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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中苏科版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题04 运算思维之三元一次方程组专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·江苏海陵·七年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a＋2，－a＋2b＋4，b＋3c＋9，如果接收方收到密文9，13，23，则解密得到的明文为（ ）21·cn·jy·com
A．8，2，7 B．7，8，2 C．8，7，2 D．7，2，8
2．（2021·江苏姑苏·七年级期末）已知是方程组的解，则、间的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏·扬州市梅岭中 ( http: / / www.21cnjy.com )学七年级期末）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
二、填空题
4．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级月考）把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组_______．21·世纪*教育网
5．（2021·江苏·常州市同济中学七年级期中）三个有理数从小到大排列为a、b、c，每两个数相加，和为﹣1、3、6，则a=_____．www-2-1-cnjy-com
6．（2021·江苏工业园区·七年级期末）“洞庭碧螺春，品香醉天下．”洞庭碧螺春产于苏州市太湖洞庭山，以形美、色艳、香浓、味醇“四绝”驰名中外．如图，若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的．1个小杯与1个大杯的容积之比为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
7．（2021·江苏金坛·七年级期末）若，，则__________．
8．（2021·江苏姜堰·七年级期末）已知，且、、的值中有且仅有一个为0，则______．
9．（2020·江苏·靖江市靖城中学七年级月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）设a1，a2，…，a2020是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2020＝100，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2020+1）2＝4120，则a1，a2，…，a2020中为0的个数是_____．21cnjy.com
10．（2020·江苏海安·七年级期中）已知点4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则=_____．
11．（2020·江苏·射阳县第二初级中学七年级期中）如果 ，那么2x+2y+2z的值为_____
12．（2020·江苏赣榆·七年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）利用两块大小相同的长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是_________.
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
13．（2020·江苏徐州·七年级期末）一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为__________cm3.2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．（2021·江苏·南京玄武外国语学校八年级期中）已，则的值是__________．
15．一辆客车、一辆货车和一辆 ( http: / / www.21cnjy.com )小轿车在新泰通往泰安的公路上匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车．则t=___【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
16．（2020·江苏·南通市启秀中学七年级期中）解下列方程组：
（1） （2）
17．（2021·江苏·南通田家炳中学七年级月考）已知y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝8；当x＝0时，y＝2；当x＝﹣2时，y＝4．2-1-c-n-j-y
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＝﹣3时，求y的值．
18．（2021·江苏·苏州高新区第一初级中学校七年级月考）阅读：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：21教育网
解：将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：
（1）试求方程组的解
（2）已知x y z，满足，求z的值．
19．（2021·江苏扬州·一模）在我 ( http: / / www.21cnjy.com )校艺术节的各项比赛中，七年级（1）班同学取得了优秀的成绩，为了表彰同学们，林老师特意到瑞安书城买书给学生作为奖励，书城二楼专设8折售书架，销售文教类图书，部分书籍和标价如下表：21*cnjy*com
原价（元）
中国历史故事 50
名人名言 20
幻夜 25
（1）若林老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共20本，共付了440元钱，请求出这两种书林老师各买了多少本？www.21-cn-jy.com
（2）若林老师买了以上三种书（每种都有）20本，共付了360元钱，其中《名人名言》书买了 本．（直接写出答案）【出处：21教育名师】
20．（2020·江苏海安·七年级期中）解下列方程组：
（1）（用代入法）；
（2）；
（3）．
21．（2020·江苏海安·七年级月考）在解方程组时，甲同学因看错了的符号，从而求得解为乙同学因看漏了，从而求得解为 试求的值．【来源：21cnj*y.co*m】
22．（2021·江苏·南京市第二十九中学七年级月考）解方程组：
（1）
（2）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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本专辑专为2022年初中苏科版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www-2-1-cnjy-com
专题04 运算思维之三元一次方程组专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·江苏海陵·七年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a＋2，－a＋2b＋4，b＋3c＋9，如果接收方收到密文9，13，23，则解密得到的明文为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．8，2，7 B．7，8，2 C．8，7，2 D．7，2，8
【标准答案】B
【思路指引】
根据加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+2，-a+2b+4，b+3c+9，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解详析】
解：依题意得：，
解得： ．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
2．（2021·江苏姑苏·七年级期末）已知是方程组的解，则、间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
把代入方程组可得，然后利用加减消元进行求解即可．
【详解详析】
解：把代入方程组可得：
，
②×2-①×3得：；
故选A．
【名师指路】
本题主要考查三元一次方程组的解法，熟练掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．
3．（2021·江苏·扬州市 ( http: / / www.21cnjy.com )梅岭中学七年级期末）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【标准答案】B
【思路指引】
设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，然后再根据题意列出方程组，再化简得到二元一次方程，最后根据二元一次方程解的情况解答即可．
【详解详析】
解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，
则，可得y+2z=7，即y=7-2z
∵x、y、z为非负整数
∴当z=1时，y=5，x=3；
当z=2时，y=3，x=4；
当z=3时，y=1，x=5
当z=4时，y=-1（不符合题意，舍去）
∴租房方案有3种．
故选B．
【名师指路】
本题主要考查了方程组和二元一次方程的应用，审清题意、列出关于x、y、z方程组以及运用列举法解二元一次方程成为解答本题的关键．
二、填空题
4．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级月考）把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组_______．
【标准答案】
【思路指引】
利用加减消元法消掉未知数化成关于x、y的二元一次方程组．
【详解详析】
解：，
①②得：，
②③得：，
方程组为：，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了三元一次方程组、二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法．
5．（2021·江苏·常州市同济中学七年级期中）三个有理数从小到大排列为a、b、c，每两个数相加，和为﹣1、3、6，则a=_____．21教育网
【标准答案】-2
【思路指引】
首先根据a，b，c这三个实数的大小关系列出方程组，再解该方程组即可得到结果．
【详解详析】
解：根据题意得：
，
三式相加得2a+2b+2c=8，
解得a+b+c=4④，
④-③得，a=-2．
故答案为：-2．
【名师指路】
本题考查了有理数大小比较以及三元一次方程组的应用．解决本题的关键是根据题意列出方程组，解方程组并不难．21*cnjy*com
6．（2021·江苏工业园区·七年级期末）“洞庭碧螺春，品香醉天下．”洞庭碧螺春产于苏州市太湖洞庭山，以形美、色艳、香浓、味醇“四绝”驰名中外．如图，若将一壶碧螺春茶倒满2个小杯，则还剩壶；若倒满1个小杯后再全部倒入1个大杯中，则只能倒满这个大杯的．1个小杯与1个大杯的容积之比为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】3：10
【思路指引】
设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b，根据两种倒法列出方程组，化去V，得到a和b的关系，可得比值．
【详解详析】
解：设壶的容积为V，小杯容积为a，大杯容积为b，
由题意可得：，
把②代入①中，得，
化简可得：，
故答案为：3：10．
【名师指路】
本题考查了三元一次方程组的实际应用，解题的关键是设出未知数，根据等量关系列出方程组．
7．（2021·江苏金坛·七年级期末）若，，则__________．
【标准答案】8
【思路指引】
首先用减法消元，将两式相减，得出，再将代入第一个方程，即可求出的值．
【详解详析】
解：将两式相减得，
，即，
∴，
即，
故答案为：8．
【名师指路】
本题主要考查加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法和整体思想的应用．
8．（2021·江苏姜堰·七年级期末）已知，且、、的值中有且仅有一个为0，则______．
【标准答案】1
【思路指引】
原式化为，得到x+y=0，即可得出z=0，解方程组即可求解．
【详解详析】
解：原式化为，
②-①得，，
∵x，y，z的值中仅有一个为0，
∴，
由解得：，
∴，
故答案为：1．
【名师指路】
本题考查了解三元一次方程组，0指数幂运算，加减消元法消去z联立关于x、y的方程组是解题的关键．
9．（2020·江苏·靖江市靖城中学七年级月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）设a1，a2，…，a2020是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2020＝100，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2020+1）2＝4120，则a1，a2，…，a2020中为0的个数是_____．21·cn·jy·com
【标准答案】120
【思路指引】
由题意可得，设有x个1，y个-1，z个0，则有，然后求解即可．
【详解详析】
解：由题意得：
，
，
，
设有x个1，y个-1，z个0，
∴，
解得： ，
∴a1，a2，…，a2020中为0的个数是个；
故答案为120．
【名师指路】
本题主要考查完全平方公式及三元一次方程的解法，熟练掌握完全平方公式及三元一次方程的解法是解题的关键．www.21-cn-jy.com
10．（2020·江苏海安·七年级期中）已知点4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则=_____．
【标准答案】
【思路指引】
根据题意用z表示出x与y，代入原式计算即可得到结果．
【详解详析】
解：由4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0，得到x=3z，y=2z，
则．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了分式的化简求值以及三元一次方程组，用z表示出x与y是解本题的关键．
11．（2020·江苏·射阳县第二初级中学七年级期中）如果 ，那么2x+2y+2z的值为_____
【标准答案】18
【思路指引】
根据方程组，得到x，y，z的值，即可得到2x+2y+2z的值．
【详解详析】
解：，由②-①得z-x=2④，④与③组成方程组 ，解得 ，
把x=2代入①得：y=3, ∴2x+2y+2z=2(x+y+z)=2×(2+3+4)=18.
【名师指路】
本题考查了三元一次方程组的解，解题的关键是掌握解三元一次方程组的步骤．
12．（2020·江苏赣榆 ( http: / / www.21cnjy.com )·七年级期末）利用两块大小相同的长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是_________.
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【标准答案】76
【详解详析】
【思路指引】设桌子高hcm,长方体长acm，宽bcm,依题意得,整理可得.
【详解详析】设桌子高hcm,长方体长acm，宽bcm,依题意得：
整理得h=76
故答案为76
【名师指路】本题考核知识点：列方程组解应用题.解题关键点：根据等式性质将方程组变形.
13．（2020·江苏徐州·七年级期末）一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为__________cm3.21世纪教育网版权所有
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【标准答案】800
【详解详析】
设长方体底面长宽分别为x、y，高为z，
由题意得：，解得：，
所以长方体的体积为：16×10×5=800.
故答案为800.
点睛：此题考查三元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的数据得出关于长宽高的三元一次方程组，再由结果求得长方体的体积.2·1·c·n·j·y
14．（2021·江苏·南京玄武外国语学校八年级期中）已，则的值是__________．
【标准答案】4
【思路指引】
先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于、、的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．21·世纪*教育网
【详解详析】
解：，
，
，
，
解得，，
．
故答案为：4．
【名师指路】
此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于、、的方程组是解题的关键．
15．一辆客车、一辆货车和一辆小轿 ( http: / / www.21cnjy.com )车在新泰通往泰安的公路上匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车．则t=___2-1-c-n-j-y
【标准答案】15分钟.
【详解详析】
试题解析：设在某一时刻，货车与 ( http: / / www.21cnjy.com )客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a，b，c（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，【版权所有：21教育】
由题意得
∴30（b-c）=S，
∴x=30．
故30-10-5=15
考点：应用类问题．
三、解答题
16．（2020·江苏·南通市启秀中学七年级期中）解下列方程组：
（1） （2）
【标准答案】（1）（2）
【思路指引】
（1）用加减消元法求解即可；
（2）令，用k表示出x，y和z，代入中，求出k值，从而得到方程组的解.
【详解详析】
解：（1），
①×3+②得：，
解得：x=5，代入①中，
解得：y=2，
∴方程组的解为：；
（2）∵设，
∴x=2k，y=3k，z=4k，代入中，
，
解得：k=-1，
∴x=-2，y=-3，z=-4，
∴方程组的解为：.
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键是选择合适的方法求解.
17．（2021·江苏·南通田家炳中学七年级月考）已知y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝8；当x＝0时，y＝2；当x＝﹣2时，y＝4．21教育名师原创作品
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＝﹣3时，求y的值．
【标准答案】（1）；（2）12
【思路指引】
（1）把x、y的值分别代入y=ax2+bx+c，得出关于a、b、c的方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出y=x2+x+2，再把x=-3代入，即可求出答案．
【详解详析】
解：（1）根据题意得：，
把②代入①，得a+b+2=8④，
把②代入③，得4a-2b+2=4⑤，
由④和⑤组成方程组，
解得：，
所以a=，b= ，c=2；
（2）由（1）得y=x2+x+2，
当x=-3时，y=×（-3）2+ ×（-3）+2=12．
【名师指路】
本题主要考查了解三元一次方程组的应用，能根据题意得出三元一次方程组是解本题的关键.
18．（2021·江苏·苏州高新区第一初级中学校七年级月考）阅读：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：21*cnjy*com
解：将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：
（1）试求方程组的解
（2）已知x y z，满足，求z的值．
【标准答案】（1）；（2）z=2
【思路指引】
（1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可；
（2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出z的值即可．
【详解详析】
解：（1），
由②得③，
把方程①代入③得，，
解得：y=-3，代入①得，x=-1，
所以方程组的解为：；
（2），
由①得③，
由②得④，
③×2-④×3得z=2．
【名师指路】
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．
19．（2021·江苏扬州·一模） ( http: / / www.21cnjy.com )在我校艺术节的各项比赛中，七年级（1）班同学取得了优秀的成绩，为了表彰同学们，林老师特意到瑞安书城买书给学生作为奖励，书城二楼专设8折售书架，销售文教类图书，部分书籍和标价如下表：【出处：21教育名师】
原价（元）
中国历史故事 50
名人名言 20
幻夜 25
（1）若林老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共20本，共付了440元钱，请求出这两种书林老师各买了多少本？
（2）若林老师买了以上三种书（每种都有）20本，共付了360元钱，其中《名人名言》书买了 本．（直接写出答案）
【标准答案】《中国历史故事》买了5本，《名人名言》买了15本；
【思路指引】
(1)设《中国历史故事》买了x本，《名人名言》买了y本，等量关系有两个：《中国历史故事》和《名人名言》一共20本，共付了440元钱；21cnjy.com
(2)设三种书分别是x本、y本、z本，依据等量关系：三种书（每种都有）20本，共付了360元钱，列方程即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
解:(1)设《中国历史故事》买了x本，《名人名言》买了y本，
由题意得，
解得．
答：《中国历史故事》买了5本，《名人名言》买了15本；
（2）设三种书分别是x本、y本、z本，由题意得
消去z得20x﹣4y＝﹣40
∴y＝5x+10
∵x、y都是正整数，
∴．
故答案是：15．
【名师指路】
本题考查了三元一次方程组、二元一次方程组的应用，解此题的关键是准确把握题目中的数量关系，正确列出方程．
20．（2020·江苏海安·七年级期中）解下列方程组：
（1）（用代入法）；
（2）；
（3）．
【标准答案】（1）；（2）；（3）
【思路指引】
（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可；
（3）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解详析】
（1），
由②得：y=﹣2x+3③，
把③代入①得：3x﹣2（﹣2x+3）=8，
解得：x=2，
把x=2代入②得：y=﹣1，
则方程组的解为；
（2），
①×3+②×2得：19x=114，
解得：x=6，
把x=6代入①得：y=﹣，
则方程组的解为；
（3），
①+②得：5x+2y=16④，
②+③得：3x+4y=18⑤，
④×2﹣⑤得：7x=14，
解得：x=2，
把x=2代入④得：y=3，
把x=2，y=3代入③得：z=1，
则方程组的解为．
【名师指路】
本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．（2020·江苏海安·七年级月考）在解方程组时，甲同学因看错了的符号，从而求得解为乙同学因看漏了，从而求得解为 试求的值．
【标准答案】a的值为3，b的值为2，c的值为2．
【思路指引】
把方程组的两组解分别代入原方程组，把所得到的等式联立组成三元一次方程组，求出a、b、c的数值，问题得以解决．
【详解详析】
由题意得方程组，解得．
答：a的值为3，b的值为2，c的值为2．
【名师指路】
此题主要考查二元一次方程组的解的问题，和解三元一次方程组．
22．（2021·江苏·南京市第二十九中学七年级月考）解方程组：
（1）
（2）
【标准答案】（1） ,（2）
【详解详析】
试题分析: （1）利用加减消元法解答即可；
（2）利用三元一次方程组的解法解答即可．
试题解析:
(1) ，
①×7 ②×2得：y= 6，
把y= 6代入①得：x= 5，
所以方程组的解为: ；
(2) ，
①+②得：4x+y=16④，
②+③得：2x+3y=18⑤，
联立④⑤方程可得： ，
解得： ，
把x=3，y=4代入③得：z=5，
所以方程组的解为： .
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