第一讲 因式分解(基础讲解)（含解析）

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第一讲 因式分解
【学习目标】
1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.
【知识总结】
一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【注】：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.21世纪教育网版权所有
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.21教育网
二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
【注】：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公 ( http: / / www.21cnjy.com )因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.21·cn·jy·com
三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．www.21-cn-jy.com
【注】：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.2·1·c·n·j·y
　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式 ( http: / / www.21cnjy.com )的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
【典型例题】
【类型】一、因式分解的概念
例1、下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】（1）不是因式分解 ( http: / / www.21cnjy.com )，理由见解析；（2）不是因式分解，理由见解析；（3）不是因式分解，理由见解析；（4）是因式分解，理由见解析；（5）不是因式分解，理由见解析．21cnjy.com
【分析】
（1）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得；
（2）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得；
（3）根据等式左边不符合因式分解的定义即可得；
（4）根据因式分解的定义即可得；
（5）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得．
【详解】
因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，称为因式分解
（1）不是因式分解，因为是和的形式；
（2）不是因式分解，因为是和的形式；
（3）不是因式分解，因为是单项式；
（4）是因式分解，因为多项式分解成两个整式与的积的形式，符合因式分解的定义；
（5）不是因式分解，因为中的不是整式．
【点拨】本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键．
【训练】判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．
(1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)； (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2；【来源：21·世纪·教育·网】
(3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1； (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2；21·世纪*教育网
(5)x2＋x＝x2(1+)； (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)．
【答案】(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．
【解析】
【分析】根据因式分解和整式乘法的定义即可解答.
【详解】
(1)(4)的变形是把多项式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把多项式化为积的形式，但(1＋)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解．www-2-1-cnjy-com
(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．
【点拨】本题主要考察因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【类型】二、提公因式法分解因式
例2、把下列各式因式分解：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）；
【分析】
（1） 提取公因式，即可得到答案；
（2）先把原式化为：，再提取公因式，即可得到答案；
解：（1）
（2）
【训练】
【答案】
【分析】提取公因式法分解因式，寻找相同的公因式即可．
原式
【点拨】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握寻找公因式的方法是解题的关键．
【类型】三、提公因式法分解因式的应用
例3、先分解因式，再求值：，其中．
【答案】，48
【分析】先将原式变形，再提取公因式，整理即可．
解：
；
当时，原式
．
【点拨】本题考查了提取公因式法分解因式及代入求值，正确确定公因式是解题关键．
【训练】已知，，则的值为（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】B
【分析】把因式分解，再整体代入即可．
解：，
∵，，
原式==12，
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解和代数式求值，先把多项式因式分解，再整体代入是解题关键．
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