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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中苏科版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填 ( http: / / www.21cnjy.com )空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
专题03 应用实践之实际问题与二元一次方程组专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·江苏·扬州市梅岭中学七年 ( http: / / www.21cnjy.com )级月考）某校春季运动会比赛中，七年级六班和七班的实力相当，关于比赛结果，甲同学说：六班与七班的得分比为4∶3，乙同学说：六班比七班的得分2倍少40分，若设六班得x分，七班得y分，则根据题意可列方程组（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
2．（2021·江苏高邮·七年级期末）唐代 ( http: / / www.21cnjy.com )初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》一书中有这样一道题：“今有三十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”你求得的结果有（ ）2·1·c·n·j·y
A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种
3．（2021·江苏南通·七年级期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有向银枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，可列方程组为（ ）21·世纪*教育网
A． B．
C． D．
4．（2021·江苏姜堰·七年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．2-1-c-n-j-y
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下表是工作人员四次领取纸板数的记录：
日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张）
第一次 562 938
第二次 420 860
第三次 502 1000
第四次 985 2015
仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请问记录有误的是（ ）A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次21cnjy.com
5．（2021·江苏鼓楼·七年级期末）如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积是（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．16 B．20 C．25 D．26
6．（2021·江苏·苏州工业园 ( http: / / www.21cnjy.com )区星汇学校七年级期中）小明与爸爸的年龄和是52岁，爸爸对小明说：“当我的年龄是你现在的年龄的时候，你还要16年才出生呢．”如果设现在小明的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，那么下面方程组正确的是（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
7．（2021·江苏·宜兴外国语学校七年级期中）现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏惠山·七年级期末）在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，求阴影部分图形的总面积（ ）21世纪教育网版权所有
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A．18cm2 B．21cm2 C．24cm2 D．27cm2
9．（2021·江苏医药高新技术产业 ( http: / / www.21cnjy.com )开发区·七年级期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《磁不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
10．（2021·江苏镇江· ( http: / / www.21cnjy.com )七年级期末）七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（ ）人．21教育名师原创作品
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A．38 B．40 C．42 D．45
二、填空题
11．（2021·江苏沭阳·七年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为__________岁．
12．（2021·江苏广陵·七年级期末）某班同学参加运土劳动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每一人挑两筐．已知全班共用箩筐56只，扁担36根．设男生人，女生人，则可得方程组______．
13．（2021·江苏海陵 ( http: / / www.21cnjy.com )·七年级期末）笔记本5元/本，铅笔3元/支，某同学购买笔记本和铅笔（两种都要买），恰好用去50元，那么共有________种购买方案．21*cnjy*com
14．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为______．
15．（2021·江苏海陵·七年级期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有人，依题意列方程得__________．
16．（2021·江苏秦淮·七年级期末）若（x＋a）（x－2）＝x2＋bx－6，则a＋b＝______．
17．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级月考）如图，在△ABC中，点E是AC边上的点，且AE＝EC，点D是BC边上的点，且BD＝CD，AD与BE相交于点F，若四边形CDFE的面积是24，则△ABF的面积为_____．
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18．（2021·江苏工业园区·七年级期末）如图，已知中，，，、相交于点O．若的面积为30，则四边形的面积为______．
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19．（2018·浙江义 ( http: / / www.21cnjy.com )乌·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.如果1托为5尺，那么索长为__________尺，竿子长为__________尺．www-2-1-cnjy-com
20．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学七年级期中）已知、、、…、是从1或0中取值的一列数（1和0都至少有一个），若，则这列数的个数为____.
三、解答题
21．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级月考）列二元一次方程组解应用题：
①、小颖家离学校1880米 ( http: / / www.21cnjy.com )，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？21教育网
②、在疫情防控期间，某中 ( http: / / www.21cnjy.com )学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购 ( http: / / www.21cnjy.com )买商品均打九折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
22．（2021·江苏·扬州 ( http: / / www.21cnjy.com )市梅岭中学七年级月考）马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如图是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息．
若每个补给站安排1个值班员，每个固定医 ( http: / / www.21cnjy.com )疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员．
（1）本次马拉松比赛共设置______个补给站；
（2）沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？
（3）沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？
23．（2021·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示5和1的两点之间的距离是_________，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么_________．
（2）若数轴上表示数a的点位于-2与5之间，则的值为_________．
（3）若x表示一个有理数，且，则有理数x的取值范围__________．
（4）若将数轴折叠，使得1表示的点与-3表示的点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2020（M在N的左侧），则M、N两点表示的数分别是：_______；：_______．
24．（2022·江苏吴中·七年级期末）点A对应数a，点B对应数b，点C对应数c，xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)那么a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数；
(3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、 ( http: / / www.21cnjy.com )乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是 单位长度；
(4)当甲以4单位长度/分的速度从 ( http: / / www.21cnjy.com )A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由．
25．（2021·江苏·沭阳县修远中学七年级月考）【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明．
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【简单应用】（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，、分别平分、，
①若，，求的度数；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
【问题探究】
（3）如图3，直线平分的外角，平分的邻补角，
①若，，则的度数为______；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
【拓展延伸】
（4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为______．（用、的代数式表示）
（5）在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论______．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中苏科版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填 ( http: / / www.21cnjy.com )空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21cnj*y.co*m】
专题03 应用实践之实际问题与二元一次方程组专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·江苏·扬州市梅岭中学七 ( http: / / www.21cnjy.com )年级月考）某校春季运动会比赛中，七年级六班和七班的实力相当，关于比赛结果，甲同学说：六班与七班的得分比为4∶3，乙同学说：六班比七班的得分2倍少40分，若设六班得x分，七班得y分，则根据题意可列方程组（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
设六班得x分，七班得y分，根据：六班与七班的得分比为4：3，六班比七班的得分2倍少40分，可列方程组．21*cnjy*com
【详解详析】
解：设六班得x分，七班得y分，则根据题意可列方程组：
，
故选：A．
【名师指路】
本题主要考查根据实际问题列方程组的 ( http: / / www.21cnjy.com )能力，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
2．（2021·江苏高邮· ( http: / / www.21cnjy.com )七年级期末）唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》一书中有这样一道题：“今有三十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”你求得的结果有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种
【标准答案】B
【思路指引】
设大圈舍的间数是x间，小圈舍的间数是y间，根据一共有30只鹿进圈舍列出方程并解答．注意：x、y都是非负整数．21·世纪*教育网
【详解详析】
解：设大圈舍的间数是x间，小圈舍的间数是y间，
由题意，得6x+4y=30．
整理，得y=，
因为 15-3x＞0，且x、y都是非负整数，
所以 0≤x＜5．
故x可以取0，1，2，3，4，
当x=0时，y=7.5（舍去）
当x=1时，y=6．
当x=2时，y=4.5（舍去）
当x=3时，y=3．
当x=4时，y=1.5（舍去）
综上所述，只有2种情况符合题意．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答，求解时，注意x、y的取值范围．
3．（2021·江苏南通·七年级期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有向银枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
直接利用“黄金9枚（每枚黄 ( http: / / www.21cnjy.com )金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，以及两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”分别得出等式得出答案．
【详解详析】
解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
根据题意得：，
故选：B．
【名师指路】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
4．（2021·江苏姜堰·七年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．2·1·c·n·j·y
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下表是工作人员四次领取纸板数的记录：
日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张）
第一次 562 938
第二次 420 860
第三次 502 1000
第四次 985 2015
仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请问记录有误的是（ ）A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次
【标准答案】C
【思路指引】
设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第三次记录错误．
【详解详析】
解：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，
则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，
∴x+2y+4x+3y=5x+5y=5(x+y)，
∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，
∴第三次记录有误；
故选：C．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键．
5．（2021·江苏鼓楼·七年级期末）如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积是（ ）
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A．16 B．20 C．25 D．26
【标准答案】A
【思路指引】
设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形 ( http: / / www.21cnjy.com )的长为2a，宽为2b，根据图形中大小长方形长与宽之间的关系，可得出关于a、b的二元一次方程组，解之即可得出a、b的值，在利用正方形面积公式可求出结论．
【详解详析】
解：设小长方形的长为a，宽为b，
则大长方形的长为2a，宽为2b，
依题意，得：，
解得：，
，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（2021·江苏·苏州工业园区星汇 ( http: / / www.21cnjy.com )学校七年级期中）小明与爸爸的年龄和是52岁，爸爸对小明说：“当我的年龄是你现在的年龄的时候，你还要16年才出生呢．”如果设现在小明的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，那么下面方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
可设现在小明的年龄是x岁 ( http: / / www.21cnjy.com )，爸爸的年龄是y岁，根据“小明与爸爸的年龄和是52岁”，小明与爸爸的年龄差不变得出16+x=y-x，列出方程组即可．
【详解详析】
解：设小明的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，依题意有：
，即．
故选：C．
【名师指路】
此题考查由实际问题列方程组，注意找出题目蕴含的数量关系解决问题．
7．（2021·江苏·宜兴外国语学校七年级期中）现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．21*cnjy*com
【详解详析】
解：依题意，得：．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（2022·江苏惠山·七年级期末）在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，求阴影部分图形的总面积（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．18cm2 B．21cm2 C．24cm2 D．27cm2
【标准答案】D
【思路指引】
设小长方形的长为，宽为 ，则根据图形，列二元一次方程组，求得小长方形的长和宽，再根据阴影部分面积等于长方形减去5个小长方形的面积，即可求得答案．
【详解详析】
设小长方形的长为，宽为 ，依题意得：
，
解得：，
阴影部分图形的总面积为：．
故选D．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．
9．（2021·江苏医药高新技术产业开发 ( http: / / www.21cnjy.com )区·七年级期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《磁不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据译文可知“人数×8-3=钱数和人数×7+4=钱数”即可列出方程组．
【详解详析】
解：由题意可得，，
故选：B．
【名师指路】
本题考查列二元一次方程组．解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
10．（2021·江苏镇江·七年级期末）七 ( http: / / www.21cnjy.com )（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（ ）人．
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A．38 B．40 C．42 D．45
【标准答案】A
【思路指引】
根据题意，分别假设未知数，再根据对话内容列出方程组，即可求解答案．
【详解详析】
解：设得3分，4分，5分和6分的共有x人，它们平均得分为y分，分两种情况：
（1）得分不足7分的平均得分为3分，
xy+3×2+5×1＝3（x+5+3），
xy﹣3x＝13①，
（2）得3分及以上的人平均得分为4.5分，
xy+3×7+4×8＝4.5（x+3+4），
4.5x﹣xy＝21.5②，
①+②得1.5x＝34.5，
解得x＝2.3，
故七（1）班共有学生23+5+3+3+4＝38（人）．
故选：A．
【名师指路】
考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是了解题意，根据数量关系列出方程组，即可求出结果．
二、填空题
11．（2021·江苏沭阳·七年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为__________岁．
【标准答案】42
【思路指引】
由题意得：弟弟今年的年龄为5岁， ( http: / / www.21cnjy.com )姐姐今年的年龄为13岁，设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是100岁，父亲比母亲大2岁，列出方程组，解方程组即可．21·cn·jy·com
【详解详析】
解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，
但实际上100-65=35（岁），说明十年前弟弟没出生，
则弟弟的年龄为10-（40-35）=5（岁），姐姐的年龄为5+8=13（岁），
设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，
由题意得：，
解得：，
即父亲今年的年龄为42岁，
故答案为：42．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．（2021·江苏广陵·七年级期末）某班同学参加运土劳动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每一人挑两筐．已知全班共用箩筐56只，扁担36根．设男生人，女生人，则可得方程组______．
【标准答案】
【思路指引】
根据等量关系：①全班共用箩筐56只；②全班共用扁担36根，列方程组求解．
【详解详析】
解：设男生，女生各有x人、y人．
根据题意，得
故答案为：
【名师指路】
此题中关键要正确理解：每个男生需要1条扁担和2个箩筐，每2个女生需要1条扁担和1个箩筐．
13．（2021·江苏海陵·七 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）笔记本5元/本，铅笔3元/支，某同学购买笔记本和铅笔（两种都要买），恰好用去50元，那么共有________种购买方案．【出处：21教育名师】
【标准答案】3
【思路指引】
首先设某同学买了x本笔记本，则买了y支铅笔，根据题意购买笔记本的花费＋购买铅笔的花费＝50元，即可求解．
【详解详析】
解：设某同学买了x本笔记本，则买了y支铅笔，根据题意得：
5x＋3y＝50，
则．
∵x，y为正整数，且两种都要买，
∴y为5的倍数，
∴从而得出y＝5，10或15，
当y＝5时，，
当y＝10时，，
当y＝15时，，
∴有三种购买方案：
购买的笔记本1本，铅笔15支，
购买的笔记本4本，铅笔10支，
购买的笔记本7本，铅笔5支；
故答案是：3．
【名师指路】
此题主要考查了二元一次方程的整数解．解题的关键是挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
14．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为______．
【标准答案】
【思路指引】
根据等量关系列出方程即可．
【详解详析】
解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：．
故答案是：．
【名师指路】
本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，正确找出等量关系是解题的关键．
15．（2021·江苏海陵·七年级期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有人，依题意列方程得__________．
【标准答案】
【思路指引】
根据题意列出一元一次方程即可．
【详解详析】
解：由题意可得
故答案为：．
【名师指路】
此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
16．（2021·江苏秦淮·七年级期末）若（x＋a）（x－2）＝x2＋bx－6，则a＋b＝______．
【标准答案】4
【思路指引】
先计算等式左边的多项式乘法，再比较各项的系数可得一个关于的方程组，解方程组求出的值，由此即可得出答案．
【详解详析】
解：，，
，
，解得，
则，
故答案为：4．
【名师指路】
本题考查了多项式乘法、二元一次方程组的应用等知识点，熟练掌握多项式乘法法则是解题关键．
17．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级月考）如图，在△ABC中，点E是AC边上的点，且AE＝EC，点D是BC边上的点，且BD＝CD，AD与BE相交于点F，若四边形CDFE的面积是24，则△ABF的面积为_____．21教育网
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【标准答案】
【思路指引】
连接，设，，推出，，，，根据得到，与构成方程组，解方程组求得、的值，进而即可求得的面积，再用．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
解：连接，
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设，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得，
，
，
故答案为．
【名师指路】
本题考查三角形的面积，二元一次方程组，解题的关键是引进未知数，根据面积之间的关系建立等式求解．
18．（2021·江苏工业园区·七年级期末）如图，已知中，，，、相交于点O．若的面积为30，则四边形的面积为______．
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【标准答案】12.5
【思路指引】
连接AO，依据同高三角形的面积等于对应底边的关系，所以根据AE=BE可得：S△ACE=S△BEC，S△AOE=S△BOE，根据AD=2CD可得：S△ABD=S△ABC=20，S△AOD=2S△ODC，设S△COD=x，S△AOE=a，列方程组可得结论．
【详解详析】
解：连接AO，
∵△ABC的面积为30，AE=BE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴S△ACE=S△BEC=S△ABC=×30=15，S△AOE=S△BOE，
∵AD=2CD，
∴S△ABD=S△ABC=×30=20，S△AOD=2S△ODC，
设S△COD=x，S△AOE=a，
∴S△BOE=a，S△AOD=2x，
∴，解得：，
∴四边形ADOE的面积=S△AOE+S△AOD=a+2x=7.5+5=12.5．
故答案为：12.5．
【名师指路】
本题主要考查了三角形面积和三角形中线的性质的运用，解决问题的关键是设S△COD=x，S△AOE=a，结合方程组解决问题．
19．（2018·浙江义乌·中考真题 ( http: / / www.21cnjy.com )）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.如果1托为5尺，那么索长为__________尺，竿子长为__________尺．
【标准答案】 20 15
【思路指引】
设索长为尺，竿子长为尺．根据题目中的等量关系列方程组求解即可.
【详解详析】
解：设索长为尺，竿子长为尺．根据题意得：
解得：
故答案为20,15.
【点评】
考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系.
20．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学七年级期中）已知、、、…、是从1或0中取值的一列数（1和0都至少有一个），若，则这列数的个数为____.
【标准答案】14或19
【思路指引】
由、、、…、是从1或0中取值的一列数(1和0都至少有一个)，设有x个1，y个0，则(a1+2)2、(a2+2)2、…、(an+2)2有x个9，y个4，列不定方程解答即可确定正确的答案．
【详解详析】
解：设有x个1，y个0，则对应(a1+2)2、(a2+2)2、…、(an+2)2中有x个9，y个4，
∵，
∴9x+4y=81
∴，
∵x，y均为正整数，
∴y是9的倍数，
∴，，
∴这列数的个数=x+y为14或19，
故答案为14或19．
【名师指路】
本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是对给出的式子进行正确的变形，得到不定方程然后求整数解即可．
三、解答题
21．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级月考）列二元一次方程组解应用题：
①、小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡 ( http: / / www.21cnjy.com )路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？
②、在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命 ( http: / / www.21cnjy.com )健康安全，预从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案 ( http: / / www.21cnjy.com )：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
【标准答案】①小颖上坡用了11 ( http: / / www.21cnjy.com )分钟，下坡用了5分钟；②（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；（2）学校选用方案二更节约钱，节约122元
【思路指引】
①设小颖上坡用了分钟，下坡用了分钟，根据“小颖家离学校1880米，且去学校共用了16分钟”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
②（1）根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶8 ( http: / / www.21cnjy.com )4消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；
（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．
【详解详析】
解：①设小颖上坡用了分钟，下坡用了分钟，
依题意得：，
解得：．
答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟．
②（1）设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是元、元，
，
解得，
即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；
（2）方案一的花费为：（元，
方案二的花费为：（元，
（元，，
答：学校选用方案二更节约钱，节约122元．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
22．（2021·江苏·扬州市梅岭中学七 ( http: / / www.21cnjy.com )年级月考）马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如图是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息．
若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站 ( http: / / www.21cnjy.com )或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员．
（1）本次马拉松比赛共设置______个补给站；
（2）沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？
（3）沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？
【标准答案】（1）10；（2）1.5米；（3）15千米或30千米．
【思路指引】
（1）根据在起点、沿途每隔5千米一个补给站，最后两个补给站相隔2千米，即可求出本次马拉松比赛设置的补给站数；
（2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个， ( http: / / www.21cnjy.com )根据“若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值；
（3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，根据补给站和医疗站的间隔，即可得出m=n，由m、n均为正整数即可求出结论．
【详解详析】
（1）∵在起点、沿途每隔5千米一个补给站，最后两个补给站相隔2千米，
∴共设置补给站（42-2）÷5+1+1=10（个），
故答案为：10
（2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个，
根据题意得：，
解得：，
∴42÷（29-1）=1.5（米），
答：沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5米．
（3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，
∵沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5米，在起点、沿途每隔5千米一个补给站，
∴5m=1.5n，
∴m=n，
∵m、n是正整数，
∴当n=10时，m=3，此时距离起点的距离=5×3=15（千米），
当n=20时，m=6，此时距离起点的距离=5×6=30（千米），
当n=30时，m=9，此时距离起点的距离=5×9=45＞42，不合题意，舍去，
综上所述：沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点15千米或30千米．
【名师指路】
此题考查二元一次方程组的应用，解题的关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是：（1）根据补给站的设置间隔，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据补给站和医疗站的间隔，找出m、n之间的关系．
23．（2021·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示5和1的两点之间的距离是_________，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么_________．
（2）若数轴上表示数a的点位于-2与5之间，则的值为_________．
（3）若x表示一个有理数，且，则有理数x的取值范围__________．
（4）若将数轴折叠，使得1表示的点与-3表示的点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2020（M在N的左侧），则M、N两点表示的数分别是：_______；：_______．
【标准答案】（1）4，1或；（2）7；（3）或；（4）1009，
【思路指引】
（1）用5减去1得到距离，然后根据题意列绝对值方程求出a的值；
（2）根据数轴上点与点之间的距离理解，得到它的值；
（3）根据数轴上点与点之间的距离理解，得到当表示数x的点在1和-3两点之外时，能够满足；
（4）根据题意列式，解方程组得到结果．
【详解详析】
解：（1），
，解得或，
故答案是：4，1或；
（2）表示数轴上表示数a的点到数轴上表示-2的点和到表示5的点的距离之和，
∵数轴上表示数a的点位于-2与5之间，
∴距离和就是-2和5之间的距离7，
故答案是：7；
（3）表示数轴上表示数x的点到数轴上表示-3的点和到表示1的点的距离之和，
-3和1之间的距离刚好是4，所以要使距离之和大于4，那么表示数x的点要么在-3的左侧要么在1的右侧，21世纪教育网版权所有
∴或，
故答案是：或；
（4）数轴折叠，1表示的点与-3表示的点重合，则1和-3的中点-1是折叠点，
设点M表示的数是m，点N表示的数是n，
列式，解得，
故答案是：1009，．
【名师指路】
本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是理解数轴上点与点之间的距离的求解公式并且掌握列方程组求解的方法．
24．（2022·江苏吴中·七年级期末）点A对应数a，点B对应数b，点C对应数c，xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y．
(1)那么a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数；
(3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分 ( http: / / www.21cnjy.com )别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是 单位长度；
(4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发， ( http: / / www.21cnjy.com )向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由．
【标准答案】(1)﹣24，﹣10，10
(2)点P所对应的数是﹣或-
(3)36
(4)能，碰面的地点对应的数为﹣44
【思路指引】
（1）根据合并同类项的法则可知，c-5=b+15＝5，且+（﹣2）＝﹣6，解之即可；
（2）设点P所对应的点为x，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据题意，需要分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在点B的右侧时，根据PA＝3PB+1，分别列出方程求解即可；
（3）设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度，则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分，根据题意可知，，利用消元法消去m和n，即可解得s的值．
（4）设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分，若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4．当点D在AB之间时，0＜t＜，则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t，所以4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2；甲，乙作追击运动，甲和乙能碰面．
(1)
解：xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y．
∴c-5=b+15＝5，+（﹣2）＝﹣6，
解得a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10．
∴点A对应数﹣24，点B对应数﹣10，点C对应数10．
故答案为：﹣24，﹣10，10．
(2)
设点P所对应的点为x，根据题意，需要分两种情况：
①当点P在线段AB上时，PA＝x+24，PB＝﹣10﹣x，
∴x+24＝3（﹣10﹣x）+1，解得x＝﹣；
②当点P在点B的右侧时，PA＝x+24，PB＝10+x，
∴x+24＝3（10+x）+1，解得x＝-．
∴点P所对应的数是﹣或．
(3)
设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度，
则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分，
根据题意可知，，
解得s＝36．
故答案为：36．
(4)
甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44．理由如下：
设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分，
若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4．
当点D在AB之间时，0＜t＜，
则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t，
∴4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2；
∵2＜3.4，
当t＝2时，甲在﹣16处，乙在﹣2处，甲改变运动方向，甲、乙同向运动，
﹣16﹣4（t﹣2）＝﹣2﹣6（t﹣2），解得t＝9．
此时﹣16﹣4×（9﹣2）＝﹣44，
∴甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )组的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
25．（2021·江苏·沭阳县修远中学七年级月考）【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明．
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【简单应用】（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，、分别平分、，
①若，，求的度数；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
【问题探究】
（3）如图3，直线平分的外角，平分的邻补角，
①若，，则的度数为______；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
【拓展延伸】
（4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为______．（用、的代数式表示）21cnjy.com
（5）在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论______．
【标准答案】（1）见解析；（2）①24°；②∠P=（∠B+∠D）；（3）①24°；②2∠P=∠A+∠C；（4）∠P=（3x+y）；（5）∠P=90°-∠C-∠Awww.21-cn-jy.com
【思路指引】
（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（3）如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（4）如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3αPDB=3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．2-1-c-n-j-y
（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：（1）如图1中，
，，，
；
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（2）①如图2中，
设，，
则有，
，
；
②设，，
则有，
，
；
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（3）①如图3中，设，．
则有，
，
；
故答案为：；
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②设，．
则有，
；
（4）如图4中，设，，则，，
则有，
，
，
故答案为．
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（5）如图5中，延长交于，设，．
则有，
，
，
．
故答案为．
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【名师指路】
本题属于三角形综合题，考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了三角形内角和定理，“8字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．【来源：21·世纪·教育·网】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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