
4．飞机以150 m/s的水平速度匀速飞行，某时刻让A球落下，相隔1 s又让B球落下，
不计空气阻力，在以后的运动过程中，关于A、B两球相对位置的关系，下列结论中正
确的是(　　)
A．A球在B球的前下方
B．A球在B球的后下方
C．A球在B球的正下方5 m处
D．以上说法都不对
5．在高处以初速度v0水平抛出一粒石子，当它的速度由水平方向变化到与水平方向夹
角为θ的过程中，石子水平位移的大小为(　　)
A. B.
C. D.
6．如图1所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体
与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(　　)
图1
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
7．物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切值tan α随时间t变化
的图象是下列图中的(　　)
提升练
8.
图2
如图2所示，从倾角为θ的斜面上A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，
它落到斜面上B点时所用的时间为(　　)
A.
B.
C.
D.
9.
图3
如图3所示，A、B两质点以相同的水平初速度v0抛出，A在竖直面内运动，落地点为
P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，比较P1、P2在x轴方向上距抛出点的
远近关系及落地时速度的大小关系，正确的是(　　)
A．P2较远
B．P1、P2一样远
C．A落地时速率大
D．A、B落地时速率一样大
10.
图4
平抛运动可以分解为水平和竖直方向上的两个直线运动，在同一坐标系中作出这两个分
运动的v－t图线，如图4所示，若平抛运动的时间大于2t1，下列说法中正确的是(　　)
A．图线2表示竖直分运动的v－t图线
B．t1时刻的速度方向与初速度方向夹角为30°
C．t1时刻的位移方向与初速度方向夹角的正切值为
D．2t1时刻的位移方向与初速度方向夹角为60°
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
11.汽车以16 m/s的速度在地面上匀速行驶，汽车后壁货架上放一书包，架高1.8 m，汽
车突然刹车，刹车的加速度大小是4 m/s2，致使书包从架上落下，忽略书包与架子间的
摩擦及空气阻力，g取10 m/s2，则书包落在车上距车后壁________ m处．
12．为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破．飞机在河道上空高H处以速度v0
水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标，求炸弹从刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平
距离及击中目标时的速度大小．(不计空气阻力)
13.
图5
如图5所示，射击枪水平放置，射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上，
枪口与目标靶之间的距离x＝100 m，子弹射出的水平速度v＝200 m/s，子弹从枪口射出
的瞬间，目标靶由静止开始释放，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)从子弹由枪口射出开始计时，经多长时间子弹击中目标靶？
(2)目标靶由静止开始释放到被子弹击中，下落的距离h为多少？
14．A、B两个小球由柔软的细线相连，线长l＝6 m；将A、B球先后以相同的初速度v0
＝4.5 m/s，从同一点水平抛出(先A后B)，相隔时间Δt＝0.8 s.
(1)A球抛出后经多少时间，细线刚好被拉直？
(2)细线刚被拉直时，A、B球的水平位移(相对于抛出点)各多大？(g取10 m/s2)
习题课
1．AC
2．AB　[根据平抛运动的规律，水平位移x＝v1t，竖直位移y＝gt2，所以落地时间由抛出时的高度决定，水平位移由抛出高度和初速度共同决定，所以A、B正确．]
3．A　4.D　5.C
6．D　[物体从斜面顶端抛出落到斜面上，平抛运动过程位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝＝，而落到斜面上时的速度方向与水平方向的夹角正切值tan φ＝＝，所以tan φ＝2tan θ，D项正确．]
7．B　[由平行四边形定则可知tan α＝，而vy＝gt，所以tan α＝t，tan α与t成正比，所以B正确．]
8．B　[设小球从抛出至落到斜面上的时间为t，在这段时间内水平位移和竖直位移分别为x＝v0t，y＝gt2，如图所示，由几何关系知tan θ＝＝，所以t＝tan θ.]
9．AD
10．AC　[平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故A对；由v－t图象可知，t1时刻，水平和竖直分速度相等，所以t1时刻的速度方向与初速度方向夹角为45°，B错；设t1时刻速度方向与初速度方向夹角为φ，位移方向与初速度方向夹角为θ，则有推论：tan φ＝2tan θ，C对；由v－t图象可知，2t1时刻，vy＝2v0，tan φ＝2，故tan θ＝1，即2t1时刻的位移方向与初速度方向夹角为45°.]
11．0.72
解析　书包从架上落下后，书包所做的是平抛运动，其下落时间为t＝＝0.6 s，它在水平方向上的位移x1＝v0t＝16×0.6 m＝9.6 m．对汽车来说它刹车后经t2＝＝4 s停下来，所以在0.6 s内汽车的位移x2＝v0t－at2＝8.88 m，所以书包应落在距汽车后壁Δx＝x1－x2＝0.72 m处．
12．v0　
解析　设炸弹从刚脱离飞机到击中目标所用时间为t，水平运动的距离为x，由平抛运动的规律
H＝gt2 ①
x＝v0t ②
联立①和②，得
x＝v0 ③
设炸弹击中目标时的速度为v，竖直方向的速度分量为vy
vy＝gt ④
v＝ ⑤
联立①④⑤，得
v＝
13．(1)0.5 s　(2)1.25 m
解析　(1)子弹做平抛运动，它在水平方向的分运动是匀速直线运动，设子弹经t时间击中目标靶，则
t＝
代入数据得t＝0.5 s
(2)目标靶做自由落体运动，则h＝gt2
代入数据得h＝1.25 m
14．(1)1 s　(2)A球的水平位移为4.5 m，B球的水平位移为0.9 m
解析　(1)两球水平方向位移之差恒为4.5×0.8 m＝3.6 m，AB竖直方向的位移差随时间变化，当竖直方向位移差与水平方向位移差的合位移差等于6 m时绳被拉直．
由水平方向位移差3.6 m，绳子长6 m，可以求得竖直方向位移差为h时绳绷紧．
h＝ m＝4.8 m，有
gt2－g(t－0.8 s)2＝4.8 m，得t＝1 s.
(2)细线刚被拉直时，A球的水平位移为4.5×1 m＝4.5 m，B球的水平位移为4.5×(1－0.8) m＝0.9 m.