第8节　机械能守恒定律

第8节　机械能守恒定律
1．如图1所示，在伽利略斜面实验中，球沿斜面下滑时，重力做______，物体的动能
________．重力势能________，球沿斜面上滑过程中，重力做______，物体的动能
________，重力势能________．如果忽略空气阻力和摩擦阻力，球在A、B两斜面上升
的高度________．
图1
2．如图2甲所示，以一定速度运动的小球能使弹簧压缩，这时小球________________
做功，使动能转化成弹簧的____________；小球速度变为零以后，被压缩的弹簧又能将
小球弹回(如图乙所示)，这时弹力对小球做__________，又使弹簧的____________转化
成小球的________．
图2
3．在自由落体运动或抛体运动中，物体从高为h1的A处运动到高为h2的B处，重力做
功等于重力势能的变化的负值，即________________，此过程也可由动能定理得到重力
做功等于物体动能的变化，即W＝________________，所以有Ep1－Ep2＝Ek2－Ek1，即
Ep1＋Ek1＝________________.
4．在只有________________做功的物体系统内，动能与势能可以相互________，而总的
机械能保持不变，这叫做机械能________定律，其表达式可以写成Ek1＋Ep1＝___或Ek2
－Ek1＝________________.
5．关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法正确的是(　　)
A．只有重力和弹力作用时，机械能才守恒
B．当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能就守恒
C．当有其他外力作用时，只要其他外力不做功，机械能就守恒
D．炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒
6.
图3
从h高处以初速度v0竖直向上抛出一个质量为m的小球，如图3所示．若取抛出处物
体的重力势能为0，不计空气阻力，则物体着地时的机械能为(　　)
A．mgh B．mgh＋mv
C.mv D.mv－mgh
7．质量均为m的甲、乙、丙三个小球，在离地面高为h处以相同的动能在竖直平面内
分别做平抛、竖直下抛、沿光滑斜面下滑的运动，则(　　)
A．三者到达地面时的速率相同
B．三者到达地面时的动能相同
C．三者到达地面时的机械能相同
D．三者同时落地
【概念规律练】
知识点一　机械能守恒的判断
1．机械能守恒的条件是“只有重力对物体做功”这句话的意思是(　　)
A．物体只能受重力的作用，而不能受其他力的作用
B．物体除受重力以外，还可以受其他力的作用，但其他力不做功
C．只要物体受到的重力做了功，物体的机械能就守恒，与其他力做不做功无关
D．以上说法均不正确
2．如图4所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
图4
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械
能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
知识点二　机械能守恒定律
3．如图5所示，
图5
在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面．若以
地面为参考平面且不计空气阻力，则(　　)
A．物体落到海平面时的重力势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
图6
4．假设过山车在轨道顶点A无初速度释放后，全部运动过程中的摩擦均可忽略，其他
数据如图6所示，求过山车到达B点时的速度．(g取10 m/s2)
【方法技巧练】
一、链条类问题的分析方法
5．如图7所示，
图7
总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有
扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？
二、系统机械能守恒问题的分析方法
6．如图8所示，
图8
A、B两球质量分别为4m和5m，其间用轻绳连接，跨放在光滑的半圆柱体上(半圆柱体
的半径为R)．两球从水平直径的两端由静止释放．已知重力加速度为g，圆周率用π表
示．当球A到达最高点C时，求：球A的速度大小．
三、机械能守恒定律的综合应用
7．如图9所示，
图9
质量不计的轻杆一端安装在水平轴O上，杆的中央和另一端分别固定一个质量均为m的
小球A和B(可以当做质点)，杆长为l，将轻杆从静止开始释放，不计空气阻力．当轻杆
通过竖直位置时，求：小球A、B的速度各是多少？
1．关于物体机械能是否守恒的叙述，下列说法中正确的是(　　)
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体，机械能一定不守恒
C．外力对物体做功等于零时，机械能一定守恒
D．若只有重力对物体做功，机械能一定守恒
2．如图10所示，
图10
物体在斜面上受到平行于斜面向下的拉力F作用，沿斜面向下运动，已知拉力F大小恰
好等于物体所受的摩擦力，则物体在斜面上的运动过程中(　　)
A．做匀速运动 B．做匀加速运动
C．机械能保持不变 D．机械能减小
3.
图11
如图11所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，
下列关于机械能的叙述中正确的是(　　)
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
4.
图12
在下列几个实例中，机械能守恒的是(　　)
A．在平衡力作用下运动的物体
B．在竖直平面上被细线拴住做匀速圆周运动的小球
C．在粗糙斜面上下滑的物体，下滑过程中受到沿斜面向下的拉力，拉力大小等于滑动
摩擦力
D．如图12所示，在光滑水平面上压缩弹簧过程中的小球
5．如图13所示，
图13
一个小孩从粗糙的滑梯上加速滑下，对于其机械能的变化情况，下列判断正确的是(　　)
A．重力势能减小，动能不变，机械能减小
B．重力势能减小，动能增加，机械能减小
C．重力势能减小，动能增加，机械能增加
D．重力势能减小，动能增加，机械能不变
6．如图14所示，
图14
一根长为l1的橡皮条和一根长为l2的绳子(l1绳子的另一端系一B球，两球质量相等，现从悬线水平位置(绳拉直，橡皮条保持原长)
将两球由静止释放，当两球摆至最低点时，橡皮条的长度与绳子长度相等，此时两球速
度的大小为(　　)
A．B球速度较大 B．A球速度较大
C．两球速度相等 D．不能确定
图15
7．在足球比赛中，甲队队员在乙队禁区附近主罚定位球，并将球从球门右上角贴着球门
射入，如图15所示．已知球门高度为h，足球飞入球门时的速度为v，足球质量为m，
不计空气阻力和足球大小，则该队员将足球踢出时对足球做的功为(　　)
A.mv2 B．mgh＋mv2
C．mgh D.mv2－mgh
8.
图16
如图16所示，两个圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，A轨道由金属凹槽制成，
B轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道．在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A
和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用hA和hB表示，对于下述说法中正确的是
(　　)
A．若hA＝hB≥2R，则两小球都能沿轨道运动到最高点
B．若hA＝hB＝，由于机械能守恒，两小球在轨道上升的最大高度均为
C．适当调整hA和hB，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，A小球的最小高度为，B小球在hB>2R
的任何高度均可
9．如图17所示，
图17
在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端O点与管口A的距离为2x0，一质量为m的
小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，压缩量为x0，不计空气阻力，则(　　)
A．小球运动的最大速度大于2
B．小球运动中的最大加速度为
C．弹簧的劲度系数为
D．弹簧的最大弹性势能为3mgx0
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答　案
10.
图18
如图18所示，将一根长L＝0.4 m的金属链条拉直放在倾角θ＝30°的光滑斜面上，链条
下端与斜面下边缘相齐，由静止释放后，当链条刚好全部脱离斜面时，其速度大小为
________．(g取10 m/s2)
11．如图19所示，
图19
质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码
相连．已知M＝2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h(小于桌高)的距离，木块仍没
离开桌面，则砝码的速度为多少？
12.
图20
如图20所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经3.0 s落到斜坡
上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝
50 kg.不计空气阻力．(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2)求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员落到A点时的动能．
第8节　机械能守恒定律
课前预习练
1．正功　增加　减少　负功　减少　增加　相同
2．克服弹簧弹力　弹性势能　正功　弹性势能　动能
3．W＝－(Ep2－Ep1)　Ek2－Ek1　Ep2＋Ek2
4．重力或弹力　转化　守恒　Ek2＋Ep2　Ep1－Ep2
5．C　[机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功，也就是物体可以受其他力作用，只要其他力不做功或做功之和为零即可，故A、B均错，C正确．在炮弹爆炸过程中，爆炸时产生的化学能转化为机械能，机械能不守恒，D错．]
6．C　[初态时机械能为mv，由于只有重力做功，机械能守恒，物体在任意时刻机械能都是这么大，故C正确．]
7．ABC　[只有重力做功，机械能守恒，mgh＋Ek1＝Ek2＝mv2，A、B、C对．]
课堂探究练
1．B　[只有重力对物体做功指的是物体除受重力外，还可以受其他力作用，但其他力不做功，只有重力做功，故B对，A、C、D错．]
2．BCD　[甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错．乙图中物体B除受重力外，还受支持力、拉力、摩擦力，但除重力之外的三个力做功的代数和为零，机械能守恒，B对．丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C对．丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D对．]
点评　判断机械能是否守恒时，对单个物体就看是否只有重力(或弹力)做功，或者虽受其他力，但其他力不做功；对两个或几个物体组成的系统，就看是否只有重力或系统内弹力做功，若有其他外力或内力做功(如内部有摩擦等)且代数和不为零，则系统机械能不守恒．
3．BCD　[物体抛出后运动的全过程机械能守恒，以地面为参考平面，物体的机械能表示为mv，也等于全过程中任意位置的机械能，D正确；由动能定理知：mgh＝mv2－mv，所以在海平面上的动能为mgh＋mv，C正确；重力做的功WG＝mgh，所以B正确；到达海平面时的重力势能Ep＝－mgh，A错误．所以正确答案为B、C、D.]
点拨　明确物体抛出后运动的全过程机械能守恒，注意重力势能的相对性．
4. m/s
解析　由题意可知，过山车在运动过程中仅有重力做功，故其机械能守恒．以圆周轨道的最低点所在平面为零势能参考平面，由机械能守恒定律得
mghA＝mghB＋mv
vB＝
＝ m/s
＝ m/s.
5.
解析　铁链在运动过程中，只有重力做功，机械能守恒．这里提供两种解法．
解法一　(利用E2＝E1求解)：设铁链单位长度的质量为ρ，且选取初始位置铁链的下端A、B所在的水平面为参考平面，则铁链初态的机械能为
E1＝ρLg·＝ρgL2
末态的机械能为E2＝mv2＝ρLv2
根据机械能守恒定律有E2＝E1
即ρLv2＝ρgL2
解得铁链刚脱离滑轮时的速度v＝.
解法二　(利用ΔEk＝－ΔEp求解)：
如图所示，铁链刚离开滑轮时，相当于原来的BB′部分移到了AA′的位置．重力势能的减少量
－ΔEp＝ρLg·＝ρgL2
动能的增加量ΔEk＝ρLv2
根据机械能守恒定律有
Ek＝－ΔEp，即ρLv2＝ρgL2
解得铁链刚脱离滑轮时的速度v＝.
方法总结　对于绳索、链条之类的物体，由于发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的，确定重心的位置，常是解决该类问题的关键．可以采用分段法求出每段的重力势能，然后求和即为整体的重力势能；也可采用等效法求出重力势能的改变量．利用ΔEk＝－ΔEp列方程时，不需要选取参考平面，且便于分析计算．
6.
解析　由机械能守恒，有
5mg·－4mgR＝(4m＋5m)v2
解得v＝.
方法总结　系统机械能守恒的表达式形式有三种：
(1)系统初态的机械能等于末态的机械能，即EA初＋EB初＝EA末＋EB末；(2)系统减少的重力势能等于增加的动能，即ΔEk增＝ΔEp减；(3)A增加的机械能等于B减少的机械能，即ΔEA增＝ΔEB减 .
7.　2 
解析　对A、B(包括轻杆)组成的系统，由机械能守恒定律
ΔEp增＝ΔEk减，得mg＋mgl＝mv＋mv ①
又因A、B两球的角速度ω相等，则vA＝ω ②
vB＝ωl③
联立①②③式，代入数据解得vA＝，vB＝2 .
课后巩固练
1．D　[机械能守恒的条件是只有重力或弹簧弹力做功，而与物体的运动状态无关．]
2．BC
3．D
4．C　[在平衡力作用下物体的运动是匀速运动，动能保持不变，但如果物体的势能发生变化，则机械能变化，A错；在竖直平面上做匀速圆周运动的小球，其动能不变，势能不断变化，总的机械能不守恒，B错；在粗糙斜面上下滑的物体，在下滑过程中，除重力做功外，滑动摩擦力和拉力都做功，但两个力所做功的代数和为零，所以小球机械能守恒，C正确；在小球压缩弹簧的过程中，小球动能减少、势能不变，所以机械能不守恒(但球和弹簧组成的系统机械能守恒)，D错．答案为C.]
5．B　[下滑时高度降低，则重力势能减小，加速运动，动能增加，摩擦力做负功，机械能减小，B对，A、C、D错．]
6．A
7．B　[运动员将球踢出时做的功等于足球获得的动能，根据动能定理得W＝mv；足球从被运动员以速度v0踢出到飞入球门的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则mv＝mgh＋mv2，故W＝mv＝mgh＋mv2.不要把踢球做的功误看做只等于足球入门时的动能或足球增加的重力势能．]
8．D　[小球从A轨道滑出，则在最高点处需满足m>mg，又由机械能守恒定律得mghA＝mg·2R＋mv2，得hA>R.小球从B轨道滑出只需hB>2R即可．]
9．AD
10. m/s
解析　由机械能守恒定律有ΔEk增＝ΔEp减，即
mg(sin θ＋)＝mv2，解得v＝ m/s.
11.
解析　在砝码下降h的过程中，系统增加的动能为
ΔEk增＝(M＋m)v2
系统减少的重力势能为
ΔEp减＝Mgh
由ΔEk增＝ΔEp减得(M＋m)v2＝Mgh
解得v＝＝.
12．(1)75 m　(2)20 m/s　(3)32 500 J
解析　(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有
Lsin 37°＝gt2
A点与O点的距离L＝＝75 m
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即Lcos 37°＝v0t
解得v0＝＝20 m/s
(3)根据机械能守恒，取A点为重力势能零点，运动员落到A点时的动能为EkA＝mgh＋mv＝32 500 J.
习题课
基础练
1．关于做平抛运动的物体，下列说法中正确的是(　　)
A．物体只受重力作用，做的是a＝g的匀变速运动
B．初速度越大，物体在空间的运动时间越长
C．物体在运动过程中，在相等的时间间隔内水平位移相等
D．物体在运动过程中，在相等的时间间隔内竖直位移相等
2．关于平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．从同一高度，以大小不同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定同时着地，但抛
出的水平距离一定不同
B．从不同高度，以相同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定不能同时着地，抛出
的水平距离也一定不同
C．从不同高度，以不同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定不能同时着地，抛出
的水平距离也一定不同
D．从同一高度，以不同的速度同时水平抛出两个物体，它们一定不能同时着地，抛出
的水平距离也一定不同
3．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是(　　)
A．大小相等，方向相同
B．大小不等，方向不同
C．大小相等，方向不同
D．大小不等，方向相同
4．飞机以150 m/s的水平速度匀速飞行，某时刻让A球落下，相隔1 s又让B球落下，
不计空气阻力，在以后的运动过程中，关于A、B两球相对位置的关系，下列结论中正
确的是(　　)
A．A球在B球的前下方
B．A球在B球的后下方
C．A球在B球的正下方5 m处
D．以上说法都不对
5．在高处以初速度v0水平抛出一粒石子，当它的速度由水平方向变化到与水平方向夹
角为θ的过程中，石子水平位移的大小为(　　)
A. B.
C. D.
6．如图1所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体
与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(　　)
图1
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
7．物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切值tan α随时间t变化
的图象是下列图中的(　　)
提升练
8.
图2
如图2所示，从倾角为θ的斜面上A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，
它落到斜面上B点时所用的时间为(　　)
A.
B.
C.
D.
9.
图3
如图3所示，A、B两质点以相同的水平初速度v0抛出，A在竖直面内运动，落地点为
P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，比较P1、P2在x轴方向上距抛出点的
远近关系及落地时速度的大小关系，正确的是(　　)
A．P2较远
B．P1、P2一样远
C．A落地时速率大
D．A、B落地时速率一样大
10.
图4
平抛运动可以分解为水平和竖直方向上的两个直线运动，在同一坐标系中作出这两个分
运动的v－t图线，如图4所示，若平抛运动的时间大于2t1，下列说法中正确的是(　　)
A．图线2表示竖直分运动的v－t图线
B．t1时刻的速度方向与初速度方向夹角为30°
C．t1时刻的位移方向与初速度方向夹角的正切值为
D．2t1时刻的位移方向与初速度方向夹角为60°
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
11.汽车以16 m/s的速度在地面上匀速行驶，汽车后壁货架上放一书包，架高1.8 m，汽
车突然刹车，刹车的加速度大小是4 m/s2，致使书包从架上落下，忽略书包与架子间的
摩擦及空气阻力，g取10 m/s2，则书包落在车上距车后壁________ m处．
12．为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破．飞机在河道上空高H处以速度v0
水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标，求炸弹从刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平
距离及击中目标时的速度大小．(不计空气阻力)
13.
图5
如图5所示，射击枪水平放置，射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上，
枪口与目标靶之间的距离x＝100 m，子弹射出的水平速度v＝200 m/s，子弹从枪口射出
的瞬间，目标靶由静止开始释放，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)从子弹由枪口射出开始计时，经多长时间子弹击中目标靶？
(2)目标靶由静止开始释放到被子弹击中，下落的距离h为多少？
14．A、B两个小球由柔软的细线相连，线长l＝6 m；将A、B球先后以相同的初速度v0
＝4.5 m/s，从同一点水平抛出(先A后B)，相隔时间Δt＝0.8 s.
(1)A球抛出后经多少时间，细线刚好被拉直？
(2)细线刚被拉直时，A、B球的水平位移(相对于抛出点)各多大？(g取10 m/s2)
习题课
1．AC
2．AB　[根据平抛运动的规律，水平位移x＝v1t，竖直位移y＝gt2，所以落地时间由抛出时的高度决定，水平位移由抛出高度和初速度共同决定，所以A、B正确．]
3．A　4.D　5.C
6．D　[物体从斜面顶端抛出落到斜面上，平抛运动过程位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝＝，而落到斜面上时的速度方向与水平方向的夹角正切值tan φ＝＝，所以tan φ＝2tan θ，D项正确．]
7．B　[由平行四边形定则可知tan α＝，而vy＝gt，所以tan α＝t，tan α与t成正比，所以B正确．]
8．B　[设小球从抛出至落到斜面上的时间为t，在这段时间内水平位移和竖直位移分别为x＝v0t，y＝gt2，如图所示，由几何关系知tan θ＝＝，所以t＝tan θ.]
9．AD
10．AC　[平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故A对；由v－t图象可知，t1时刻，水平和竖直分速度相等，所以t1时刻的速度方向与初速度方向夹角为45°，B错；设t1时刻速度方向与初速度方向夹角为φ，位移方向与初速度方向夹角为θ，则有推论：tan φ＝2tan θ，C对；由v－t图象可知，2t1时刻，vy＝2v0，tan φ＝2，故tan θ＝1，即2t1时刻的位移方向与初速度方向夹角为45°.]
11．0.72
解析　书包从架上落下后，书包所做的是平抛运动，其下落时间为t＝＝0.6 s，它在水平方向上的位移x1＝v0t＝16×0.6 m＝9.6 m．对汽车来说它刹车后经t2＝＝4 s停下来，所以在0.6 s内汽车的位移x2＝v0t－at2＝8.88 m，所以书包应落在距汽车后壁Δx＝x1－x2＝0.72 m处．
12．v0　
解析　设炸弹从刚脱离飞机到击中目标所用时间为t，水平运动的距离为x，由平抛运动的规律
H＝gt2 ①
x＝v0t ②
联立①和②，得
x＝v0 ③
设炸弹击中目标时的速度为v，竖直方向的速度分量为vy
vy＝gt ④
v＝ ⑤
联立①④⑤，得
v＝
13．(1)0.5 s　(2)1.25 m
解析　(1)子弹做平抛运动，它在水平方向的分运动是匀速直线运动，设子弹经t时间击中目标靶，则
t＝
代入数据得t＝0.5 s
(2)目标靶做自由落体运动，则h＝gt2
代入数据得h＝1.25 m
14．(1)1 s　(2)A球的水平位移为4.5 m，B球的水平位移为0.9 m
解析　(1)两球水平方向位移之差恒为4.5×0.8 m＝3.6 m，AB竖直方向的位移差随时间变化，当竖直方向位移差与水平方向位移差的合位移差等于6 m时绳被拉直．
由水平方向位移差3.6 m，绳子长6 m，可以求得竖直方向位移差为h时绳绷紧．
h＝ m＝4.8 m，有
gt2－g(t－0.8 s)2＝4.8 m，得t＝1 s.
(2)细线刚被拉直时，A球的水平位移为4.5×1 m＝4.5 m，B球的水平位移为4.5×(1－0.8) m＝0.9 m.